與大數學家一席談 之 （Polya 訪問記）

與大數學家一席談 之 （Polya 訪問記）

 George  Polya 訪問記
 G. L, Alexanderson

    1977年12月13日，是斯坦福大學名譽數學教授George Polya的90歲生日。該校數學係在教員俱樂部為他舉辦了祝壽宴會。那天，Polya教授的許多朋友和過去的學生觀聚一堂；不少教授就他的工作致了頌詞。來賓中有：Polya過去的學生，斯坦福大學校長Halsey  Royden；斯坦福大學計算機科學係教授
Danald  Knuth；紐約大學Courant研究所所長、美國數學會本屆主席Peter  LaX教授；加裏福尼亞大學貝克萊分校統計學教授Jerzy  Neyman；斯坦福大學名譽物理教授、Nobel獎獲得者、Polya在瑞士聯邦技術學院的學生Felix Bloch。跟他有過長期合作的同事、斯坦福大學教授Gabor  Szego，雖然健康狀況不佳，也趕來參加了慶宴。
    與會者的踴躍，標誌著Polya教授對數學和教育的廣泛影響。搞研究的數學家熟識他，因為他們是他的同事或合作者；二年製或四年製大學的教師認識他，因為他們深知他的數學成就，他為數學教育所做的努力、以及他跟美國數學聯合會的長期合作關係；有不少中學教員認識地，因為Polya曾在斯坦福舉辦的許多教師 進修班上教過他們。正如Royden校長在會上提到的：他的許多數學發現，在未來的許多年裏仍將是研究生攻讀的內容。這些發現涉及相當廣泛的數學領域：實分析與複分析，概率論，組合理
論，數論，幾何及其他一些領域。由於這些貢獻，他被好幾個國家的科學院選為院士，其中包括有威望的巴黎科學院。
    Neyman教授指出，Polya的《怎樣解題》(How to Solve It)已被譯成15種文字；他的《數學的發現》(Mathematica1 Dis-covery）也已有8種譯本。教師們把Polya的名字跟這些著作以及其它許多運用發現數學的方法解題和教學的作品融成一體，“按Polya的風格”、“Polya的方法”成了各地數學教師的專用
語。Polya的作品清晰、優美，在數學書刊中是很難得見到的。讀他的書或文章，幾乎是一種享受。他在選擇研究課題和具體問題時，表現出罕見的、深刻的鑒賞力。
 
   生日宴會後幾天，作者訪問了他，下麵是這次訪問的摘要。
 
   訪問者：統觀你的數學工作，人們欽佩你在如此廣泛的領域從事研究，而且在許多領域做了重要貢獻。對許多數學家來說----不論他的能力如何，這都是超凡的記錄。請問你是怎麽做到這一點的？你怎麽能在如此眾多的領域找到那麽多好的問題？

    Polya：部份原因是受了我的老師以及當時的數學風尚的影響。後來，又受到自己在發現數學時的興趣的驅使。有少數幾個問題，我是想找出如何處理有關的一整類問題的辦法。說得更遠一點，我並非一上來就是搞數學的，我所經曆的迂回曲折的道路，也對我有影響。

              數學，介於哲學、物理之間

    訪問者：是指你搞過哲學和物理嗎？

    Polya：不，問題要更複雜些。我最初學的是法律，不過隻維持了一個學期，就再也沒辦法忍受了。接著，我攻讀了兩年語言和文學。兩年後，經考試取得了教師資格證書，可以在預科學校低年級----學生年齡從10歲到14歲----教拉丁語和匈牙利語。但這張證書我從來沒用過。後來，我又學習哲學、物理和數學。事實上，我不是直接選中數學這一行的。我真的對物理和哲學更有興趣，對這兩門學科中的思想感興趣。下麵的說法雖然略顯寵統，但也不失大意：我認為我搞物理不大靈，搞哲學綽綽有餘，搞數學則介於兩者之間。

    訪問者：我記得在概率論、組合理論、幾何、代數、數論，當然還有函數論等領域，都有你的定理。請問是否還存在哪一個數學領域是你不屑一顧的？

    Polya：嗯，你沒有提到我還接觸過數學物理的皮毛。是跟Szego合寫了一本《數學物理中的等同不等式》(IsoperimetricInequalitiesin Mathematical Physics)。這本書反映了我舊時對數學物理的興趣。喔，這就足夠了。
 
   訪問者：我發現某些經典問題正在用新的嚴格性加以檢驗。  例如，有些年輕數學家在積極地探索解決像Riemann猜想這類問題。幾年前，在溫哥華舉行的會議上，Riemann猜想就受到了極大的關注。您願意評論一下五十年代、六十年代以及七十年代數學發展的方向和數學風尚嗎？

    Polya：當然可以。不過別把我的評論看得那麽認真。首先，我對最新的數學沒做研究；同時，我有自己的偏好。我過去總是對漂亮的應用感興趣。我感到，除了確實在推動數學前進的數學家之外，他們的追隨者中，至少有些人被搞推廣的思想纏住了，什麽東西都在那兒推廣。他們的理想似乎就是搞出具有完美的一般性的數學定理，而這類完美的一般性定理卻導不出特殊的結果。

    訪問者：若幹年前，你跟Hermann  Weyl打過一場賭，很有名氣，它跟由Brouwer的思想引出的問題有關。所以，我想你喜歡打賭。你願不願意對今後幾年內能否證明Riemann猜想設個賭？

    Polya：我不好打賭。相反，我相當謹慎。如果非要我打賭，我將說：今後十年內不可能證明Riemann猜想。我認得幾個人，都是非常出色的人物，他們在搞Riemann猜想。盡管如此，我還是下這樣的賭注----今後十年內證明不了……，這是你非要我下賭的呀！

注：                                         
                    Polya和Weyl的賭局

     G. Polya和H. Weyl按下述協議打賭。內容涉及當今數學中的以下定理：
   （1）每一個有界實數集有上確界。
   （2）每一個無限實數集有一個可數子集。

Weyl預言：
    A. 20年內（即到1937年底），Polya本人或大多數一流數學家將承認，上述定理中涉及的、也是我們今天普遍需要依賴的實數、集合和可數性概念，完全是含混不清的；要問目前含義下的這些定理的真偽，比問Hegel自然哲學中的主要論斷的真理性更加沒有意義。

    B. Polya本人或大多數一流數學家將承認：無論怎樣措詞，按照一種合理的、可行的、清晰的解釋（如何認定這種解釋，或者通過討論，或者到那時已有定論），定理（1）和（2）都是錯的；或者，如果在規定時間內找到了這兩個定理的清晰的解釋，使得至少有一個是正確的，那麽，必然出現某個有生命
力的成果，通過這一成果，數學基礎將出現一次新的、開創性的轉折。數和集合的概念也將具有我們今天尚無法預見的一種新的含義。，

    如果上述預言實現，則Weyl嬴；否則，Polya獲勝。
 
   如果規定時間到期，他們對輸嬴不能達成一致意見，那麽，將邀請瑞士聯邦研究院、蘇黎世大學、格廷根大學和柏林大學 的數學教授（賭者除外）一起來評判，並以多數人的意見為準；若仍不分勝負，賭局輸嬴將被認為是未定的。
    輸家將承擔義務，自費在德國數學會《年鑒》上公布打賭的條件並認輸。

H. Weyl，G. Polya1918．2．9．於於蘇黎世