重讀張景中先生，是因為我突然想知道楊路的兒子，畢竟同師同事一場現在沒了聯係。隨便上網搜索便又看到了張先生的記事。
張先生的人生周圍有很多值得我們去思考的東西，他的身上有很多我們需要去學習的東西。他的成績斐然，人生也很勵誌。再讀還是感慨良多收益良多。我總是覺得，一個人能在學術上成功的基礎，就是人品簡單，再是思維智者。
中國數學近代史上有兩個非常典型的楊張組合。一是楊樂張廣厚的組合，那是紅專典型，可謂家喻戶曉。另一組合就是楊路張景中，少見的白專典型，一路坎坷，仍然互相扶持，堪稱伯仲，雖然幾十年默默無聞，到了晚年才成了人傑。巧合也好，玩笑也罷，曆史就是這般無情和詭異。師出同門但人生之路天壤之別，實在令人感歎。
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下麵是根據張院士的演講發表的文字：
（一）相逢未名湖 （注：雖然他被北大打成右派和邊緣化，但他對北大的感情是如一的）
1954年9月，我從河南的一個縣城——汝南，來到未名湖畔。 （注：我知道汝南，是因為書記紀輝）。童年對我影響最大的人是祖母。她叫李鳳彩，是汝南李寨一個大地主的女兒，讀過私塾，信佛。在那是兵慌馬亂的抗日年代，她常在炮聲中牽著我和哥哥跑進高梁地的深處，從懷裏掏出一本破舊的《古文觀止》，教我們讀書……”。
那一年，北大數學力學係一年級新生220多人，從全國各地匯集於北大。9個小班，我在5班。50年代北大很重視基礎課程。程民德教授講微積分，江澤涵教授講解析幾何，周培源教授講普通物理，美國歸來的力學家王仁教授講理論力學。課程分量不重，學生有充分時間閱讀、思考和討論。（注：好的老師，很容易帶出好的學生，也是公認的現實。）
大一時，在解析幾何教科書上看到函數方程 f(x+y)=f(x)+f(y) 的連續解隻有 f(x)=c x。想到一個確定它全部解的方法，寫成論文，居然順利地在《數學進展》刊出。沒高興多久，編輯部來了信，說有讀者來函問：關於這結果，前人有哪些工作？研究者在發表自己的成果之前，應當了解別人已經做出了什麽，才是負責的態度。我費了九牛二虎之力，終於傷心地發現：早在1920年，德國的哈默爾已經做了這個工作。我隻好複信致歉。後來邵品琮告訴我，這個“讀者”就是華羅庚先生。他是《數學進展》的主編，但刊物出版後他才看到。他便讓編輯部給我這個作者寫信，用意是促使作者明白科學研究的入門規矩。邵是華公的弟子，對此事知之甚詳。（注：邵在，此事總得有個交待。也告訴學生如何進入科研。我人生第一次發文章也犯過類似錯誤）
北大數學係學生課外學術活動當時很活躍。我參加了丁石孫先生所指導的代數課外小組。先是研究矩陣的無窮乘積，後來又對函數的迭代問題產生了很大興趣。有些結果直到20年後才發表。年輕人興趣廣泛，愛下象棋，打乒乓，還參加了北大詩社。。（注：愛好廣泛的人容積出成績，這個指示愛好，不是要你麵麵俱到。）
在1956年夏，係裏試行“免修”製度：自學某門課並在開課前考得優良成績者可以免修。我免了“實變”和“複變”，時間更充裕了。老師們告訴我，不要把時間都用來做題目，要多讀書多看文獻打下雄厚的基礎。回想那時，可真是黃金時代。。（注：我本人不提倡孩子跳級，也不提倡學生免修，能多聽老師的課，尤其好老師的課，是一種享受。那比自己讀書要受益良多。多聽講座有一樣的功效。）
但是，1957年到來，一切都變了。 （注：小平的反右對中國社會的思想禁錮學術禁錮之影響，其實比文革還甚。半百以上年紀的人一定有此共識）
（二）告別未名湖
許多人說，從1957年，中國進入了一個多災多難的時期。（注：這是思想、文化、技術、風貌的分水嶺。所以人們老說，文革手法隻是反右在組織上的繼續。）對我也是如此。命運突變。
