與大數學家一席談 之（Kline 訪問記）

與大數學家一席談 之（Kline 訪問記）

Morris Kline訪問記（1986年）
G. L. Alexandersen

    譯者注：Morris Kline的名字對於我們並不陌生，他的《古今數學思想》早在1979年--1981年就陸續被翻譯成中文，在我國數學界廣為流傳。他在數學教有、數學史、教學與研究的關係、理論與應用的關係等問題上都有獨到的見解。盡管他的某些觀點至今還在被人爭論不休，但是譯者相信了解這些觀點和爭論的實質，對於我國數學的發展和數學教育事業是大有裨益的，故將此文譯出介紹給廣大的數學工作者特別是從事數學教育的園丁們。

    Morris  Kline是紐約州立大學Courant數學研究所名譽教授，近年來也一直擔任著紐約市立大學Brooklyn學院的高級客座教授。他在紐約大學獲得了博士學位並於1930年開始教書與研究生涯。1936--1938年，他在普林斯頓高等研究所工作。盡管目的是拓樸學的專門訓練，但是他作為一個數學家的主要研究工作在微分方程與應用數學方麵。他曾主持Courant研究所電磁學研究室多年；獲得過多種科學榮譽稱號：Guggenheim會員、Fulbright客座教師、許多客座教授席位、以及紐約州立大學的傑出教師獎。
    他寫過許多研究性論文，以及許多關於數學教育的論文。他所發表的著作遍及數學《電磁學理論和幾何光學》，《電磁波專題論集》、數學在社會中的作用（《西方文化中的數學》）；《數學與物質世界》）、數學史（《古今數學思想》）和數學教育（《Johnny為什麽不會做加法：新數學運動的失敗》）等不同的領域。除此之外，他還寫過幾種教科書，其中有《文科數學》；《數學：一種文化探索》、《微積分：
一種直觀的和物理的方法》等。他還編輯了通俗讀物《當代世界中的數學》，這本書中的文章都是從《科學的美國人》中收集來的。本訪問記完成之後，他又出版了《數學：確定性的喪失。

                早期反對“新數學”

    Kline教授對於爭論並不陌生，他是“新數學運動”的一個直言不諱的早期批評者。早在50、60年代，他就在《數學教師》（“數學教科書與教師”，“古人和今人”，“對高中數學課程的建議”）和《數學月刊》（“邏輯與教育”）上發表了一係列文章，對“新數學”過份的嚴密性和處理應用題
材方麵的失誤進行了抨擊。例如，他在“對高中數學課程的建議” 中寫道：“我們在陳述數學時不應要求盡可能嚴格，而應盡可能直觀。對於那些學生不自覺就能使用的明顯的事實，可以不加解釋就接受它，采用它。學生們不會為一條直線能否將平麵分成兩個部份而輾轉難眠。因此隻須提供學生們認為是必要的證明就夠了。鑒賞嚴密性的能力是學生年齡的函數而不是數學成熟程度年齡的函數。正如斯坦福大學的Max M. Schiffer教授所指出的：‘在數學中絕不要把邏輯的馬車放到啟發式的前麵。’”在“邏輯與教育”一文中，他又重複了同樣的忠告，這一次更多地是針對大學裏的教師的。
    在他的著作《教授為什麽不會教書：數學與大學教育的困境》之中，Kline教授呼籲加強大學建設並為更新大學教學質量的觀念進行了有力的爭辯。這本書引起了一些富有刺激性的討論，甚至比他較早的著作激起的關於“新數學”的論戰更甚。

              “回到基礎”與“新數學”

    A：Kline教授，我讀過您的不少書，內容遍及數學的廣闊領域，以及曆史的、文化的和教育的題材，我真不知從何談起，我想人們可以根據您的任何一本著作來製定采訪計劃。不過這次的采訪計劃是由您的《教授為什麽不會教書》所激起的，因此我肯定要討論由此書提出的一些議題。盡管如此，還是先讓我從“新數學”的幾個問題開始吧。“新數學”似乎已到了窮途末路，您是否為此感到鼓舞？

