七大數學難題6: 納維葉－斯托克方程(美發飄逸軌跡)

難題六： 納維葉－斯托克斯 (Navier-Stokes) 方程的存在性與光滑性

小船隨著微風和波浪在湖中飄蕩;飛機隨著湍急的氣流顛簸地在天空中飛行;魚兒在水中飛翔;鳥兒在藍天中飛翔;長發在微風中飄逸; 紅旗在微風中飄揚; …...

數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過納維葉－斯托克斯方程組的解，來對這些” 飄蕩”, “ 飛行”, “飛翔”,“ 飄逸”進行解釋和預測。也就是說, 這個方程組可以“算出美發在微風中飄逸的軌跡”.這就是: Navier-Stokes方程組問題:
               在適當的邊界及初始條件下，3維Navier-Stokes方程組有沒有光滑解。

19 世紀寫下的這組方程，是粘性流體力學和氣體動力學中一個重要的問題. 100多年了, 還不能斷定這組 方程是否一定有光滑解. 數學家對它的描述和理解太少了。但流體力學和氣體動力學用得卻很多。因為沒有數學理論的支持, 流體力學家和氣體動力學家隻能用數值模擬方法對模型進行求解，並根據求解結果來解釋實驗現象。象解釋飛機在湍流中的顛簸現象, 你可以想象有多重要 。

數學家需要在這方麵做巨大的努力, 在理論上作出實質性的進展，去揭開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。

我老覺得,楊振寧為什麽可以寫出那麽多的物理數學模型, 因為他畢業於”數學力學係”. 為什麽朱熹平可以參與描述龐德萊猜想, 因為他受教於”數學物理所”.現在係科分得那麽細, 對學生的功底和視野極不利.

如果現在哪個人既有嚴格而深後的數學係底子, 又有粘性流體力學和氣體動力學的訓練, 他的素質應當勝任作此類研究工作.出成果的幾率太大了。

北大,吉大,北師大,南開,武大,南大,複旦,中山這8所老牌數學係應該改回”數學力學係",此力學不再僅為”牛頓力學”, 而是極為廣泛的: 量子力學, 電動力學, 光電波力學, 流體力學,氣體動力學,…一片廣闊的天地等著呢；還愁得數學係的學生分不出去。
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1. Boltzmann 方程與流體力學相關：當粒子的Mean Free Path 趨於零時，Hilbert 展開的一階近似為 Euler 方程組，Chapman-Enskog 展開的二階近似為 Navier-Stokes 方程組。因此研究流體動力學在微觀層次上的相應的現象即是對 Boltzmann 的研究 .

2. 流體力學和數理方程 : 流體力學問題，相應的數學模型，綜合運用數學、力學和數值模擬方法對模型進行求解，並根據求解結果解釋實驗現象，進而認識客觀事物的規律性。粘性流體和氣體動力學知識麵廣，涉及問題非常複雜，是力學專業高年級學生具備解決實際問題能力的重要一環，並且有利於形成新的學科交叉型思維。

內容： 粘性流體和氣體動力學的各種模型方程， Navier-Stokes 方程的精確解和近似解，量綱分析方法，層流邊界層理論，激波現象，湍流初步

要求： 應掌握粘性流體和氣體動力學的基本理論知識和主要物理概念，掌握綜合運用數學、力學和數值模擬方法對模型進行求解並對實驗現象進行解釋的基本方法，能運用所學知識分析和解決一些實際問題。

用書： 周光炯等編著《流體力學》（第二版）高等教育出版社， 2000 年 6 月；

3. 粘性不可壓縮流體運動的基本方程 : 考慮流體粘性的必要性， D’Alembert 疑題 ; Newton 流體的本構關係， Navier-Stokes 方程的導出 ; Navier-Stokes 方程的定解條件 ; 粘性不可壓縮流體運動的渦量分析 ; 正交曲線坐標係中 Navier-Stokes 方程的形式 ; Navier-Stokes 方程的守恒形式

要求 掌握 Newton 流體的本構關係 ; 掌握 Navier-Stokes 方程的各種形式及其定解條件提法 ; 掌握粘性不可壓縮流體運動的渦量分析方法和旋渦擴散特征。

4. Navier-Stokes 方程的精確解 :

內容 ： Navier-Stokes 方程的精確解、近似解和數值解 ; 定常 Couette 流動，平麵問題，旋轉問題，圓柱粘度計原理 ; 定常 Poiseuille 流動，平麵問題，無限長直圓管問題和 Hagen-Poiseuille 公式，其他無限長等截麵管問題 ; 非定常流動， Stokes 第一問題， Stokes 第二問題 ; 運動坐標係， Ekman 流動 ;

