數學詩話

近冰梅—類域論

　By  Xianke ZHANG (張賢科)

      類域論(Class Field Theory)是數學諸理論中,體係最完美的一種.—《數學百科全書》如是說. 她是現代數論的一門極重要理論, 現在已滲透應用到各分枝, 幾乎無處不涉及. 此理論由希爾波特(Hilbert)在1900年左右猜測出, 主要由福特汪格勒(Furtwangler), 高木貞治(Takdgi), 阿廷(Artin)至1927年給出證明.但象“類域構作”這樣的世紀性大問題,研究還遠無盡頭,是現代最激烈前沿之一.類域論理論係統深邃,定理異常豐富,初學者短期內不易掌握.我們嚐試以詩歌概括其主要定理體係,這樣便於學者掌握運用此理論,充分欣賞此理論.

     數域 k 的阿貝爾擴域集{K}是一個格, 它象是枝幹交錯的一株梅樹. k 的伊代爾(或理想)類群 J 的閉子群格{H}是此樹的倒影, 二者反向1:1對應, 這倒影對應就是阿廷互反律映射, 它將伊代爾或理想映為伽羅華群中元(Frobenius).—此即類域論基本定理. 由此以詩表類域論如下.

 

 

《近冰梅—類域論》

1980年7月:
 
疏影橫斜近冰栽,

枝枝簪雪映照來.

開為杏色偏芬冽,

幽為菊風冠群茝.
 

稀世終久非歧寞.

籬香於茲自主開.

紛紛誰解素宜主,

類群甲群天安排.
 

此詩隱意闡釋“類域論”這一現代數學理論

近冰梅—類域論 (數學譯文)

      1.域 k 的阿貝爾擴域格{K}(疏影橫斜近冰梅),由阿廷映射而與其類群的閉子群格{H}(冰麵倒影)之間反向1:1對應. (類域論基本定理)

      2. 整體類域論包含局部類域論: 阿廷映射限製到素除子v-分量(枝枝)則為局部映射,自成一係.

      3. 局部域乘群 (開為杏) 映為分裂群(芬冽). Hv在K分裂. (分裂定理)

      4. 局部單位群Uv (幽維) 映為慣性群. Uv Hv在K不分歧. (分歧定理)

      5. k的希爾波特(希氏)類域定義為k的最大非分歧(終久非歧寞)阿貝爾擴域.(希氏類域)

      6. k的理想到希氏類域(籬香於茲)則均化為主理想. (主理想定理)

      7. 在希氏類域完全分解的(紛紛誰解),恰為k的素、主(素宜主)理想. (分裂定理)

      8. 類群與伽羅華群同構,理論美妙天成. (同構定理)

　　

《近冰梅—類域論》

文學譯文:
　
疏影橫斜的寒梅喲----

              為何你生長在這,

                            冰池之畔?

虯枝簪雪又戴花喲----

               冰清玉潔的照來,

                           仙姿翩翩!
　
有人說你,

            不過尋常杏花一般----

                   你卻偏偏香冽非凡.

　你懷著那,

           傲霜金菊的格調喲----

                 笑冰鬥雪眾香之冠.

　
世所罕！

         你鐵骨淩寒----

              難道會,

                 永遭寂寞和歧見？

縱籬邊:

         你暗香弗斷----

                  嘔碧血,

                     一片丹心報春前！
　
啊,

      報春前,

              看繽紛爛漫誰解悟----

                    俏妝自然宜素淡,

呀,

       宜素淡,

             你如常花開天下先----

                     應是天意常使然