紫醉晶迷
寒煙籠金陵,月夜泊秦淮。
與大數學家一席談 之 (Arnol'd 訪問記)
Vladimir Igorevich Arnol'd 訪問記
Smilka Zdravkovska*
1987年6月12日是Vladimir Igorevich Arnol'd的50歲生日。他在19歲的時候，就因證明每一個三個變量的連續函數都可表為幾個兩個變量的連續函數的疊加，而一舉成名。這個結果完成了（由他的導師A. N. Kolmogorov開創的）Hilbert第十三個問題的最直截了當的解釋的證明）人們相信這個問題的逆也是對的）。Arnol'd 1959年畢業於莫斯科國立大學的數學力學係。在1961年，他因疊加方麵的工作而獲得副博士學位（這相當於美國的哲學博士學位）。他在這方麵的工作也使他贏得了莫斯科數學學會頒發的青年數學家獎。
Arnol'd是KAM（Kolmogorov-Arnol'd-Moser）理論的創立者之一。例如，根據近個理論，在Hamilton係統的小擾動之下，大多數不變環麵都不會消失，而隻會發生輕微的形變。這個理論在數學以外，例如在天體力學中和在等離子儲備係統（plasmaholding system）裏磁力線的特性的研究中，找到了大量的應用。他由於擾動理論方麵的工作而在1963年獲得科學博士學位，並在1965年與Kolmogorov聯袂獲蘇聯最高榮譽獎----列寧獎。
Arnol'd還找到了一種研究理想氣體的流體動力學的新方法，那就是把理想氣體的Euler方程，看作是保體積的微分同胚組成的無窮維Lie群上測地線的方程。他證明了這個群在許多方向上的截麵曲率都是負的。這種負曲率的存在，是這種流體運動具有不可預測性的原因。
Arnol'd還是焦散麵（caustics）和波陣麵（wave fronts）的奇點與變態的理論的創立者。這個理論的基礎，就是Arnol'd發現的。這些對象與正多麵體的幾何和晶體的對稱群之間有聯係。這個理論最重要的結果就是他的光滑函致的臨界點的分類。
實代數幾何最近10年來的迅猛發展，也始於Arno1'd 1971年的一篇專論實代數曲線的卵形線的位置的文章。他的這篇文章把實代數幾何與現代拓樸學聯係了起來。
Arnol'd發現的Poincare大定理的高維推廣，在辛幾何和變分法中引起了反響。
Vladimir Igorevich還撰著了許多本書，其中有兩本著名的教科書，一本是關於常徽分方程的，另一本是關於經典力學中的數學方法的。他創造活動的大部份是由他與其學生們的合作組成的。他擔任莫斯科數學學會的副主席約有20年了。在1984年，他當選為蘇聯科學院的通訊院土。從1965年起，他就一直是Stekolv數學研究所的研究員和莫斯科國立大學的教授。此外，他還是許多數學刊物的編輯委員會的成員。在1982年，他與L.Nirenberg一起，獲得了由瑞典科學院頒發的第一屆國際Craford獎*，關於這個獎，請看《自然》（Nature，288卷第6期，November 1980，7頁）雜誌上題為《填補Nobel獎的空白》
（Plugging Nobel Gap）的文章；關於Arnol'd獲得此獎的報導，請看《自然》（第10期，1982，107-108頁）上的文章。他還被邀請在兩屆國際數學家大會上作全會報告。他是巴黎大學的榮譽博士（1974年），也是美國國家科學院（1983年）、法國科學院（1984年）和美國文理科學院（American
Academy of Arts and Scieiices）等的外籍院士（1987年）。
最後，他還因其幾乎天天必有的，馬拉鬆式的垂釣、騎車、遊泳或滑雪旅行而聞名。
下文是1987年4月的一天我與他談話的摘錄。我們是用俄語交談的；我將它譯成了英文。
問：作為導師，Kolmogorov的形象怎樣？
答：A. Einstein在他的自傳中說：“現代教學方法沒有完全扼殺神聖的好奇心，就已經可以說是個奇跡了：對於這株脆弱的小苗木來說，除了激勵之外，主要還需要自由”。看來，Andref Nikolaevich Kolmogorov是按照這個忠告去做的。他從不解任何東西，隻是提出一些問題，而且也不把它們嚼碎。他給了學生完全的自主權。他也從不強迫學生去做什麽，而總是等待著從學生那裏聽到驚人的消息。他完全尊重學生的個性這一點，是我所遇到的教授中最為突出的。我隻記得有一次他幹涉過我的工作：在1959年，他要我從一篇論圓周的自映射的文章中，去掉關於在心跳中的應用的一節，接著說道：“這不是人們應該研究的經典問題中的一個”。25年後，L. Glass發表了這個理論在心跳理論中的應用，而我當時卻不得不把我的精力集中於同一個理論在天體力學中的應用。
