與大數學家一席談 之 （Serre 訪問記）

與大數學家一席談 之 （ Serre 訪問記）

Jean-Pierre Serre訪問記
C. T. Chong   Y. K. Leong

    編者按：Jean-Pierre Serre生於1926年，曾就學於巴黎的高等師範學校（Ecole Normale Superieure）。他1954年榮獲Fields獎，從1956年起任法蘭西學院（College de France）的代數學與幾何學教授。
    1985年2月間，作為法國--新加坡學術交流計劃的一部分，Serre教授訪問了新加坡國立大學數學係。除作了幾個由該數學係和新加坡數學會組織的講演外，他還於1985年2月14日接受了C. T. Chong和Y. K. Leong的采訪。

    問：是什麽使您以數學為職業的？

    答：我記得大概是從七、八歲時起喜歡數學的。在中學裏，我常做一些高年級的題目。那時，我寄宿於Nimes，與比我大的孩子住在一起，他們常常欺侮我，為了平撫他們，我就經常幫    他們做數學作業。這是一種最好的訓練。
    我母親是藥劑師（父親也是），並且喜歡數學。在她還是Montpellier大學的藥劑學學生時，隻是出於興趣，選修了一年級的微積分課，且通過了考試。她精心保存了當年的微積分課本（如我沒記錯的話，是Fabry和Vogt寫的）。在我十四、十五歲時常翻看它們並學習其中的內容。我就是這樣知道了導數、積分和級數等（我采用一種純形式的方式----可以說是Euler風格：我不喜歡也沒弄懂epsilon和delta。那時，我一點也不知道做數學家可以謀生。隻是到後來我才發現做數學也有報酬！我首先想到的是我將成為一個中學教師：這在我看來是自然的。於是，在十九歲時，我參加了高等師範學校的入學競爭考試並取得了成功。一進“高師”，事情就清楚了，中學教師並不是我要幹的，我要的是從事研究的數學家。

    問：您對其他學科，像物理或化學，是否有過興趣？

    答：對物理不怎麽感興趣，但對化學有興趣。我說過，我雙親是藥劑師，所以他們有很多化學藥品和試管。我十五、十六歲時，在做數學之外，經常擺弄它們。我還讀了父親的化學書（我至今還留有一本很吸引人的Jacques  Duclaux著的《膠體》（LesColloides））。然而，在學了更多的化學後，我對其幾乎數學化的外表感到失望：有一長係列一長係列的有機化合物，如CH_4、C_2H_6等，看起來差不多都一樣。我想，如果你不得不跟係列打交道，還不如做數學的好！於是，我放棄了化學----但並不徹底：我最後與一位化學家紹了婚。

    問：是否有中學老師對您數學產生過影響？

    答：我隻有過一位很好的老師。那是在Nimes，我中學的最後一年（1943--1944）。他有個綽號叫“胡子”（Le Barbu）：那個時候留胡子的人很少見。他的條理非常清楚，要求也很嚴格；它要求把每個公式和證明都寫得簡潔明了。為了參加名為“中學優等生會考”（Concours General）的全國數學競賽，他對我進行了全麵的訓練，使我得了頭獎。
    說到“中學優等生會考”，我還試著參加了那年（1944）的物理競賽。我們要做的題目完全基於一個我應該知道的物理法則之上，可我並不知道該法則。幸好，在我看來隻有一個公式可能是對應那個法則的。我假定它是正確的，在此基礎之上，做了整整6小時的題目。我甚至以為可以得獎了。不幸的是，那個公式是錯的，我什麽也沒得到----這正是我應得的！

    問：在發現定理時靈感具有怎樣的重要性？

    答：我不知道“靈感”的確切含意是什麽。定理和理論是以很富趣味性的方式產生的。有時，你隻是對已知的證明不滿意，力圖尋求更好的證明，使之可以用於各種不同的情形。拿我來說，一個典型的例子是在我做Riemann-Roch定理的時候（大約是
1953年），我把它看成是某種“Euler-Poincare”公式（我那時還不知道Kodaira和Spencer已經有同樣的想法）。我的第一個目標是對代數曲線的情形給出證明----這情形一個世紀前就知道     了！但我想要一個獨具風格的證明。而當我沒法找到這樣的一個證明時，我記不得費什麽功夫就可以過渡到二維的情形（正好Kodaira也已這樣做了）。六個月以後，Hirzebruch證明了完整的結果，並發表在他著名的獲取教師資格的論文裏。

