小波分析係列講座5

以圖像來說明建立空間特征基和小波變換的關係 設有一幅圖像，從不同分辨率考察。 若我們離很遠來看，可能會衙?4個點看作一個點，若記此時構成的描述空間為V0. 若走進一些，把16個點看作一個點，記此時構成的描述空間為V1 若再走進一些，把4個點看作一個點，記此時構成的描述空間為V2 若再走進一些，把1個點看作一個點，記此時構成的描述空間為V3 則可知凡是Vi空間內可以描述的圖像，Vi+1空間內皆可描述,並且描述的更細致 故Vi包含於Vi+1空間 記Vi+1=Vi+Wi ,即Vi和Wi構成Vi+1空間。（若Vi⊥Wi ，則Wi為Vi的正交補空間，實際應用中不要求一定正交。）( ⊥ 正交) 則Vi+1=Vi+Wi=Vi-1+Wi-1+Wi=…… 記Pi為圖像在Vi空間的描述 則Di= Pi+1 - Pi 就表示了圖像在這兩個描述空間的細節差異，因為Vi+1=Vi+Wi，故Di為圖像在Wi空間上的描述。即Wi空間表述了細節差異。如果Wi⊥Wj, 並且在Wj空間中能找到一組正交標準基，其基本函數必是高（帶）通的，就稱其為小波函數。 Wi⊥Wj正交，即為不同分辨率下的細節差異不相關，從而消除冗餘。 那麽例子中V3=W2+W1+W0+V0 相應得到　 P3=D2+D1+d0+P0 即最清晰分辨率下的圖像可以有不同分辨率下的細節差異和最高分辨率下的圖像合成而得 由概率特性知細節差異在大範圍內是一個較小的值。 如果用上節所引入的頻域概念來看，低頻信息就是P0,高頻為Di,這裏的低頻和高頻就和傅裏葉有稍微不同。而從分析中，我們自然而然的知道隨著頻率的不同，其數值對應的空間窗口大小也不同了。正好滿足上節所說。 嗬嗬，剩下的分析任務就是如何構造Wi