    K：我為美國的教師們認識到“新數學”對於數學教育並不是一個進步而感到滿意。不過談不上高興，因為真正的退步還沒出現。我也為下述事實感到吃驚：傑出的、理智的數學家們竟會相信“新數學”的課程對年輕人是合適的。但是大概沒有人要對教育進行一種“先驗的”（priori）判斷。

    A：我知道您希望在數學課程中看到更多來自物理學的動力。當學校越來越多地放棄了強調結構和公理體係的時候，您看到了它們被介紹給學生的跡象了嗎？

    K：我確實希望看到物理問題被作為動力和應用在許多數學課程中加以介紹。當然這些應用必須謹慎地加以選擇以適合課程的水平，而且它們不必包含詳細的物理背景，它們不需要。我相信現在的教授們不介紹這些物理問題是因為典型的數學博士並不具備物理科學基礎知識，他們擔心自己無法回答學生們在這方麵提出的問題。實際上這種擔心是沒有根據的，因為課程中僅涉及到很少一點物理學、天文學或化學知識。近來關於應用的問題談得很多，但我擔心它僅僅是一場空談。

    A：您對“回到基礎”的教育課程目前的趨勢有何高見？難道它不會在學校裏招來一個比一度濫用語言和符號而引起的混亂更糟糕的問題嗎？

    K：出現“回到基礎”的運動，部份原因來自對“新數學”的反抗，這一運動不是對嚴肅的數學教育問題的解答。依我看來，它強調20多年前常見的那些毫無實際含義的技巧訓練。那種類型的教育失敗了，它已為多數理智而受過數學教育的人的態度所證明。幾乎可以斷言返回基礎運動會遭到失敗。它雖然不會比“新數學”更壞但是肯定也不會更好。

    A：我想您在自己的書中提出了一個與袖珍計算器有關的觀點。您指出一個人要想能夠學會代數就得了解算術的技巧。畢竟，做代數運算隻是用字母來做他已經會用具體數字做的運算。袖珍計算器本身不能提供算術方麵的必要經驗。能否在各種程度的課堂上使用袖珍計算器？對此您願意加以評論嗎？

    K：我聽到一些優秀的數學家說，在可以利用袖珍計算器的今日，我們無須講授多少算術。因此我在自己的書中指出了這一主張的錯誤之所在。當然，在算術教學中，袖珍計算器可以供學生們檢驗他們通過通常的算術運算所得到的結果。我也相信必要的實驗器具是需要的；但嚴格地說，計算器不是一種實驗裝置，而是一種新鮮東西，是學生們會擺弄的玩意兒。它是很迷人的。在中等和更高一些的教育中，袖珍計算器具有輔助作用，它可以代替計算尺和對數表。但是這並不意味著不需要講授對數；因為對數函數在微積分中是重要的。袖珍計算器也能喚起學生對計算機科學的興趣。

                  曆史----教育的指南

    A：您的書中有一處提到，直到1600年左右人們還沒有用字母符號來表示數學。在另一處較早的評論中您指出微積分的邏輯基礎是19世紀發展起來的，時距Newton和Leibniz已將近300年。可我們今天仍然期望低年級學生就學習代數，期望初學微積分的人就能了解“epsilon-delta”方法的必要性。您認為那些改革數學課程的人應該更多地了解數學的曆史發展嗎？

    K：我絕對相信曆史事實是一種出色的教育指南。微積分的入門不應包括“epsilon-delta”方法，這種嚴格性的要求屬於高等微積分。一個人不需要原原本本地追尋曆史，但是如果偉大的數學家在某些創造中曾遇到困難，我們的學生也不會例外。

    A：您主張每一個未來的教師都應上數學史的課嗎？

    K：中學和大學裏的每一位數學教師都應了解數學史。理由很多，但是最重要的大概是數學史乃是指導教育的指南。

    A：我在“新數學”教材的使用中發現的一個問題是教師們有如下傾向：當他們在夏季訓練班接受範圍廣闊的在職培訓時，認為教他們的材料（例如關於幾何基礎的嚴格教程）幾乎可以不加改變地照搬到中學教室中去。這就忘記了有經驗的教師和初次遇到這類問題的年輕學生之間的差別；如前者懂得什麽是幾何學，他們能夠了解經過細心安排的課程的精萃。在今後的課程改革中有無避免這類問題的辦法？