問：您花了大量的時間與學生們一起工作。這對您的研究是否有幫助？
答：就我的學生們而言，我是非常幸運的。在他們中有許多出色的數學家，我為他們的成就而感到驕傲。其中一些像A. N.Varchenko、A. G. Khovanskii、N. N. Nekhoroshev、A. G.Kushnirenko、A.B. Givental'、V. A. Vasil'ev、O. V.Lyashkoh、O. P．Shcherbak，還是獨立的科學家，與他們合作是件偷怏的事。我可以將一些與我有大量合作的非常著名的數學家看作是我的學生：Yu. S. Iliashenko、A. M. Gabrielov，S.M. Gusein-Zade、D. N. Bernstein、A. I. Neishtadt（他們起先從師於他人）以及代數幾何學家A. N. Tyurin（在他還是中學生時，我就教過他）。順便說一句，我也教過著名的數論專家G. Arkhipov和S．M. Voronin，當時他們還是中學生。
我也很重視我現在這一代學生的工作。這一代學生有：V. I.Bhkhtin、M. E. Hazaryan、B. Z. Shapiro、V. L. Ginzburg、 Yu. V.Chekanov、B. A. Khesin、I. A. Bogoevskii、G. S.Petrov-Tan'kin、V. V. Goryunov和V. M. Zakalyukin等
我所感興趣的問題，通常比我正著手解決的要多，而我的學生們為我分擔這項工作，對我幫助良多。
問：關於數學，您念些什麽？
答：對於我來說，要想讀當代數學家們的著述，幾乎是不可能的。因為他們不說“彼嘉洗了手”，而隻是寫道：“存在一個t_1<0，使得t_1在自然的映射t_1 mapsto 彼嘉(t_1)之下的像屬於髒手組成的集合，並且還存在一個t_2，t_1
我所研究的大多數文章，都由我的學生們或者我的朋友們負責向我解釋。我對上個世紀的數學家們尤其是Poincare的著述有更好的理解，但我發現17世紀的數學家們的那些著述最清晰而且實際上也更現代。順便說一說，依我看，從Huygens和Newton到Riemann和Poincare這二百年的間隔，是數學的僅僅充斥著計算的荒蕪時代。
我願意提一提，最近我在Newton的《原理》中找到的一個關於Abel積分的拓樸的定理。數學家們以前似乎沒有注意到這個定理，因為Newton走在他那個時代之前約二百年，可以自由地使用解析開拓的思想，而解析開拓在今天稱之為單值化。我們說一條卵形線是可代數平方的，如果用一條直線從它切下的那一塊的麵積是該直線的代數函數。Newton的這個定理是說不存在C^infty的可代數平方的卵形線，但存在除一點外處處是C^infty的可代數平方的卵形線，在那一點上對於任意大的n它是c^n的。
今年是《原理》出版三百周年記念。因此，我還要說一說那裏提到的另一個問題。這個問題是一個關於回轉體在非常稀疏的介質中沿它的軸運動具有最小阻力的變分問題。在這個問題上，Newton走在他那個時代前麵三百年：它的極值曲線不是光滑的，而是有一個斷點，Newton知道這一事實。如V. M. Tikhomirov告訴我的那樣，這個斷點出現在Newton的一個圖上，但在《原理》後來的一些版本中的那個圖上卻沒有了這個點。因為直到現在，當這個問題已成為一個與宇宙航行學有關的課題時，數學家們還是未能明白Newton所說的是什麽。
問：有一些數學家是用代數的方式進行思考，也有一些是用幾何的方式進行思考，還有一些是用物理的方式進行思考。您認為您是屬於哪一類的呢？
答：我所記得的頭一個問題是一個算術問題：
兩個老嫗同時從兩個不同的城市出發，相向而行；她們在正午相遇，之後都到達了對方出發時所在的城市，一個是在下午4時到的，另一個是在下午9時到的。請問她們是何時出發的？
當時還沒有學代數，這個問題的解決（基於相似理論，這個理論可以看作是一種物理理論）給我留下了非常強烈的印象，有一種發現者的感覺，就像以後每當我能夠找到乍看似乎相距甚遠的事物之間的聯係時，譬如利用四維流形的拓樸在實代數曲線的理論與二次型的算術之間架起了橋梁時，所出現的感覺。
然而我常常是用幾何的方式進行思考的：繪出圖形而不是寫下公式。
