方勵之：牛頓的水桶1687-2011

轉載加注：從沒見過方勵之。但是，可以想像得出，他是一位很有幽默感的老師。

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【華夏文摘】方勵之：牛頓的水桶1687-2011 

發布者 HT 在 11-09-19 09:11

絕對的轉動

經典物理的開山之作“自然哲學之數學原理”發表於1687年。書中，牛頓第一個講到的物理實驗是水桶實驗。

牛頓說，用一根長的軟吊繩提一桶水，把吊繩擰成麻花狀。如果你握住吊繩，不讓麻花狀的繩子鬆開，桶及桶中的水是相對是靜止的，水麵是平的。突然放開手，麻花開始放鬆，吊繩旋轉，水桶也隨著吊繩旋動。最初，桶中的水並不轉動，隻有桶在旋轉，桶和桶中的水有相對轉動。慢慢地，水被桶帶動，也開始轉動。最後，水和桶一樣轉動。這時，水和桶之間又是相對靜止的，不轉動的。但水麵卻呈凹狀，中心低，桶邊高。牛頓爵士特別說“ I have experienced”。他親自做過這實驗。

這個實驗很容易，任何有水桶和軟繩的人都可以試試。我也多次做過這個實驗。 1957 冬 - 1958年春， 我在河北省讚皇縣南邢郭村下放勞動。天天要用軟吊繩的桶從約十米深的井中打水。水桶的姿態隻能用軟吊繩控製。沒有十天半個月的練習，是學不會水桶姿態控製的。結果是，任憑你讓吊桶十五次七上八下，每次提上來的水，大多不過是半桶水，而且在旋轉。常被同吃同住同勞動的老農（其實不老，同我年齡相仿，但農活經驗老道）笑話：“哈哈，半桶知識分子……”。半桶正好作牛頓水桶實驗。牛頓爵士當年可能也在蘋果樹附近的井中打過水，所以，“I have experienced”。

水桶實驗的關鍵是揭露，有兩種“桶及桶中的水是相對是靜止”的狀態。最初（第一狀態），繩被放鬆之前，“桶及桶中的水是相對是靜止的，水麵是平的”；最後（第二狀態），繩被放鬆一段時間之後，“水和桶之間又是相對靜止的”， 水麵卻是凹狀。兩種狀態中，水和桶之間都是相對靜止的，但水麵卻不同，前者平，後者凹。引起牛頓的疑問，為什麽？

為此，牛頓問一位“聰明人”:“為什麽桶中水麵有時平，有時凹？”

聰明人答：“這個問題簡單，轉動時水麵凹，無轉動時水麵平。”

牛頓反詰：“不對吧。你看水桶實驗，在第一和第二狀態時，水相對於桶都是無轉動的。但水麵可以是平的（第一狀態），也可以是凹的（第二狀態）。”

聰明人覺得這個問題也不難答：“雖然在第二狀態水和桶之間相對無轉動，但實際上水和桶同時都在轉動，它們並不是在真正的無轉動狀態，隻是相對無轉動而已。所以，水麵是凹的。”

到要害了，牛頓的興致來了：“那就是說，轉動必須分成真正的無轉動，和相對的無轉動。隻在真正的無轉動狀態，水麵才平。有相對無轉動，沒有真正的無轉動，還不行。”

聰明人隻能同意了：“應當是吧。”

牛頓再追問：“那，誰是在真正的無轉動狀態？”

聰明人意識到這是難題，隻能碰碰運氣了：“水井就沒有轉動呀！水井就在真正的無轉動狀態。”

果然被牛頓抓個正著：“哈哈，聰明的朋友，水井建在地球上。如果水井是在真正的無轉動狀態，地球也應當是在真正的無轉動狀態。這不就同哥白尼學說矛盾了嗎? 地球的自轉一天一圈，公轉一年一圈，雖然比水桶的旋轉慢得多，但也是在轉動呀。”

聰明人語塞：“……”

牛頓緊逼：“再想想，什麽東西在真正的（或絕對的）無轉動狀態？”