    K：您當然是正確的，那些能夠理解嚴格性的教授們並未想到年輕人做不到這一點。向年輕人講授嚴格的數學的運動，過去
是、現在仍然是一個錯誤。學生們還沒有做好準備去體會嚴格性的必要。我在“邏輯與教育”一文中就是試圖詳細地論證這一觀點。對任何課的入門介紹必須是直觀的，即使教師們知道從嚴格性的觀點來說這種講法是錯誤的。大約2000年來最好的數學家們都認為Euclid的《幾何原本》是嚴格的。這就再次說明曆史是教育的一個指南。

                從事研究影響教書嗎？

    A：讓我們轉到您書中提出的更特殊的論題上來吧。您使用了一些激烈的語言，例如關於“新數學”您寫道：“當然，‘新數學’對於初等和中等水平的數學教育都是一場災難……”肯定會有人對此持不同意見。而且您在評論數學研究時也是苛刻的，例如您說：“毫無疑問，在所有學術領域中都有許多沒有價值的工作，然而在數學領域這種舍本求末和不得要領的情況尤為盛行。”這本書是否引起了強烈的反應，甚至招來了反擊呢？我曾經在《數學通訊員》（The Mathematical Intelligencer）上見過Hilton和Hochstadt所寫的兩篇反擊文章。

    K：我對數學研究的責難跟這些文章之所論無關。事實上我可以為我的觀點辨護，也許有朝一日我會這樣做的。不過，我在《教授為什麽不會教書》中堅持的是：從事現代的、高等專門化的研究並無助於改進在大學教數學的能力。《數學通訊員》上所發表的Peter Hilton和Harry Hochstadt針對我關於研究之論述的批評是無的放失的。例如，Hochstadt說我希望取消研究工作；我從未說過任何這類的話。他們兩人都沒有耐心去讀這本書，而僅僅讀了（《數學通訊員》）第一期上的摘要。很難說這樣做是嚴肅的。但慶幸的是，我收到了幾十封教師來信，他們不僅同意研究工作與教書無關的看法，而且抱怨要他們去搞研究的壓力。

    A：您毫無困難地使我相信大學裏存在著些非常糟糕的教學方式，而且卓有成就的研究者們在教室裏可能是相當差勁的。但我從您書中得到這樣的印象，您幾乎不承認有“出色的研究數學家也是出色的教師”的特例。是否存在著在兩方麵都很出色的人物呢？

    K：兼為出色的研究者和出色的大學甚至研究生教師的人確實是罕見的。理由並不是說搞研究的人沒能力成為好教師，而是因為某個人如果要在研究方麵出眾他就必須追蹤大量文獻、出席各種會議。並付出那樣多的時間來解決重大的問題，這就使他不可能拿出時間來應付那些針對一名教師的複雜要求。這就是說，隻有具備過人精力的人才能同時勝任這雙重工作。

    A：在讀您的書時還有一個問題，即我無法確認一個好教師應該是什麽樣的？我回想起自己的一位老師，他是一個世界知名的研究數學家。他在講課中總是花許多時間在那些相當簡單的思想上，而常遇到那些依我看來是困難的問題（據我記憶，像Tauber定理的級數）時，他就略去證明並告訴我們說那太難了。當時我曾想自己學習這門功課實屬不幸，而我的課堂筆記是些無價值的東西。可是，那位老師懷著滿腔熱情講授的內容至今使我難以忘卻，而且回憶起來這是我所學過的最好的功課之一。我的觀點是教師是以一種微妙的方式影響其學生的思想的，而學生對於一個老師“表演”的膚淺評價並不能說明全部問題。對此您樂於加以評論嗎？您認為如何給一個好教師下定義呢？
 