1958年2月我和楊路被打成右派，開除學籍，勞動教養，從此告別了未名湖。40年後，出版了一本由牛漢、鄧九平主編的文集《原上草》，主要內容是1957年北大學生中的“右派”言論。現在回頭看看，大多不過是常識的見解而已。
在半步橋收容所經過半月“學習”，被火車運到天津附近的茶澱站，分配到清河農場勞動。這裏屬於北京市公安係統勞改機構。1958年新建了幾個勞動教養分場。我先到於家嶺西村，後來又到了584分場、化肥廠、於家嶺東村等地勞動。
大躍進年代，勞教農場裏勞動之緊張沉重不難想見。白天勞動，晚上開會。我隨身有幾本書，其中《數論基礎》是最常翻看的。裏麵有許多好習題，忙裏偷閑記個在心裏，上下工的路上或開會時就夠想一陣子了。有時在路上不想題，邊走邊下盲棋，對鍛煉記憶力很有好處，也有助於形成不用紙筆想問題的習慣。（注：誰說的來者，監獄是個研究的好地方。還有一個北大的徐雲存，跟我做過鄰居，他也是右派時出的研究成果)
經曆了三年自然災害的嚴酷磨練後，於1962年解除了勞動教養，留在農場當“就業人員”。最好的一段時光，是調到了農場的航運隊，乘船沿金鍾河來往於天津和清河農場之間。從天津運回垃圾當肥料，再把農場生產的葡萄運到天津，比在大田勞動寬鬆得多。有更多的時間看書、思考，甚至有一些研究結果成文投稿。後來才知道，右派分子的文章是發表不出來的。那時候楊路仍然在北京團河農場勞動教養。兩人靠通信交流。也算一種精神上的享受吧，身各一方，兩點一線，依然構成了一個數學研究的“陣線”。
關於逐段單調連續函數迭代根存在性的研究，是這幾年中完成的。這涉及函數方程領域一個老問題。對非單調函數，即使是對單峰連續函數，迭代根的存在條件也長期未得到答案。我和楊路對一般的逐段單調連續函數，給出了存在任意次連續迭代根的容易檢驗的充要條件。在《數學學報》發表。並引起了後續研究。
關於幾何算法，楊路提出：通過點與點的距離關係，不建立坐標係而直接研究幾何圖形的性質。這實際上重複了西方數學家對距離幾何的基本工作，並走得更遠，建立了高維幾何度量的一般方程。這方麵的工作在國內外學術期刊和國際會議文集上被引用近400篇次。英文專著《幾何不等式的最近進展》（Recent Advance in Geometry Inequalities）中，引用20多篇，其中有些是整段摘錄。《幾何不等式在中國》（文集）一書中，關於高維幾何的論文，幾乎每篇都引用了我們的工作。這些工作的基礎，大體上是在農場勞動的幾年中形成的。
30年後，基於當年建立的幾何算法和我提出的新思路，解決了預給度量的初等圖形（由有限個點、超平麵和超球組成的圖形）在歐氏空間嵌入條件的問題。 對這一工作，美國著名離散數學家和計算機科學家 L.K e l l y評論說(《數學評論》，96e:52013)： “這是一個正在發展中的綱領的一章。這個綱領肇始於維也納的Menger和中國的吳文俊，在西方由Blumenthal及其學派，在東方則由楊、張等所推進。 “除了理論和基礎的意義和重要性之外，該綱領的倡導者並顧及其在計算機輔助幾何推理、定理機器證明、近似數據嵌入等各不同領域的應用。”
在這段時間內，讀了一些能找到的數學書。在辛欽所寫的關於排隊論的小冊子裏，看到一個多年未解決的“埃爾蘭問題”，花了半年中的星期天把它做出來了。但是，辛欽在兩年前已經解決了。這類重複性勞動做了不少。
好景不長。文化大革命來了。我和楊路的通信被管教人員視為反改造活動被迫中止。我和許多農場的“就業人員”一起，1966年8月被集體調往新疆生產建設兵團。在那待了13年4個月。
（三）西域十三年