    通常，你不是采取正麵攻擊的方法，來嚐試著解決一個特定的問題。而是，你心中有了些想法，覺得它們應該有用，但又不確切地知道可用在何處。於是，你四處尋找，試圖應用它們。就像你有一串鑰匙，在好幾個門上試開。

    問：您是否有過這樣的經驗，就是您有一個問題解決不了，當把它擱一段時間以後，一個突然出現的想法導致了該問題的解決？

    答：是的，這種情況當然經常發生。例如，在我做同倫群方麵的工作時（～1950），我自信：給定空間Ｘ，必存在一個以Ｘ為基底的纖維空間Ｅ，它是可縮的。這樣一個空間的確可以使我（用Leray的方法）做許多同倫群和Eilenberg-MacLane上同調的計算。但怎麽找到它呢？我花了好幾個星期（在我那個年紀，這是很長一段時間了），才意識到Ｘ上的“路徑”空間就是具有所有必需的性質----隻是我改稱它為“纖維空間”。我這樣做了，這就是代數拓樸中環路空間（loop  space）方法的出發點：許多結果很快就跟著出現了。

    問：您經常是一次隻做一個問題，還是往同一時間裏做許多問題？                                                    

    答：通常是一次隻做一個問題，但也並不總是這樣。我經常在夜間（似睡非睡到一半狀態）工作，那個時候你不需寫任何東
西，這使你的腦子更集中，並易於轉換課題。

    問：在物理學裏，許多發現源於偶然事件，像X-射線、宇宙本底軸射的發現等等。在數學中，您是否有類似的經曆？

    答：真正的偶然事件是絕少的。有時，你會感到驚訝，因為你為某種目的進行的論證恰好解決了另一方向的問題。然而，這稱不上是“偶然事件”。

    問：代數幾何和數論的中心問題是什麽？

   答：這我回答不了。你知道，有些數學家有著清楚的、目標遠大的“綱領”。例如，Grothendieck對代數幾何有一個這樣的綱領；而Langlands則有一個與模形式（modular  form）和數論有關的表示論的綱領。我從沒有這樣的綱領，就是小範圍的也沒有。我隻是做我立時感興趣的事情。（眼下我最感興趣的課題是計算有限域上的代數曲線中點的個數。這是一種應用數學：你可以試著去應用代數幾何和數論中你所知遣的任何工具……，但做這件事不會十分順利！）

    問：您認為代數幾何或數論在過去五年內最大的進展有哪些？

    答：這比較容易回答。首先想到的是Faltings對Mordell猜想和Tate猜想的證明。還要提到Gross-Zagier在二次域的類數問題上的工作（基於Goldfeld先前的一個定理），以及用模曲線（modular  curve）得到的Iwasawa理論中的Mazur-Wiles定理。           
（模曲線和模函數在數論中的應用特別使人振奮：可以說是用GL_2來研究GL_1！很清楚這個方向將會湧現出許許多多的玩意……，甚至有朝一日會得到Riemann猜想的證明！）