問：您認為數學中的哪一個研究領域最有前途？
答：數學有一個人們所不能不讚歎的性質，就是它的最抽象因而乍一看亳無用處的一些分支，隻要它們是美的，便具有超凡的效能。我非常喜歡S. Weinberg在1986年10月份的《美國數學會通告》（Notices of the AMS，728頁）上對超凡效能所做的解釋：“這是因為一些數學家為了預知哪一類數學在科學上將是重要的，而把靈魂出賣給了魔鬼”。但是，在我看來，一方麵當代數學著述的絕大部份並未能滿足美學上的要求，因而另一方麵也就絕不會有什麽用處。也許不但過去情況總是如此，也是數
學的所必需部份將產生的不可缺少的條件。
一大群蘇聯數學家以比較嚴肅的態度，試圖在一套多卷本的著作《數學的當代問題：基本方向》中闡述他們關於數學的觀點。自1985年起，這套書已出版了十二卷。我比較喜歡《代數學I》（I. R. Shafarevich著）和《拓樸學I》（S. P. Novikov與D. B.Fuks合箸）這兩卷。我也參加了幾卷的撰寫，它們是《動力係統I》（與D. V. Anosov和Yu. S. Il'yashenko合著）、關於辛幾何的綜述（與A. B. Givental'合寫）、關於分歧理論的綜述等等。Springer出版公司把這些著作都譯成了英文。
問：看來，西方和蘇聯的數學活動方式的差別之一是，你們這裏的數學家都集中在兩個中心。這種狀況有些什麽長處和弊病？
答：大多數活躍的數學家都集中在莫斯科和列寧格勒這兩個地方，就為我們提供了使被地理分隔開的數學家們能經常接觸的機會。例如，我曾有幸與一些同時在同一所大學裏工作的數學家，像A. N. Kolmogorov、I. G. Petrovskii、N. N. Bogolyubov、L. A. Lyusternik、L. K. Pontryagin、P. S. Novikov、A. A.Markov、I. M. Gel'fand、I. R. Shafarevich、V. A. Rokhlin、A. O. GeI'fond、A. Ya. Khinchin、P. S. Aleksandrov、E. B.Dynkin、A. G. Vitushkin、G. E. Shilov和M. M. Postnikov，以及一些物理學家，像M. A. Leontovich、L. A. Artsimovich、I. E. Tamm、L. D. Landau、E. M. Lifshits和I. M. Lifstovich等一起進行研究。同時，與我的下述一些同學，參加了同一個討論班：V. M. Alekseev、Ya. G. Sinai、D. V. Anosov、Yu. I.Manin、S. P. Novikov、A. A. Kirillov、D. B. Fuks、G. N.Tyurina、E. B. Vinberg和V. P. Palamodov；V. P. MNaslov和L. D. Faddeev要年長幾歲。
這樣集中的弊病是，年青數學家們難以找到職位，而他們又都想在莫斯科或列寧格勒工作，在這兩個地方要想找到一份工作是越來越難了。
問：最近（在1986年12月）政治局正式通過了一項關於在蘇聯增強數學作用的決議。你認為這項決議對這裏的數學狀況會有怎樣的影響？
答：在60年代初期，一大群能力很強的數學家同時湧入莫斯科，就與1953年之後數學發展的條件急劇地改善緊密相關。人們可以期望現在的改革將會有類似的滿意結果，盡管它們並不會馬上到來。
問：請告訴我們，您最近為什麽從莫斯科國立大學轉到Steklov數學研究所並以它為主要機關？
答：我不得不離開莫斯科國立大學，是因為在1973年Petrovskii故去之後數學係的條件惡化了。自1953年以來，Petrovskii一直是校長，他為莫斯科的數學發展做了大量的工作，隨後，幾乎同時繼任校長R. V. Khokhlov在登山探險隊裏也意外地故去了。很難預料專家們權限的逐步降低（甚至戈爾巴喬夫
也談到了這點）給數學發展和整個國家所帶來的後果。
問：傳聞您卷入了優先權之爭。這是真的嗎？
答：我從來沒有引起過優先權之爭，不管是與蘇聯的數學家還是與西方的數學家。與西方數學家不和，似乎會引起這類問題，但並不涉及某某結果是屬於誰這樣的事，而是涉及到這樣一個問題：當一個結果最早是發表在一本俄文的著作中，而如果之後西方又發表了一個類似的結果，那麽人們是否應該引用那本俄文的著作呢？