從北京來的幾個農場集中起來的隊伍，組成了新疆生產建設兵團工二師的一個工程支隊。任務是修一條從庫爾勒到若羌的公路，全長400公裏。每天挖土、抬土、澆灌水泥，製磚，建橋鋪路。真正沒有可能看數學了。勞動之外，除了吃飯、睡覺，就是開會和讀“紅寶書”。因為是“五類分子”，星期天還要加班勞動，打掃廁所、砍柴。但思想總是自由的。開會學習的時候，可以想自己的愛想的一切。
林彪垮台前不久，摘了我的右派帽子。雖然仍是“摘帽右派”，畢竟和沒摘帽的有不同，有了更多的生活空間，有了更多做數學的時間和自由。我找到了楊路的下落，中止六年的學術通訊恢複了。這時他已被調到四川大邑的新源煤礦勞動，解除了教養但未摘帽，仍是被公安部門監管的就業人員。信件由楊路的妻子張錫錚傳遞。大多是討論幾何算法的，是80年代發表的許多論文的基本內容。（注：很多人一提右派平反，就說是十屆三中之後，就是胡耀邦。其實很多右派都是61/62年改正的，還有很多在71/72年被摘帽。曆史就是曆史，不能為塑造“改革”的形象，就纂改曆史。篡改曆史也是一種犯罪，至少是誤導和居心不良。）
在坎坷的命運之路上，常常得到好人的幫助。在這些人中，不能不說到郭秀華。郭秀華是我的中學同學。這時恰好在21團組織部工作。翻閱人員檔案時，意外地發現了闊別多年的老同學的材料。在一個星期天，他毅然打破了“革命幹部”和“就業人員”的界限，到基建連去找我。四屆人大提出的“四個現代化”，在一定程度上衝淡了極左的氣氛。郭秀華抓住這略有寬鬆的大氣候提供的時機，借助自己在組織部工作的有利地位，促成團裏作出決定：調我到團場的子女中學當代課教師。盡管學校領導提出異議，抵製摘帽右派來到這培養接班人的地方，使此事拖了一年，最後還是實現了。1974年4月，我走上21團子女中學初二年級講台講平麵幾何。
這是16年來夢寐以求的命運轉折點。。（注：我的中學時代就得益於所有的老師都是名牌臭老九。）
在教學中，痛感傳統的幾何解題方法過於依賴技巧，難於為學生掌握，開始探索新的更有效的方法。很快發現，用麵積關係解幾何題目非常有效，並且容易掌握。我對這種技巧作了深入的研究，把它從特殊技巧初步發展成一般方法。向學校領導提出了教材改革的建議。當然，這個建議沒有得到采納。
麵積法引出了教育數學的研究，並導致18年後幾何定理可讀證明自動生成新方法的出現。但當時這卻幫不了忙。由於主張加強基礎知識教學，在“反擊右傾翻案風”運動中，我理所當然地受到了批判。結果被清出學校，回基建連勞動。在挖河的工地上，傳來了揪出四人幫的消息。一起勞動的一位記者老李悄悄告訴我：中國的命運改變了。
我們想到，和國家人民一起，我的命運也會改變。
幾年後我在北京參加學術會議，和這位記者老李相遇時，他已經是《嘹望》雜誌的一位主任編輯。根據雜誌上一篇文章的作者署名和單位，我和校友洪家威取得了聯係。由於洪的推薦，廣東肇慶師範學院來函向21團商調我。團裏不肯放，再次調我到子女中學。這是1978年。離開未名湖已經20年了。（注：洪家威老師比張老師要晚輩了，但他對張景中、楊路的事很盡心。後來他們是同一研究陣線的朋友。相互協持，值得我們一代學習）
（四）科學的春天
1978年，春江水暖鴨先知。春的信息之一，是能夠發表論文。這是一篇小文章。華羅庚在一本書中，講過巴芒（B A Y M N，蘇）計算台形體積的公式。這公式不便計算，並且對簡單形體不能給出準確值。我提出了另一個消除了這些缺點的公式。文章發表在《數學的實踐與認識》上。編輯部給團政治部發函詢問，如何署名？經領導慎重研究，最後決定署名為“新疆巴州21團子女中學數學教研室”。