   K：好的教學沒有一個完全的、最終的特征。一個能鼓舞自己的學生學習的教師就是好教師。當然他應該不斷進取。一個講課乏味然而卻完全知道學生們的疑難之所在，能在課堂裏清楚地介紹材料，在課下進行輔導的教師就是一個好教師。甚至那些在教學中既無口才也不特別用心的人，隻要他了解自己的學生，並使學生們感到他是能為他們提供任何形式的幫助或建議的朋友，
那麽他也是一個好教師。每一位好的教師必須知道普通學生的情況，以此進行有針對性的備課和選擇教材。對待學生的反映必須有所保留。

    A：正如我剛才所說，盡管存在著特例，我傾向於認為出色的研究者通常不會是出色的教師，而且他們無論如何不會去充分地接觸大學生。但是在您的書中對啟用助教有相當多的非難，不錯，他們有另外的更重要的事要做，但是我觀察到配有助教教學的大學生往往是幸運的，您同意嗎？

    K：正因為研究者很少是一名好教師----理由前麵已講過，所以我相信研究生來作助教很少能成為一名好教師。所謂學生通常能從研究生助教那裏比從教授那裏學到更多的東西，在我心目中隻是意味著糟糕的講解總比什麽也不講要好。

    A：您顯然認為對於大學數學教師來說，研究和教書幾乎是格格不入的。您在各種文章中建議，大學與研究生部應在財政和教員配備上都分開。請問有多少學校這樣做了？這樣做獲得了多大程度的成功？它是否為大學水平的教學帶來更好的效果？

    K：我堅持自己的建議，即大學生與研究生的教育應該徹底地互相獨立。研究生院侵占了由大學生交的學費而來的經費。大學不把這些錢用來資助第一流的教師，而是用於聘用研究生助教和采用大課的形式來給大學生上課。這種做法在規模大的大學施行了已有30或40年了。以我個人在紐約州立大學的經驗（我負責該校大學部的數學教育已達11年之久），當大學部獨立時教學效果要好得多。那時候，教學是在小課堂進行，由熟練的、專職的、通常來說是具有資格的教師來授課。但是紐約大學現在也步上了哈佛、普林斯頓、芝加哥、伊利諾斯、密西根、伯克利以及據我知的所有重要大學的後塵。在《紐約時報》“Op-Ed”欄目近期發表的一篇文章中，一所名牌大學的校長為大學生注冊數字麵臨下降的局麵而歎息，因為這意味著可用來資助研究的錢減少了。
 
   A：您叫人注意這樣的事實，聯邦政府以法律形式和扣發補助基金的辦法，迫使大學結束那種不公平的做法是有效的；而政府方麵的類似壓力也能強製大學來改進教學。您提倡這樣的幹預嗎？應該對大學施加什麽樣的壓力呢？                           

    K：我不願意在教育中看到過多的政府幹預。但是現在的那種設置州立大學的教育體製是最重要的體製，這類大學的管理經費由州（有時由市）提供。州議員們需要確信和看到有充足的資金用在真正的大學教育方麵。這是具有頭號意義的。當然也應為研究生教育和研究提供經費，但是它應放往滿足大學教育的需要之後。國家科學基金和數百個私人基金會為研究生和研究計劃提供資助。我不會忘記研究的價值，但是它不應侵害大學生的利益。

    A：您在第235頁上寫道：“在教育領域，大學堅持把從事研究作為任命與保留住教授席位的標準，……采用大課形式教課，大量啟用助教，以及不適宜的教科書對數學的進步和教學的效果都是極為有害的。”肯定有人強烈地認為把研究工作的好壞作為任命與保留住教席的一項標準對於數學的進步是至關重要的，您在此處指的是否僅僅針對大學部教席的任命？研究生院肯定需要搞研究的，除非研究生院放棄培養哲學博士（Ph．D）的目標而改為培養文科博士（Doctor of Arts）。

    K：我在自己書中的第235員上關於研究工作不應作為任命與保留住教席的標準的意見，主要是針對大學部教師的。不過，即使對研究生，特別是在他們的前一、兩個學年中，也需要好的教學。同時，許多研究生院開設了服務性課程，這是為那些希望學到更多的數學但並不攻讀數學博士學位的（如工程師們）所開設的。在這本書的下一段裏，我相當淆楚地表達了這樣的意見：除了承認研究成果，還必須承認一個人的學識，當然搞研究的教授對於推進數學和培養未來的研究人材是必要的。