    問：有些科學家在一個領域做了基礎性工作後，很快就轉到另一個領域。您在拓樸學上工作了三年，然後做別的東西。這是怎麽回事？

   答：這裏有一條連續的路徑相聯，而非跳躍式的變異。
1952年，在完成了關於同倫群的論文後，我到了Princeton，在那裏講我的論文（及其續篇“C-理論”）並參加了關於類域論的有名的Artin-Tate討論班。爾後我回到巴黎。那裏的Cartan討論班正在討論多個複變量的函數和Stein流形。結果發現用上同調和層的語音，可以更有效的表示（以及更簡單的證明）Cartan-Oka之新近的結果。這是很振奮人心的，我在此課題上工作了一個短時間，把Cartan理論應用於Stein流形。然而，多複變量的一個十分有趣的部份是射影簇（仿射簇的對立物--仿射簇在幾何學家看來有點病態）的研究；因而，我開始用層論來處理這些複射影簇：
   在1953年，我就是這樣得到了圍繞Riemann-Roch定理的一係列有關想法。但射影簇都是代數的（周緯良（Chow）定理），用完全可能含許多本性奇點的解析函數，來研究這些代數對象是有點不自然。很清楚，利用有理函數應該就夠了----事實也正如此。這使我
（1954年左右）進入代數閉域上的“抽象”代數幾何。但為什麽         要假設域是代數閉的呢？對諸如Weil猜想之類來說，有限域更使人激動，且從那兒到數域有很自然的轉換……。這大約就是我所走過的道路。
    另一個方向的工作來自我和Borel的合作（及友誼）。他告訴了我他對Lie群的獨到的見解。這些群和拓撲、代數幾何、數論……的聯係非常迷人。我隻給你們舉一個例子（這是我在1968年左右意識到的）:
    考慮SL_2(R)的最明顯的離散子群Gamma=SL_2(R)。可以算出它的“Euler-Poincare示性數"kai(Gamma)，等於－1/12（它非整數，是因為Gamma是有撓的）。但-1/12恰好是Riemann-Zeta函數在點S＝-1的值xi(-1)（Euler知道的結果），這並不是巧合！它可以推廣到任意的完全實數域K的情形，並可用來研究xi_K(-1)的分母。（正如後來所發現的那樣，利用模形式可得到更好的結果。）這類問題不是群論的，不是拓樸學的，也不是數論的：它們隻是屬於數學。

    問：數學中各種各樣的領域達到某種統一的前景如何？

    答：我想說這種統一已達到了。上麵我已經給出了Lie群、數論等等互依互存、不可分離的典型例子。我再舉個這樣的例子（可以容易地舉出根多）：
    最近，S．Donaldson證明了一個關於四維緊致可微流形的優美定理。此定理說這種流形的（H^2上的）二次型受到嚴格的限製：如它正定，則是平方和。證明的關鍵是構造作為某個（自然是非線性的）偏微分方程的解集的某一輔助流形（一個“配邊”）！
這是分析在微分拓樸中的全新應用。使之更引人矚目的是若去掉可微性假設，則情況完全不同：根據M. Freedman的定理，此時H^2-二次型幾乎可以是任意的。

    問：怎樣才能跟上數學知識爆炸的形勢？
 
   答：你實在沒有必要去跟。在你對某個特殊問題感興趣時，你會發現隻有很少已有的工作與你相關。若有些東西確實有關，你會學得非常快，因為你心中有一應用的目標。經常翻閱《數學評論》（特別是數論、群論等方麵的合訂本）也是個好習慣。你也能從你的朋友那裏學到許多：人家在黑板上向你解釋一個證明要比你自己去研讀它容易。
    更令人擔心的問題是那些“大定理”，這樣的定理即非常重要又長得無法去驗證（除非你把生命中可觀的時間花在上麵……）。典型的例子是Feit-Thompson定理：奇數階群是可解的。
（Chevally曾把它作為討論班的課題，打算給它一個完全的闡述。兩年後，他不得不放棄了。）如果不得不運用這樣的定理，我們該怎麽辦呢？誠心接受？也許可以，但這不是很舒服的事情。    對有些課題，主要是微分拓樸中的，我也覺得不舒服。在那裏，作者先畫一個很複雜的（2維）圖形。然後，要求你接受它是5維或者更高維情形的一個證明。隻有專家才能“看出”這樣一個證明是對的，還是錯的----如果能稱其為證明的話。

    問：您對計算機將往數學發展中產生的影響有何想法？          
 
  答：計算機早就為數學的某些部份做了許多好工作。例如，在數論裏它們就有多種用途。首先，自然是提供猜想或問題。但它也可以用數值例子來驗證一般性定理----這非常有助於發現可能出現的錯誤。
    要對大量情形做檢查時，它們也非常有用（例如，假若你非得驗算10^6或10^7種情形的話）。有名的例子是四色定理的證明。然而，這裏也存在著有點類似於Fiet-Thompson定理中的問題：對這樣的證明，人是無法親手去驗證的；你需要計算機（和非常精巧的程序）。這也同樣使人感到不舒服。