要求 掌握 Navier-Stokes 方程精確解的概念及存在精確解的主要流動特征 ; 掌握 Couette 流動幾種主要類型的求解方法及圓柱粘度計原理 ; 掌握 Poiseuille 流動幾種主要類型的求解方法及 Hagen-Poiseuille 公式。

5. 相似理論及量綱分析

內容 : 幾何相似，運動相似，動力相似，熱力相似 ; 有量綱量和無量綱量，常用物理量的量綱， Π 定理，無量綱參數 ; 方程的無量綱化，流體動力學基本 方程組 的無量綱形式 ; 流體動力相似和熱力相似的相似律， Re 數， St 數， Fr 數， Eu 數， Pr 數和 Ec 數 ; 小 Re 數條件下的 Stokes 方程 .

要求 掌握根據 Π 定理確定無量綱相似參數的方法和主要無量綱參數的物理意義 ; 方程的無量綱化方法及小 Re 數條件下 Stokes 方程的形式。

6. Navier-Stokes 方程的近似解

內容 : 小球勻速緩慢運動問題的 Stokes 解法， Stokes 球阻公式及其應用 ; 小球勻速緩慢運動問題的 Ossen 修正解法 ; 潤滑流動

要 求 小 Re 數條件下 Navier-Stokes 方程的幾種主要近似解 ; 掌握小球勻速緩慢運動問題的 Stokes 解法， Stokes 球阻公式及其各種應用。

7. 粘性不可壓縮流體運動的層流邊界層

內 容 大 Re 數假定， Prandtl 邊界層理論的基本思想 ; 邊界層的名義厚度，位移厚度，動量損失厚度 ; 二維定常 Prandtl 邊界層方程的導出 ; 邊界層內的流動分析與流動分離現象 ; 平板邊界層的 Blasius 解法 ; 邊界層方程的相似解 ; 邊界層方程的動量積分關係式，近似解法 ; 溫度邊界層方程， Reynolds 類比，相似解

要求 理解 Prandtl 邊界層理論的基本概念和邊界層內的流動特征 ; 二維定常 Prandtl 邊界層方程及其主要解法 ; 掌握溫度邊界層的基本概念。

8. 氣體動力學基本方程和一維定常流

內容 考慮流體可壓縮效應的必要性，氣體動力學問題的幾個基本假定 ; 氣體動力學基本方程的導出，守恒形式，特征形式，定解條件 ; 音速，亞音速流和超音速流， Mach 數，特征線，擾動傳播範圍，無量綱參數 ; Bernoulli 方程，氣體動力學函數，滯止狀態，臨界狀態，速度係數 ; 一維定常變截麵等熵管流計算，流動特征，流量堵塞現象， Laval 噴管 ;

要求 可壓縮流動的基本特征和音速、 Mach 數等概念 ; 氣體動力學基本方程的各種形式 ; 一維定常變截麵等熵管流的計算方法及其應用。

9. 正激波和一維非定常流

內容 激波現象與形成機理，基本假定，正激波與斜激波，激波與水躍比擬 ; 正激波基本 方程組 ，非線性方程的廣義解理論，二維斜激波 方程組 ; 激波絕熱關係， Prandtl 關係，速度壓力關係 ; 正激波計算， Laval 噴管內的非計算工況，正激波的傳播與反射 ; 一維非定常等熵流方程，簡單波理論，稀疏波和壓縮波 ; 活塞在等截麵管內運動引起的流動和激波形成，激波管和間斷分解 ; 交通流的一維可壓縮流動比擬

要求 激波現象與形成機理，激波與水躍、交通擁堵等過程的比擬 ; 激波基本 方程組 ，三個基本關係式和典型問題的計算方法 ; 一維非定常等熵流的簡單波理論及其應用。

10. 粘性不可壓縮流體的湍流運動

內容 Reynolds 實驗與湍流現象，臨界 Re 數 ; 層流向湍流過渡的一個例子，線性穩定性理論， Orr-Sommerfeld 方程 ; Reynolds 平均法， Reynolds 方程組 ， Reynolds 應力 ; Prandtl 混合長理論 ; 無界固壁附近簡單剪切湍流速度分布及其應用 ; 湍流模式理論，零方程模式，二方程模式，模型參數辨識 ; 圓管中的湍流，光滑管，粗糙管

要求 湍流現象和湍流研究的主要方法。 Reynolds 平均法， Reynolds 方程組 ， Reynolds 應力等概念 ; Prandtl 混合長理論及其主要應用。