              文科博士學位對教師更合適嗎？

    A：您用了一些篇蝠討論文科博士學位。我當然同意就從事大學教育而言，文科博士在許多方麵過去和現在大概是比哲學博士更合適的學位。您認為這一設想將會真的付諸實現嗎？人們不會把它看成一個低於哲學博士的二流學位吧？選擇文科博士作為二年製學院教師所必備的學位，您對此有何想法？

    K：文科博士學位正在慢慢地被接受。我相信關於什麽是好的教育的爭論將有助於此。盡管這一學位暫時將被視為是二流的，我相信它將取得自己的地位。對於二年製學院的教師來說，它是合適的學位。現在有大約50%的大學生在二年製學院學習，這些大學生必須有好教師，而我希望新近成立的全美二年製學院數學聯合會（American Mathematical Association of Two-YearsColleges）將對培訓教師施加影響。

    A：現在我想轉而討論應該教什麽樣的數學。在第206頁（《教授為什麽不會教書》）上，您反對教文科生或未來初等學校教師一些通常要教的題材：“實數理論的邏輯發展、集合論、超窮數、布爾代數、真值表、諸如群、環、域之類的抽象代數結構、有限幾何，以及份量很重的公理方法與證明等等。”在所有（哦，幾乎所有）這些領域裏，目前都有很吸引人的問題，但是對於那些並不具備數學天資的學生們來說，它們隻是一份乏味透項的題目清單而已。我知道您願意使用與科學關係更密切的題材，純數學中，例如數論或幾何中是否有這樣的題材，它們更接近學生的經驗與興趣。

    K：談到教文科生和未來初等學校教師的教材，現在流行的內容大多數對他們是無用的。當然，我並不排斥某些純數學題材。我的《文科數學》就為文科學生提供了一種可用的讀本。我不提倡用這本書來教未來初等學校的教師，他們需要更好地理解算術、代數與幾何的基礎、以及相應水平上的應用。這些學生可以學習多種題材，例如我們采用的數係的各種基，它將加深他們的知識從而使他們成為更好的教師。

    A：我的整個感覺是您對純數學有些微辭。但是，數論、組合學與幾何中的一些題材可以遠離實際問題而具有巨大的魅力，還可以用來激勵學生學到好的數學技巧。Martin  Gardner的書和專欄文章的廣泛流行就說明了這一點。您在自己的書中確信遊戲對於低年級學生有積極影響，難道高年級學生就不能從有魅力和有趣的數學中得到好處嗎？

    K：我對把純數學作為課程中的主食的做法不滿。作為副食有點那可能是吸引人、令人生奇，很有點意思。但是數學是門最重要的課，而且依我的經驗看，最吸引學生的是那些在他們的生活（依年齡而有別）中能派上用場的事物。Martin Gadner的專欄文章和著作的流行主要在於那些難題讓人動腦筋；我願意在任何水平上采用具有真正教育意義的難題，但是許多難題是沒什麽意義的。讓我們想一下縱橫字謎的流行吧，它們能在多大程度上體現英語課程的本質內容呢？

    A：我有一個問題是關於講授來自物理科學或天文學的例子的。可能是我講得不好，但我總覺得很難把自己在這些問題上的激情傳染給學生，最常出現的情況是使我的學生想起在物理課上的不快經曆。它們常常需要大量的計算，看起來特別像是真正的工作。至於天文學的計算，盡管有些對空間計劃入迷的學生可能頗感興趣。但在我看來僅僅是如同哥尼斯堡七橋問題一樣的日常瑣事。

    K：物理並不比數學好教。有些學生對於物理問題的反感不亞於對於數學的反感，這是事實。不過假若數學教學得到改進，物理問題就可以被表達得更具吸引力。何況通過挑選那些與學生們的生活的確有關的問題，我們可以提高他們的興趣以致克服對物理的反感。對於高中學生來說，用於健身術的物理（有這方麵的書）可能是一個合適的應用課題，盡管它大概沒有非常大的意義。繁瑣的計算應該而且可以通過對數字的精心安排而避免。我們必須通過試驗，尋求確實適合各種年齡的學生的不同的應用問題。