    問：我們怎樣鼓勵年輕人從事數學，特別是對中學生？

    答：在這方麵，我有個理論，即首先應該勸阻人們去搞數學；因為並不需要太多的數學家。但如果你們還堅持要搞數學，那就應該實實在在地鼓勵並幫助他們。
 
   至於中學生，關鍵是要讓他們明白數學是活生生的，而不是僵死的（他們有一種傾向，認為隻有在物理學或生物學中有未解決的問題）。講授數學的傳統方法有個缺陷，即教師從不提及這類問題。這很可惜。在數論中有許多這樣的問題，十幾歲的孩子如果能很好地理解它們：當然包括Fermat大定理，還有Goldbac猜想，以及無限個形如n^2+1的素數的存在性。你也可隨意講些定理而不加以證明（例如，關於算術級數中素數的Dirichlet定理）。
 
   問：您是否會說過去30年的數學發展比在此之前的30年快？

答：我不能肯定這是真的，風格不同了。50和60年代總是強調一般的方法：分布、上同調等等。這些方法非常成功，而現在的人們則做更具體的問題（時常是一些相當老的問題：例如3維射影空間中代數曲線的分類！）。他們應用已有的工具；這是很美好的。（他們也創造新的工具：微局部分析（microlocalanalysis）、超簇（supervariety）、交截上同調（intersectioncohomology）……）。

    問：麵對數學的爆炸性發展，您是否認為開始讀研究生的學生能夠用四、五或六年的時間吸收大量的數學知識，然後直接開始做開創性的工作？

    答：為什麽不能？對某個給定的問題，你通常並不需要知道很多----再說，常常是極其簡單的想法打開了局麵。
    有些理論得到簡化，有些理論退隱了。例如，我記得在1949年我曾感到沮喪，因為每一期Annals of Mathematics上都有一篇比以前更難懂的拓樸學文章。但是，現在沒有人再瞧它們一眼；它們被遺忘了（應該這樣：我認為它們不包含任何深刻的東西……）。遺忘是一種很健康的行為。
    當然，相對來說，有些學科需要更多的訓練，因為它們需用大量的技巧。代數幾何就是這樣，還有表示論。
    無論如何，某個人要是說“我準備搞代數幾何”或類似的事情，這是不清楚的。對一些人來說，最好就是去參加討論班，幻讀東西並向自己提出一些問題，然後學習解決這些問題所需的那些理論。

    問：換句話說，首先必須著眼於某個問題，然後去弄清楚解決這個問題所需的無論什麽樣的工具。
 
   答：有點這個意思。但既然我知道我不能給自己提出好的忠告，我也不應給他人提什麽建議。我工作時是沒有現成方法的。
 
   問：您提及那些已被遺忘的文章。您認為已發表文章中的百分之幾能存活下去？

    答：我相信不會是零。畢竟，我們還在愉快地讀著Hurwitz、Eisenstein甚或是Gauss的文章。

    問：您是否會對數學史發生興趣？

    答：我早有興趣了。但這絕非易事；我不具備掌握例如拉丁文和希臘文等語言的能力。而且，我能理解寫一篇數學史文章要比寫一篇數學論文花更多的時間。還有，曆史是非常有趣的；它把諸事恰如其分地展現出來。

    問：您是否相信對有限單群的分類？

    答：又信又不信----信的成份多一些。如果有朝一日發現一個新的散在群，我會覺得有趣，但恐怕這種事情不會發生。
    更重要的是，這個分類定理很了不起。現在隻要查一查列出所有群的表格，就能查到許多性質（典型例子：n＞4的n-可遷群（transitive group）的分類）。