聰明人想：是太陽？不對，太陽也有轉動。是銀河係？（牛頓時代，尚無銀河係結構概念）不對，銀河也有轉動……

聰明人已無招架之功了：“牛先生，還是請你告訴我們答案吧。”

其實，牛頓自己也不知道答案。但是，牛頓的過人之處，在於敢大膽假定他自己也沒有見過的東西。牛頓在他的“自然哲學之數學原理”裏假定，“絕對空間：其自身特性與一切外在事物無關，處處均勻，永不移動”。“永不移動”的東西當然是不會有轉動的。所以，“絕對空間”是在絕對的無轉動狀態。盡管，誰也沒見過“絕對空間”。

這樣，水桶實驗的一個自洽的解釋是，隻當桶中水相對於絕對空間無轉動時，水麵才是平的，否則是凹的。

馬赫的解釋

一百多年後， E. 馬赫 （1838-1916）強烈反對牛頓的解釋。主要理由就是，牛頓的假定 —— “當桶中水相對於絕對空間不轉動時，水麵才是平的”—— 是無法實驗檢驗的，無法證偽的。誰知道如何觀測“絕對空間”？

馬赫提出的解釋是，如果桶中水相對於整個星空背景無轉動，水麵是平的。當水相對於星空背景有轉動時，水麵是凹的。馬赫的解釋中，不需要絕對空間。表麵看，馬赫似乎隻是用“整個星空背景”替代了牛頓的“絕對空間”。但二者有很大不同，馬赫的解釋是可以檢驗的。人人都看得見“星空背景”，而看不見“絕對空間”。

人類很早就以星空背景作為位置和方向的基本參考係。無論是在陸地上旅行，或在海上航行，星空背景都是有效的導航者。（南邢郭村是一個很孤立的小村。如果在無月夜去其他村，必須靠星空辨識方向。否則，在四麵漆黑的平坦的田野上，很容易走失方向，嚴重者走成鬼打牆的圈子。所以，老農警告：“陰天夜不出行”。）

表麵看，馬赫的解釋似乎與星空導航相似，實則有很大不同。導航參考係是運動學（位置和方向）問題，而馬赫解釋賦予星空背景特別的動力學性質。他說，水麵之所以變凹，是由於星空背景與水之間的相互作用。相互作用是動力學。馬赫還設計了一個“手臂實驗”，類似牛頓的水桶，證明他的動力學解釋，大意是：

“你站在星空下的一塊開闊地。如若你的兩個手臂自然地下垂在身體兩邊，這時你看到的遙遠星空（相對於你）必是不轉動的。然後，你設法讓自己以身體為軸，快速自轉。以致你的兩個手臂不再自然地下垂，而是向兩邊分開。這時，你會看到，整個星空（相對於你）在快速地旋轉。”所以，用你看到的遙遠星空是否旋轉，可以區分兩種狀態“手臂自然地下垂”和“手臂自然地向兩邊分開”。“手臂自然地向兩邊分開”是由於旋轉星空對手臂的作用。

手臂實驗要比牛頓水桶實驗還難做。誰能讓自己快速自轉，以致手臂都不能自然下垂？芭蕾舞演員也難於做到。用芭蕾舞者的裙子在旋轉時張開的角度，似可行。

不過，馬赫的解釋的確可以極精確地驗證，無需牛頓的水桶，芭蕾舞者的裙子，而是用陀螺。陀螺的最基本的動力學性質是它具有轉動慣性。物體慣性的基本動力學性質是：在沒有外界幹擾時，動者恒動，靜者恒靜。轉動慣性的基本動力學性質是：在沒有外界幹擾時，陀螺的轉軸方向保持恒定，它的指向是不變的。

按馬赫的解釋，一個沒有外界幹擾的陀螺軸的指向，應當相對於星空背景無轉動，亦即，

“一旦一個沒有外界幹擾的陀螺軸指向星空某一方向，它就總是保持這個方向。”

各種飛行器上的慣性導航係統，就是根據陀螺的這個性質。當飛行器轉向時，慣性導航儀中的陀螺軸指向相對於星空保持不變。所以，不必看星空背景，隻要看陀螺，就可以度量飛行器相對於星空的轉動。