    A：您看過一些最近出版的應用問題集嗎？（例如MAA-NCTM出版的《中學數學應用資料集》），它們由不同的小組聯合選題。為了選擇能在課堂上用的例題，我從頭至尾地讀了其中的一些書。依我看，它們中的大多數都枯燥乏味，我擔心無法對自己的學生試用。我覺得它們並不比將被它們取代的那別人為編製的問題更有趣。問題在於能引出例子的好材料；正如您所指出的一樣，大多數作者不具備寫作出色的應用問題的背景的。如果接受《數學月刊》上Robert Karplus寫的“科學中的數學方法”一文的觀點，甚至像具有Polya的學術背景和才幹的人也會遇到困難。對此問題您有什麽簡單的解決辦法嗎？
 
   K：我還沒有讀MAA-NCTM的《中學數學應用資料集》，但我讀過其它的書，通常來說它們是令人失望的、單調乏味的。實行這類寫作計劃的麻煩在於作者們寫的是他們已經知道的東西，而他們之所知是有限的。我相信應用的數量和形式是那樣地多，我們總是可以找到好例子的。我自己的筆記中記了數百個應用的實例。當然好的例子必須通過在各個領域艱苦的挖掘才能找到。而且我強調它們必須先進行試講。Polya是一個偉大的數學家而且對教育真正有興趣，但是他為高中學生寫作的本領是成問題的；如同其他在歐洲接受訓練的數學家一樣----其中有些人是我在紐約大學的同事----Polya對於美國較初級的教育並不真正往行。

                  為教師們寫的介紹性作品

     A：作為幾部教科書的合作作者，我不得不承認在讀您關於教科書及其作者的那一章時感到有些難為情。讓我來引述您的話：“數學教科書的寫作不僅極端簡潔，而且令人感到冷漠、單調、枯燥、乏味甚至文法不通。”我承認其中的一些責難有理但是不情願接受最後一條！當然，您的評論不僅適於教科書，甚至更適於雜誌上的文章。在許多人眼中，晦澀的數學作品不是一種罪過而是一種德行。請問是否存在合乎情理的改變數學作品風格的希望，以便不再使包含寫作動機和曆史背景的文章被看成采用了壞的寫作方法？

    K：我對教科書的非難是泛泛而言的，就如同對研究人員當教師的批評一樣；我並不排除例外。所有的數學家，特別是取得文科博士學位的人，都願接受寫作介紹性作品的訓練。寫作是一項技能和藝術，並不是生來就會的。如果我們進行培訓並合理的安置好的教師，他們就會去尋找寫得好的教科書並促使其他想取得職位的人改變現狀。對於研究性的文章，我看不出有改進的希望。美國數學會本可以為此做很多事，但是他們不會去做。

    A：我想起數年前訪問一所小的文科學院時瀏覽其書櫃中的教科書的情況，我知道該校的學生是什麽類型的；在那裏我期望找到Granville的微積分讀物，但我卻發現了Apostol的書。對於某些學生來說，Apostol的書現在當然是一部好教科書。我知道您關於此事會有話講的，您願意說說嗎？

    K：Apostol的微積分是非常高深的微積分教科書，它不應作為微積分的入門書來使用。許多教授根據他們自己的興趣選用教材，卻全然不顧及學生們的水平。
 
   A：您強調了對一個人學識的評價，而不是其研究能力。我想您所說的學識，指的是綜合能力、批判能力，以及用曆史眼光看問題的本領。肯定地說，數學是具有下述特點的少數幾個（如果不說是唯一的話）領域之一：所謂的學識在這理被忽視了而隻有新的創造才算數。如果我們剛才討論的培養文科博士的計劃得到成功，並對數學職業產生了影響的話，那麽承認這種有價值的能力就恰是必要的了。我隻是希望我們不要用別人的學識來衡量一個學者。我發現讀您的《古今數學思想》就像是一次令人歎服奇妙的漫遊。 您的講課中也有曆史性評述嗎？