無論如何，總是發表了。後來又在《計算數學》發表一篇，署名井中。（注：曆史都是很諷刺的，大概筆名，號，別名都是在這類環境下誕生的。也是一種文化）
科學大會的召開帶來了科學的春天。中國科技大學的領導棋早一步，千方百計網羅人才。當時，北大同學熊金城、趙立人和老師陶懋頎都在科大數學係。他們在尋訪我的下落。熊從洪家威處知道我在新疆，幾位校友的熱誠推薦，科大一封電報，邀我到合肥學術交流。
他們通過我，也就找到了楊路。另一封電報到了四川大邑新源煤礦。1978年12月，20年後，我們第一次在大學的校園裏相會。
陶懋頎先生帶著調函飛往新疆首府烏魯木齊，拿到必要的文件，乘汽車長途跋涉到南疆的庫爾勒，直到最基層的21團，才取到了我的檔案。這一行，同時還辦成了北大校友任宏碩的調動手續。任後來是中科院數學所的研究員。陶先生為擠車被踩傷了腳，回來後因勞累過度病了一場。
恩師陶懋頎先生的熱誠幫助終生銘記。50年代，他講數理方程，還輔導過我們的體育活動。在大家心目中，陶先生是一位德智體全麵發展的青年師長，是學習的榜樣。他在1957年被錯劃為右派後，調到內蒙古大學，又被迫離開講台喂豬。陶先生正直、熱情，勇於堅持真理，樂於助人，教學科研極為勤奮，碩果累累。他不管在哪裏工作，都得到同事和學生們的信任和愛戴。1997年秋，陶懋頎先生終因積勞成疾患不治之症。學生和朋友們，包括我全家，從全國各地來看他。他的逝世是我成年後經曆過的最大的悲痛。
1979年這一年，科大接收我為講師（注：當時科大的很多老師都是全國來的兼職的，尤其北京科學院係統的老教授在那裏掛個名。張景中老師也是編外人員，戶口到不了科大）北京大學對我的右派問題給以改正。科大工作六年。教數學係和少年班的微積分。為了克服微分學入門的難點，提出了非ε語言的極限定義方法，以及連續歸納法。基於這些工作和1974年提出的麵積方法，形成了教育數學思想的基礎：應當改造現有的數學方法中與教育規律不相適應的部分。這構成了《從數學教育到教育數學》（1989年出版）一書的主要內容。
數學不僅是科學和技術，也是文化。文化的延續和發展需要大眾的理解和參與，因而數學教育和數學科普的重要性不亞於數學研究。因此，我花了大量的時間和精力從事科普。為少年兒童寫《數學傳奇》是第一本。為青年讀者所寫的《數學家的眼光》和《數學與哲學》，受到較廣泛的好評。陳省身先生給我一封信中，對《數學家的眼光》表示了讚賞，建議譯成英文。這些書都以繁體字重版。
這6年，自己和楊路等合寫了幾十篇（部），似乎饑不擇食。所作的問題除了幾何算法（距離幾何）和動力係統中的泛函方程外，還涉及數值分析、組合幾何、計算幾何和非線性振動等多個領域。例如，方程求根的一個迭代算法，隻用N+1個息卻達到了2N階的斂速，這在同類算法中是計算效能最高的。
又如，和常庚哲合作，解決了計算幾何領域多年未有答案的“單形上伯恩斯坦多項式單調性逆命題”是否成立的問題，等等。
敝帚自珍，最喜愛的是生鏽圓規作圖問題。在尺規作圖、單規作圖以及直尺作圖的問題被數學家們逐步解決之後，這個領域已經沉寂了100多年。其實，有一個問題大家知之甚少：隻用一個固定半徑的圓規能作出哪些幾何圖形？這問題早在達芬奇時代就提出來了。
美國著名幾何學家佩多（D.P e d o e）重提這一問題，在國際期刊上公開征解：已知兩點A、B，能否隻用一隻生鏽的圓規（即固定半徑的圓規）找出點C，使 A B C 成正三角形？
幾年無人給出解答。我和楊路知道這一問題後，很快找到了兩種解法。佩多知道後大為讚賞，在一篇文章中說這是使他最興奮的數學經驗之一。
但他又提出：已知兩點A、B，能否隻用一隻生鏽的圓規找出線段A B的中點（線段是沒畫出來的）？ 國外有本關於限製規尺作圖的書中曾斷言：這是不可能的。但沒有證明。