再回到牛頓水桶。如果把牛頓水桶和導航陀螺兩者放在一起，讓陀螺軸垂直於吊繩，按馬赫的解釋，當水麵是平的時，水相對於陀螺軸一定無轉動，當水麵是凹狀時，水麵相對於陀螺軸必有轉動，這也可以實驗驗證。至此，在馬赫解釋裏，陀螺，水桶，芭蕾舞旋轉，星空背景等之間的關係，都得到自洽的說明，而且有實驗支持。

愛因斯坦的“顛覆”

如果“無轉動狀態決定於星空背景的作用”，那末，邏輯上就不能否認個別星體也會對動力學無轉動狀態有作用。因為，星空背景是由個別星體構成的。當然，整個星空背景包含大量星體，其作用可能比個別星體的作用大得多。

不過，個別星體的作用是否可以忽略，不能想當然，而應由定量的理論估計。

馬赫也意識到，他的解釋必須有動力學理論支持。他曾企圖建立動力學理論，定量解釋“水麵之凹，是由於水與星空背景在相對轉動時的相互作用”。但不成功。

愛因斯坦於1915年建立廣義相對論。

1916 - 1918 年就有人注意到，廣義相對論的一個重要推論是，無轉動狀態不僅取決於星空背景，也決定於個別星體。

如果有一艘飛船飄浮在太空裏，它距離所有星球都很遠。這時，太空飛船裏的導航陀螺軸相對於星空背景是不轉動的。如果飛船離一顆星體太近，按照廣義相對論，導航陀螺軸相對於星空背景是有轉動的。結論是：

“一旦一個沒有外界幹擾的陀螺軸指向星空某一方向，它就總是保持這個方向”——在星體附近不再正確。陀螺導航的根據被“顛覆”。

“顛覆”效應的大小，取決於星體的質量和轉動。如果飛船飛到一個快速轉動的大黑洞附近，陀螺軸相對於星空背景會有很強的轉動。這時，不能再用它導航。

幸好，地球的質量不大，自轉（一天一圈）也慢。“顛覆”效應很小。在近地空間的飛機和衛星，仍可以用陀螺導航，廣義相對論隻帶來極小的修正。修正有兩項：

1。測地漂移：地球質量引起的陀螺軸相對於星空背景的轉動（1916，W. de Sitter [1]）；

2。慣性參考係拖拽：地球轉動引起的陀螺軸相對於星空背景的轉動（J. Lense 和 H. Thirring [2] ）。

在地球上空一千公裏以內的導航陀螺，測地漂移大約是每年千分之一度（角度，下同）。慣性參考係拖拽大約是每年十萬分之一度。

所以，如果你乘的飛機是Airbus 380 （其中就有由激光陀螺構成的慣性導航係統），那怕飛行一整天（24小時），飛行距離兩萬公裏。測地漂移和慣性參考係拖拽帶來目標偏差，分別不大於1米，和1厘米。導彈的飛行時間短，飛行距離小，廣義相對論的修正更小。

曆時48年的“水桶”實驗

今年（2011）五月底，物理評論通訊（Physical Review Letters ）發表了一篇短文，隻有五頁 [3]。它報告了Gravity Probe B 實驗的最終結果。Gravity Probe B 實驗的目的是精密測量地球附近的測地漂移和慣性參考係拖拽，以定量地檢驗廣義相對論。Gravity Probe B 的主要裝置是，一台極精密的陀螺儀放在一顆衛星上。衛星的軌道為圓形，並經過地球南北兩極上空，離地高度642公裏。它測量陀螺軸相對於星空背景的轉動。按廣義相對論計算，在這個衛星上陀螺軸的測地漂移和慣性參考係拖拽，分別是每年千分之1.8度，和每年十萬分之1.1度。