    K：我的《古今數學思想》不是一部教科書，它是供專家們必要時查閱並為了提供廣泛背景知識的讀物。但是曆史可以在教學中扮演重要的角色。例如，假如告訴初學微積分的學生們：盡管Newton和Leibniz是聲名顯赫的先輩，他們自己也沒有透徹地理解微積分的許多概念，數學家們大約經過200年的努力，才把這些概念弄確實；那麽當學生們開始時不能很好地理解這些概念，也就不至於感到迷惘。相反地他們將得到鼓舞而繼續學下去，曆史還有許多其它的教育價值。    寫好的介紹性文章和批評性文章也是學問。

    A：您是否覺得應該在數學係設置更多的單獨的數學史課程？

    K：每一個數學係都應該設置一門數學史課程、無論對於大學部還是對於研究生院都應如此。我可以寫一篇長文來論述設置這樣一門課程的價值。       
                    
          
                  在紐約大學的生活

    A：您本人一直很接近近期的一些重要曆史。您曾經在紐約大學工作了許多年，關於Courant時代我們最近在Reid的書中讀到了很多事情。早年，也就是30年代後期，您在高等研究所工作吧？當時Einstein在那裏，還有其他一些相當出色的人。在這些令人激動的日子裏，紐約大學和研究所的生活是什麽樣的？您能為我們簡要地描述一下嗎？

    K：描述從1934年到1958年在Courant管理下的紐約大學的生活需要一本像Coustance  Reid寫的那樣厚的書。我能夠簡要說明的隻是：Courant是我所遇見過的人當中最博學最具備管理才能的一位，他還把一個微不足道的（數學）係建設成了最了不起的係之一。在為他工作的過程中使我獲得了在別處得不到的洞察力。1936-1938這兩年間，我在高等研究所所度過的時光也是很值得的。不過隻是學到了數學知識而已。Einstein、VonNeumann、Weyl、Morse、Veblen以及Alexander都是那裏的數學教授。我是Alexander的研究助手。我不得不告訴你這些人身上也有十分明顯的局限性，當然我不是指創力或知識而言。

    A：您一向對應用數學有濃厚興趣嗎？這是受了什麽人的影響？有沒有數學史或科學史方麵的教師或人物對您有影響？您對曆史上的哪些數學家給予特別高的評價？

K：在高中甚至在做數學研究生（Courant於1934年到紐約大學之前）時，我對數學是什麽沒有一點兒自己的想法。我可以按照要求完成作業並得到高分，所以我寧願選擇學數學而不選擇諸如英文之類的其它科目。我相信自己是本世紀20--30年代盛行的可憐的教學法與知識缺乏的一個犧牲品。我的博士學位是關於拓樸學的，這是任命我為拓樸學家James W. Alexander的研究助手的一個原因。但是當我返回紐約大學為Courant工作時，他使我確信數學家做出的與應該繼續做出的最大貢獻乃是幫助人們了解他們自己的世界，於是我轉向了應用數學。
    盡管Courant無疑是我所知道的最有能力的管理者，他對於各式各樣的人和思想具有不容置疑的判斷力，但是依我看，在數學領域中具有最廣博知識與最聰明的人是Hermann  Weyl：甚至他在《美國數學月刊》上發表的文章也是值得咀嚼再三的。如果我們把時間上溯，我心目中的英雄則是Leonard Euler。

    A：作為一名應用數學家，您一定參與了目前關於突變理論的爭論，您願意發表評論嗎？

    K：我沒有足夠的了解，因此無法評價Thom在突變理論方麵的工作。我懷疑它具有實質內容。但是當它被冠以“突變”一類的詞之後，肯定會引起比它原來能得到的更多的注意。
 
   A：我第一次遇見您是1958年，在斯坦福，當時您正利用暑假為接受特別培訓的高中教師講課。那時候您還正在寫教學的書，並且已經寫出了幾份教材和其它與教學有關的著作。您從何時開始就產生了對教學的濃厚興趣？您一直樂於此道嗎？