西方人通常大致是這樣引用的：“這個結果屬於N（見[x]，之後[y]出現了”。這裏的[y]是一篇俄文文章的
1979年發表的英文譯文。它的原文包含有這個結果的證明，是1975年提交、1977年發表的。而[x]卻是某個西方作者的預印本，其中的這個結果是1980年才宣布的。數字上的差距有時竟達10年。
所有蘇聯的數學家都時常遇到這種情況，但大多數認為這是缺乏私人交往的一個不可避免的結果。我自己不可能抱怨別人引用少了我的工作，也絕沒有抱怨過。但我堅持認為，西方數學家們應當適當地引用我的老師們（特別是Kolmogorov、Bogolyubov和A. A. Andronov）以及我的學生們的文章。
讓我們從書架上隨手拿一期《數學創作》（Inventiones），來數一數參考文獻和俄文文章的篇數。在（Vol．86，Fasc，2，1986）8篇文章的156篇參考文獻之中，即使把這些（Beilinsoe的著作）在法國發表的算在內，也隻有兩篇文章係蘇聯數學家所作。《引用索引》（Index of Citations，Garfield）統計的結果更糟，是一個七百對一的比率。這似乎使我聯想到這是一種聯合抵製行動。為了比較，讓我們從書架上拿一期《泛函分析及其應用》
（附俄文名稱，Vol. 21，No. 1，1987）：在5篇大文章的62篇參考文獻中，22篇是俄文的，40篇是外文的。我認為這更接近真實的比率。
在某些情形下，當我見到西方發表的文章重複了俄文的著述時，我會通知該文的作者知道這件事，結果，在大多數情況下，這個作者並未有意識地去了解俄文的工作，但俄文的文獻的的確確存在。盡管如此，我仍然認為，不引用平行的俄文文章的做法，太隨隨便便、太心安理得了。
這類誤差對蘇聯有才華的年青人的命運，是毀滅性的打擊。而外國數學家們卻以為，把結果歸功於無能的競爭者比歸功於一個同行要更容易些。
問：您到底查不查評論性刊物？
答：Chebyshev勸告人們不要了解他人在做什麽，以免損害你自己的創見。我幾乎從不瀏覽評論性刊物，當我偶而為之時，我發現它們令人苦惱。顯而易見，經典問題的捏造的答案常常得到了相當肯定的評論（由此顯見，評論員甚至不懷疑這種結果的聳人聽聞的本性）。《原理》的評論或許會寫成這樣：“作者研究了圓錐曲線的一些性質。書中闡述了作者撰寫本書的天文學動機。書中有許多圖片，它們使得本書更為難懂。書後沒有索引，命題序號的排列也極為令人遺憾。書中還宣布解決了一個變分問題，但評論員未能重新構造出它的證明。作者還對著名的Descartes理論是否正確表示懷疑。在評論員看來，（關於上帝是否存在的）最後結論是沒有適當根據的”。此外，如果評論的是一篇俄文文章，那麽由A可得B（from A follows B）這個定理會被譯成“由B可得A”（A follow from B）。在我年輕的時候，這樣的評論使我感到氣憤。但現在我知道，一般水平的評論員都自動地省去了所有本質上是新的和不尋常的東西，而那些能夠論及工作的實質的評論，通常要麽是對模仿者的工作----眾所周知的領域裏的一連串的著述，這樣的文章對於評論員來說要容易理解得多----的評論，要麽是評論員的朋友的文章的評論。我通常隻是利用《數學評論》（Mathematical Reviews）的作者索引，來查找我所感興趣的某位作者的作品。
問：我知道您喜歡滑雪、垂釣、騎車和遊泳。那是消遣嗎？
答：當我不能證出什麽東西來的時候，我就穿上滑雪板，滑上40至60公裏（通常是穿遊泳褲）。在這段時間內，困難常常自行消解了，回來時我就有了一個現成的答案，或者不管怎樣我知道下一步該怎麽做了。驗證之後又會發現在用這樣的方法得到的這個答案中還有錯，但這現在即是另一個障礙了，再用同一個方法又可以克服它。
為了消遣，除了別的以外，我還喜歡聽Vivaldi和Mozart的音樂以及Bach的勃蘭登堡（Brandenburg是德國柏林以西一城市）交響樂。
答謝 我要感謝Tatyana Belokriniskava、Askol'd Kho-vanskii和Aleksandr Varchenko所給予的幫肋。
數學是理性的最原始的源泉；生物學家也必須求助於數學來尋找進行研究的手段。----- Comte, A.
隻有通過數學我們才能透徹地理解什麽是真正的科學，隻有在這裏我們才能以高度的簡明性和莊嚴性認識到科學的定律以及人類思想所能夠達到的抽象境界。從任何其它觀點建立起來的任何科學教育，從根本上說是錯誤的。 ----- Comte, A.