Gravity Probe B 由斯坦福大學C. W. F. Everitt教授主持 。這項實驗曆時48年（1963 - 2011）。前45年 （1963 - 2008），由美國宇航局（NASA）支持。它是美國宇航局支持時間最長的一個項目，共耗資 7億5千萬美元，亦即，五頁的文章，每頁平均耗資1億5千美元。美國宇航局於2008年停止支持。近三年（2009 - 2011），是由沙特阿拉伯王國的一位王子 —— 在斯坦福大學獲PhD 學位 —— 在沙特王國找的錢。

盡管Gravity Probe B耗費的時間和財力巨大，其結果並不理想。按原來宣稱的目標，Gravity Probe B 能給出精度達0.01% 的測地漂移數據，和精度達1% 的慣性參考係拖拽數據。而最終結果的精度隻分別是 0.28% 和 19%。比預期的精度差十倍以上。 因此，引來不少微詞 ，“花錢太多了……”。

不完全成功的主要原因是，項目主持人低估了技術上的困難。技術的關鍵之一是陀螺的穩定性。我認識Everitt教授，他年紀長我兩三歲。80年代初期，Everitt訪問過中國。那時Everitt 正雄心勃勃招兵買馬，因為項目進入工程階段，需要工程人員。Everitt曾問我：“你認識不認識搞陀螺的中國工程專家，有好的給我推薦。”我說：“試試看”，我知道七機部裏有人研究陀螺技術。但是，Everitt 回美國後不久，就來信說：“不必找了，美國防部不同意找中國陀螺專家，因為陀螺是軍事技術， 不能讓中國專家介入。”

美國防部的戒令，後來好像廢了。Everitt 的團隊裏，有中國學生。可能因為 ，美國防部認識到，Everitt 要做的陀螺，難有軍事應用。Everitt 等在他們的論文中一開始就寫到，他們需要的陀螺的穩定性要比現今最好的導航用陀螺高一百萬倍！Everitt要測“每年十萬分之1.1度”的轉動，那末，陀螺的不穩定性至少應當小於每年百萬分之1度。而Airbus 380上用的激光陀螺的不穩定性，不會小於每年1度。所以，它比Everitt 等的要求——小於每年百萬分之1度，要差一百萬倍以上。（物理和天文前沿實驗用的儀器，其精度，一般都比民用和軍事設備高。許多高精度技術，是物理和天文前沿實驗的副產品。）

我在Everitt的實驗室看過他的陀螺儀原型。它由4個乒乓球大小的水晶球構成。球的每個方向上不得與理想球麵有 40個原子厚度以上的偏差。球的表麵再鍍以鈮。4個水晶球都放在液氦的低溫（1.8K）環境裏，幾乎沒有熱噪聲。在此低溫度下，鈮成為超導體，當鍍鈮水晶球轉動時，會產生磁場。磁場的方向就是陀螺的軸的方向。Gravity Probe B即測量磁場方向相對於背景星的轉動。

雖然 Gravity Probe B不完全成功，Everitt 等人近半個世紀的努力，仍是功不可沒。它是第一次在近地空間，用陀螺直截了當地證偽了“一旦一個沒有外界幹擾的陀螺的軸指向背景星空某一方向，它就總是保持這個方向”。其結果支持愛因斯坦理論預言的測地漂移和慣性參考係拖拽。

下一輪的“水桶實驗”

今年（2011），意大利空間局將發射激光相對論衛星（Laser Relativity Satellite [LARES] ）。計劃費用為4百萬歐元 。其目的是要將慣性參考係拖拽測準到 1% [4]。LARES 不用陀螺儀。LARES 的軌道本身就是一個陀螺。（同行們正在 關心，意大利債務問題是否會影響這個項目）。

等著瞧，四百多年的牛頓水桶，還在轉。

參考文獻

[1] W. de Sitter , Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 77, 155, (1916)

[2] J. Lense and H. Thirring, Phys. Zeits, 19, 156, (1918)

[3] C. W. F. Everitt et al. Phys. Rev. Lett. 106, 221101, (2011)

[4] I. Ciufolini et al. Space Sci. Rev. 148, 71, (2009)

2011, 9. Tucson

□ 讀者投稿

華夏文摘 第一○六九期(cm1109d)

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