一位名叫候曉榮的年青人加入了研究的行列。他推廣了我的想法，使中點作圖問題得以解決。進一步，我們得到了意外完美的結果：從已知兩點出發，凡是用尺規作圖能作出的點，隻用一把生鏽的圓規也能作出。這工作先在國內用科普形式發表，後又在國際期刊《幾何學報》刊登。審稿評論稱：“這結果如此驚人，如此重要，其方法又引人入勝。我無條件推薦它發表。”
佩多對此印象極深。以至在《美國數學月刊》上的一篇評論文章中謬獎“楊和張是中國幾何學界的阿爾法和歐米加”。
自己感到，工作失之寬泛。集中精力，選定主方向，才能做出好的工作。
（五）學習和探索
1985年，我和楊路同時調往中國科學院成都數理科學研究室。次年，同時被聘為中科院研究員，任研究室正副主任。
我們逐步轉入機器證明的新領域。
這一領域早就吸引著我。那是在1955年，丁石孫先生講高等代數時提到了塔斯基（T a r s k i i）的一個新成果：一切初等幾何和初等代數的命題都是可判定的，也就是說：可以用機械的方法，解決初等幾何和初等代數領域的任何命題是否成立的問題。
初等幾何的問題千變萬化，怎麽可能用機械的辦法一舉而解決？妙不可言，深不可測！於是我選擇了數理邏輯專門化作為自己的方向，希望弄清其底蘊。但隻跟著胡世華先生學了半年多，就被捉去當右派了。
1979年到科大，從《中國科學》上看到了吳文俊先生提出幾何定理機器證明新方法的論文。這一突破性工作對我有莫大的吸引力，就開始向這一方向學習、思考，創造進入這一領域的基礎條件。
也是在吳文俊先生影響下，洪家威提出一個例子就能證明一條幾何定理的思想。1984年，我和洪家威討論了這個問題。我認為用一組例子比一個例子更易實現。兩年後，我和楊路提出了機器證明的數值並行法。
傳統的觀點認為，要證明一個幾何命題，舉多少例子也不行，必須用演繹推理的方法。其實，用有限個數值實例，也可以嚴格證明幾何定理。洪家威用一個例子證明幾何定理的結果很有趣，可惜方法太複雜，難於實現。我們用一組例子證明幾何定理的數值並行法，很快就由我的研究生李傳中用BASIC語言和C語言實現了。這軟件可以在無硬盤的低擋微機上，在數以秒計的時間內證明非平凡的幾何定理。方法的基本思想是：用數值計算代替符號計算以提高運行速度，用並行計算以代替串行計算以減少內存消耗。
由於吳文俊先生和廖山濤先生的推薦，我於1989年到意大利底裏亞斯特的理論物理中心（IC TP）訪問近一年。在意大利、新加坡、泰國和香港的一些大學裏講了幾何定理機器證明的數值方法，均引起很大的興趣。利用IC TP的計算機設備條件，我對機器證明的代數方法，作了進一步的探討。基於我提出的想法，和楊路以及他們的學生候曉榮一起，對吳文俊先生倡導的機器證明的特征列方法作了一係列的改進和發展。
在幾何定理機器證明的吳法取得公認的成功後，這一領域麵臨兩個有待突破的難題：一個是幾何不等式的機器證明問題，另一個是如何讓機器生成易於理解和檢驗的證明的問題。我特別關注的是後一問題，即可讀證明的自動生成問題。
事實上，直到1992年初，所有有效的幾何定理機器證明的方法都隻能判定命題是否成立，而不能給出通常意義下的證明，即人在合理的時間內能看明白，能檢驗其正確性的證明。在有些著名的科學家看來，讓計算機用統一的方法對千變萬化的幾何命題給出可讀的證明是不可能的。但是，如果不突破這一關，幾何定理機器證明就難於在教育中發揮作用，難於得到大眾的理解，難於在人類文化的發展中扮演更重要的角色。