    問：您對完成分類後有限單群的生命力怎麽想？

    答：你是在暗指某些有限群專家在實現分類後士氣低落；他們詛（大概跟我說過）“以後將無事可做。”我覺得這是荒謬的。可做的當然多著呢！首先，自然是簡化證明（此即Gorenstein說的“修正主義”）。也可以尋找其在數學其它部份中的應用，例如已經有把Griess-Fischer的怪群（monster group）和模形式聯係起來的非常奇妙的發現（所謂“月光”（Moonshine））。
    這正像問Faltings關於Mordell猜想的證明是否結束了曲線上有理點的理論。不！這僅僅是個開端。許多問題仍待解決。
    （當然，有時的確可以扼殺掉某個理論。有名的例子是Hilbert第五問題：證明每個局部歐氏的拓樸群是Lie群。當我還是個青年拓樸學家時，我確實想去解決這個問題----但我未能如願。是Gleason和Montgomery-Zippin解決了它。他們的解幾乎扼殺了這個課題。還能在這方向上做點什麽呢？我隻能想出一個問題：p-adic整數群能否有效地作用在流形上？這看上去很難----但我所能預見的是，即使有了解答也沒有任何膀用。）

    問：可以這樣認為，數學中的大多數問題都是這樣的，即這些問題本身可能很難且富有挑戰性，但在解決後，就沒有什麽用了。實際上，隻有很少的問題能像Riemann猜想那樣，早在解決之前，就知道有許多推論了。

    答：是的。Riemann猜想是很美妙的：它孕育了許多東西（包括純粹的數值不等式，例如數域的判別式）。但也有其他類似的例子：Hironaka的奇性消解定理（desingularization theorem）是一個，當然還有上麵討論過的有限單群的分類。有時，一個證明中所采用的方法有許多應用：我確信Falt-ings的證明屬於這種情況。而有時，問題本身確實並不意味著有應用，而是對已知理論的一種經驗，它促使我們看得更遠。

    問：您是否仍回過頭來搞拓樸學中的問題？
 
   答：不。我未去掌握新近的方法，我也不知道球麵的同倫群pi_{n+k}(S_n)已算到什麽地步（我猜測人家已經做到k＝40或50。我隻了解大約到k＝10的情況）。

    但廣義地說，我仍然在使用拓樸學中的思想，諸如上同調、障礙、Stiefel-Wiltney類等。
 
   問：Bourbaki對數學有什麽影響？

    答：問得好。我知道把什麽事（例如“新數學”）都歸罪於Bourbaki是很時髦的，但這並不公正。Bourbaki沒有責任，隻是人們錯用了他的書。這些書決不是為大學教育寫的，中學教育就更談不上了。

    問：也許本來應該給一個警告性的信號？

    答：事實上Bourbaki給出了信號，這就是Bourbaki討論班。此討論班的內容根本不像他們的書那麽形式化。它囊括了所有數學，甚至一些物理。如果你把討論班和書結合起來看，你就會有更適當的看法。

    問：您是否發現Bourbaki對數學的影響正在減弱？
 
   答：影響與以前有所不同。四十年前，Bourbaki有一個目標，他要證明有計劃地係統闡述數學是可能的。現在，這個目標已經達到Bourbaki勝利了。其結果，他的書現在隻有技術方麵的重要性；而問題隻在於他們是否給出了那些課題的良好闡述。有的他們做到了（關於“根係”的那本書已成為該領域的標準參考文獻）；而有的並不如此（我不想舉例，這更多地同各人的口味有關。
 
   問：說到口味，您能否談談您最喜歡什麽風格（對書或文章）？

    答：精確性和非形式化相結合！這是最理想的，就像講課那樣。你會在Atiyah，Milnor以及其他一些作者的書裏發現這種令人陶醉的溶合。但這極難達到。例如，我發現許多法文書（包括我自己的），有點過於形式化，一些俄文書又不那麽精確……。
    我進一步想強調的是，論文應含有更多的注記、未解決的問題等，這常常比精確證明了的定理更使人感興趣。哎，大多數人害怕承認他們不知道某些問題的答案，結果克製自己不提這些問題，即使它們是很自然會出現的。這太遺憾了！至於我們自己，我很樂意說“我不知道”。