小波分析係列講座6--雙尺度差分方程及濾波器

在上節所講的Vi+1=Vi+Wi中 V就是尺度空間，即我們觀察事物所采用的尺度，也就是分辨率。 W就是細節空間，即不同尺度空間觀察事物的差異。 並且知道 一幅圖像=最低分辨率下圖像+不同細節空間的細節信息即 一幅圖像=係數 * 尺度基 + 係數 * 細節空間基 在Harr小波中若一個事物可用如下2個尺度基描述（尺度相同，位移不同） 記為1尺度 那麽當我們用一個大尺度基描述時（即取平均），就會有一個失真 記為0尺度 此細節差異就對應描述基如下（補空間基） 正如富裏葉變換是將一個周期函數用無窮項正玄或餘玄基逼近，小波變換是將一個函數以小波基來逐級逼近。富裏葉變換是以ejwt 為核進行積分，小波變換以小波基為核進行積分. 函數W(x) 為母小波，那麽通過尺度變換和平移變換，可得到不同小波基記為Wa,b=| a |-1/2 W( (x-b) /a ) 因為我們希望小波級數能無條件收斂，故母小波應滿足一些條件 1. 小波函數值的絕對值在整個R上是可積的 L1函數空間即小波函數在無窮大處的值應該趨向於0，保證收斂性 2. 小波函數值的平方值在整個R上是可積的 L2函數空間即小波函數的能量也是一個有限值，否則就將一個有限能量函數變換到無限能量級數上，其級數很難收斂 當然母小波和被變換函數還應該滿足一些其他條件，以保證反變換存在，否則意義也不大。 在實際應用中，我們經常使用離散的2進小波變換。即尺度是2 j , 位移是k Wj,k= 2 j/2 W ( 2 j x- k ) 構造二進小波函數和尺度函數的方法 Vn空間中，設S (x)是一個尺度基，則S (x-k) 對應著不同位移的尺度基,所有這些尺度基構成L2函數空間n尺度下的完備基。 Vn+1空間中，S(2x)是一個尺度基，則S(2x-k) 對應著不同位移的尺度基,所有這些尺度基構成L2空間n+1尺度下的完備基。 如上Harr小波圖 n+1尺度是比n尺度更精細的空間，而Vn空間屬於Vn+1空間，故Vn空間中的基可用Vn+1空間中的基表示即 S (x)= ∑ Pk * S (2x-k) Pk 是係數。 對應的有其補空間基 W (x)= ∑ Qk * S (2x-k) Qk 是係數。 這就是著名的兩尺度差分方程，它說明了Vn空間的基與Wn空間的基可由Vn+1空間的基經過某種方式濾波產生（簡單的說 就是可由Vn+1空間的基乘以不同係數）。從而我們隻需求出係數，就可以由尺度函數生成小波函數。（有些書上，也把Vn稱作小波）。此處再次思考一下概念，我們就更明白了多分辨率小波分析用不同尺度觀察事物的思想。 其對應濾波器圖如下 通過2個濾波器P, Q 將信號分解，然後通過其(逆)共軛濾波器P*, Q*進行合成. 所謂濾波過程可以簡單的認為就是將信號乘以一些係數 例上述harr小波兩尺度差分方程為 S (x)= 1/2 * S (2x)+ 1/2 * S (2x-1) W (x)= S (2x) - S (2x-1) 對應濾波器係數如圖就很明了了。 P =[1/2 , 1/2 ] Q =[1, -1] P*=[1, 1 ]T Q*=[1/2, -1/2 ]T 依圖所示，我們有如下關係 Sj-1 = Sj * P Dj-1 = Sj * Q Sj = Sj-1 * P* + Dj-1 * Q* 對於雙正交濾波器，信號Sj-1 與 Dj-1 不相關那麽P 應該可以無損的重構信號 ，故 P * P* = I ( 單位矩陣) 同理 Q * Q* = I ( 單位矩陣) 經Q濾波後的信號 如果經P* 重構後，值應該為0，保證2濾波器正交， Q * P* =0 同理 P * Q*=0 為使Sj能夠重構 我們很容易驗證上麵Harr小波的濾波器係數這也說明了小波變換與濾波器的關係