1992年5月，應周鹹青博士的邀請，我到了美國維奇塔大學。我提出了一個想法：在麵積方法的基礎上，探索幾何定理可讀證明自動生成的新途徑。周鹹青問：麵積方法不是算法，怎麽用於機器證明？經過一個不眠之夜，我從麵積方法解題的大量經驗中提煉出對這一要害問題的回答：消點。按傳統的幾何解題思路，題目做不出時就往圖上加點什麽。消點法卻相反，要從圖上去掉些東西，使圖逐步簡化，直到水落石出。代數方法也是立足於消，消去變元。但在消去之前還是要添上坐標。消點法卻要就地消去，不添什麽。這是難點。我提出的麵積方法的基本工具共邊定理，恰好能搬掉這塊石頭！
第二天早晨，我用基於麵積關係的消點法機械地證明了兩個幾何命題，回答了周鹹青的疑問。我們決定沿這一路線研究。周鹹青建議我學LISP語言，開始試編新方法的程序。他就到北京探親開會去了。一個多月後，周從中國回來，新編的程序已經證明了近百條定理。
這年7月，高小山博士也來到維奇塔大學，投入這一課題的研究行列。高是吳文俊先生的弟子，在機器證明領域已有不少好的工作，並且是編程能手。他的加入使工作進程更快了。我進一步提出用更多的幾何工具如勾股差、全角來加強消點法。高小山則提出用體積關係把消點法推廣到立體幾何。不久，基於楊路提出的想法，我們又把消點法用於非歐幾何，在計算機上生成一批非歐幾何新定理的可讀證明。我們進一步發展了基於前推搜索的邏輯方法，使這一方法達到實用階段。
（注：1994年，張景中與周鹹青高小山合撰了以消點法為主題的英文專著《幾何中的機器證明（ Machine Proofs in Geometry ）》出版。書中收集了近 500 條由計算機自動生成可讀證明的幾何定理。 1996 年，美國科學基金委員會在芝加哥組織了一次關於自動推理的學術討論會。該會的主要報告中6次提到這項工作，並把它列為近年來自動推理的幾項重要進展之一。
（注： 為此，張景中教授獲1995年中國科學院自然科學一等獎。1995年，張景中當選為中國科學院院士。1997年，獲得國家自然科學二等獎）
從1996年，我的主要興趣轉向於數學教育和智能教育軟件。在原有軟件基礎上做進一步優化，並根據我國數學課程改革的實際需要，吸取美國優秀教學軟件《幾何畫板》的長處，給原有軟件增加了大量新功能。2002年，我們發表了《Z＋Z智能教育平台-超級畫板》。Z+Z, 是知識加智能之意；而“超級”兩字是從超級市場借來的，意思是說，數學教學和學習所用的一切工具這裏應有盡有，好像超級市場一樣。《超級畫板》易學易用，用它能快速、精確地畫動態幾何圖形和各種與參數動態關聯的曲線，並具有跟蹤、軌跡、動畫、變換、測量、推理、公式編輯、圖表繪製、符號演算、課件製作演示以及編程環境等多種用處。為了使這項軟件能為盡可能多的師生所應用，《超級畫板》推出了免費版本給中小學數學教學。 （注： “Z+Z智能教育平台”軟件已被寫入教育部指定中學教材）
能在不斷的學習和探索中度過後半生，是我的願望。
（六）重聚未名湖
2004年，北大數學力學係54級校友重聚未名湖畔。
半個世紀過去了。當年那些“以天下為己任”的少年書生，多已成為退休賦閑的老人。
大家在一起回憶共同的記憶，分享不同的經曆，懷念故去的同窗，互道珍重夕陽紅。
經曆了多年的風風雨雨，校友們大都以平和冷靜的心態看待過去和現在的一切。
國家和社會的有了大的變化，有了令人欣慰的進步。
50年來，我們根據各自的看法和處境，做了自己想做的或不得不做的事，為社會的變化起到了自己預期的或沒有料到的作用。
世界上有太多的事還應當做。但留給我們做的時間不會很多。
敬愛的幾位老師欣然參加了聚會，語重心長地要大家以平常心安度晚年，保重健康。
回顧這一切，就像已經讀到了一部小說的最後幾頁。我們無法改寫故事的情節，但已經了解自己的經曆了。
張先生的人生周圍有很多值得我們去思考的東四，他的身上有很多我們需要去學習的東四。