    K：當我於1930年在紐約大學當教師開始教書時，教課在那裏仍被看作是教師最重要的工作，盡管由於眾多原因我又回來搞應用數學的研突----二次大戰期間我為美國軍隊搞應用研究，後來在Courant研究所建立了電磁學研究室----我仍然相信教書至少跟研究是同樣重要的，而且我繼續追求著教學中的樂趣。我們是1958年在斯坦福相遇的，我後來又於1961和1966年再次到那裏教書。大約在1945年，研究在我國開始淩駕於教育之上，從那時起我開始對大學生受到的劣等待遇感到氣憤；即使研究工作十分繁重，我仍然要抽出時間來為爭取好的教學而大聲疾呼。
我希望盡自己的力量繼續這種努力，幸運的是，Courant對教學有好感，實際上他是懂得教學的，所以我個人在紐約大學沒有遇到過麻煩。

                   對教師們的忠告

     A：您是一位享有盛譽的教師。您有什麽訣竅可以傳授給我們隊伍中的其他人？能夠教會人們怎樣教書嗎？是否有人生來就具有這種本領而其他人沒有呢？

     K：我相信幾乎所有的人都能成為一名好教師。隻有一種人是例外，他們大概受早年生活的影響而形成了孤癖或內向的性格；那些性格活潑的人大概生來就具有這種品質。但是我早就注意到人的這種特點是非本質的。實際上有不同類型的好教師。無論如何，教書和學會如何教書肯定要求當事人有這方麵的誌向和決心。缺乏自知之明的人也不會把事情辦好的。一名教師必須了解：學習動力是至關重要的；學生中有思路敏捷的，也有反應遲鈍的，但這兩種人都能夠同樣好地學習甚至創造；班上每個學生的知識背景與興趣都會在課堂上有所反映，而這些背景與興趣的區別相當大；教師方麵友好的甚至同誌般的態度是十分關鍵的；幽默感對於教師亦不可忽視；必須經常尋找最好的教材和陳述方式。好
的教學要求教師具備許多素質，而它們都可以學會的。不過，隻要仍然把研究成果作為衡量人及其進步的標準，搞好教學的願望就會受到壓抑，這是人類具有的一種自然的反應。

    A：我記得Polya講過這樣一個關於Hilbert的故事：當有人問他如果500年後能夠像Barbarossa那樣重返人間，他將希望知道什麽問題的答案之時，他說道：“是否有人證明了Rie-mann猜想？”如果您在500年後能夠重返人間，您願意問什麽問題呢？

    K：如果我在500年後重返人間並發現Riemann猜想或Fermat大定理被人證明了，我將感到失望。因為根據試圖證明這些猜想的已有的曆史，我差不多可以肯定，數學家把大量的時間花費在證明這些對於人們的生活並不重要的定理上了。我倒是希望醫學有這500年的進展，能像數學物理在過去300年所取得的進展一樣神速。當醫學發現了怎樣治療和預防癌症、心髒病、先天不足、精神錯亂和其它疾病的時候，我會欣喜若狂因此而對那些大部份甚至是無用的數學表示寬容。為人類的幸福下個定義是不容易的，況且如同詩人Archilochus所說的一樣：“每個人必定有他自己的方式取得心靈上的歡愉。”但是身體健康是第一個先決條件。大概醫學的研究不得不等待數學、物理學和化學中的某些進步，但我相信200年前就能著手進行遠比實際規模要大的研究。Harvey發現的人體血液循環，Descartes在生物學方麵的實驗、John Bernoulli和他的兒子Daniel應用流體力學於動脈和血管中血液流動的設想直到最近才引起注意；而生物學的研究往往披人忽視，這是很可悲的。如果一直有人追隨他們和其他某些人的工作，我的希望也許今天就已實現了。

注：  “新數學”－－指50年代首先風起於美國，隨後影響到西歐的一場旨在革新數學教育的運動，其主要特點是以集合論與結構的觀點貫穿整個數學體係，把微積分、概率統計和數理邏輯等知識下放到中學，取消了傳統的幾何與三角，並以計算機的使用來代替學生運算能力的訓練。

注：  “回到基礎”－－是70年代中葉開始，出於對“新數學”的批評與反思，由美國數學教育界喊出的一個口號，其結果是將中學數學教育回複到50年代以前那種大量繁瑣的概念陳述和運算訓練。