七大數學難題3: 龐加萊猜想(大球套小球問題)

難題三： 龐加萊猜想　Poincare　Conjecture

什麽是龐加萊猜想，用我的話說，就是“大球套小球，會變成一個球”。在一個任意形狀的大球裏套上一個小球，小球不斷膨脹之後，兩個球麵會完全的貼在一起，成為一個球。---就這麽點事，數學家搞了100年。

20世紀初的1904年，法國大數學家龐加萊提出如下猜想："任何一個封閉的三維空間，隻要它裏麵所有的封閉曲線都可以收縮成一點，這個空間就一定是一個三維圓球 。用代數的語言說，就是：任意一個閉單連通3維-流型都同胚於一個相應的3維-球麵"。

你看看，"同胚"，連數學家都記不清的概念.  "同胚"就是, "那小球不斷地膨脹, 使得小球跟大球麵貼成了一個球, 或者說, 可以變成同一個球"。
      
龐加萊，在１８９７的第一次國際數學家大會上，就被大會列為特邀大會報告人，他因病缺席，由 J. Franel 代讀了論文.＂純分析和數學物理＂一文影響了世界數學界整正一個世紀．看看中國的現狀，科學院的院士是：＂數學物理學部＂； 最終有份參與解決龐加萊猜想的朱熹平也是在中國最有名的數學物理學家李國平創立的＂武漢數學物理研究所＂拿的ＰＨＤ．他的導師就是李國平的大弟子，目前中國數學物理/偏微方程方麵的權威丁夏畦院士。

到了1900年的第二次國際數學家大會上，龐加萊已經成了大會的主席．可見他在學界的地位．正是在這次大會上， Hilbert 的23問題問世．

蘋果麵問題：如果伸縮圍繞一個蘋果表麵的橡皮帶，那麽可以既不扯斷它，也不讓它離開表麵，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方麵，如果用同樣的橡皮帶以適當的方向伸縮在一個救身圈麵上，那麽不扯斷橡皮帶或者救身圈麵，是沒有辦法把它收縮到一點的。因此蘋果表麵是“單連通的”，而救身圈麵就不是。龐加萊１９０４年就解決了二維球麵本質上可由單連通性來刻畫．但對三維球麵(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題，則不能給出解答。這個問題就是後來的龐加萊猜想。

100年來, 數學家一直在努力. 對拓撲分類中球麵問題維數 n>=5 的龐加萊猜想，１９６０年就被大數學家斯梅爾證明了．到了１９８１年， M.Freedman 又完成了維數 n=４的證明．
就剩下n=3放在那, 一待就是100年.

II ．丘成桐與 Ricci 流

大數學家陳省身(華人中唯一獲過數學Wolf大獎)的入室大弟子美國院士丘成桐，因為證明了微分幾何中的卡拉比猜想而獲得數學最高獎菲爾茨獎．丘在幾何曲麵，拓撲流型，微分幾何等方麵，造詣很深，成果累累．他對龐加萊猜想有很深的理解和研究，他下了很多苦心．但一直不得其解。

應該說龐加萊猜想， Thurston 幾何化猜想，和拓撲分類的 Ricci 流證明都是丘成桐 Shing-Tung Yau 等人所創立的 “幾何分析” 的最大成就。丘和他的老師陳省身一樣，中華情結很重，許多外國人私下批評丘是一個強烈的民族主義者．證據之一便是他的大多數入室弟子都是中國人，並且他喜歡強力推薦自己的弟子到重要位置上。

1979年時，任普林斯頓大學教授的數學家瑟斯頓William Thurston對拓撲分類中球麵問題深有研究．先是葉狀結構理論，後是三維流形的幾何理論．---這兩項都是開創性的大成就。尤其三維流形的幾何理論，涵蓋了龐加萊幾何結構猜想。因此他對龐加萊幾何結構猜想，也得到了部分證明結果．由於他對三維流形的幾何理論的開創性貢獻，於１９８２年與丘同時獲得菲爾茲獎。

受老師陳省身對Ricci 流研究的影響，丘很早就意識到Ricci流的重要性．１９８２年，當Hamilton創立Ricci流理論之初，丘就令他的幾個中國學生跟Hamilton學習．丘曾向Hamilton建議可否引進幾何切割來解決拓撲分類等問題。

１９９７年，Hamilton發表了關於幾何切割的文章，Hamilton的Ricci流理論對龐加萊猜想的解決方案建立了一組偏微方程. 該方程組清楚地說明了解決龐加萊猜想的可行性。它成了日後人們解決龐加萊猜想的綱領性方案。---可以說, Hamilton的工作是裏程碑式的, 後人的工作應該都沒"超越"他---都是基於他的理論與方法。

俄國數學家Grisha Perelman試圖攻克該難題而不餘以力；他早在 1994年就從人們的視線中徹底消失，開始埋頭苦幹，研究有關Ricci流和龐加萊猜想．他使用了Hamilton的幾何切割方法，到8年以後的2003年5月他宣布解決了龐加萊猜想。3年過去了，專家們還在檢查他的證明。最後的檢查結果如何，沒有正式宣布。一些著名的專家認為這一結果基本上是正確的，隻是有一些小紕漏需要改正．

丘是這方麵的專家，他應該是驗收Perelman結果的專家之一．丘苦心研究Ricci流這麽多年，到手的鴨子飛了，其心情可想而知。 　

丘對他的那幾個弟子也有微言．他們為了職稱，為了發表文章數，都不願意花時間在這辛苦而可能毫無結果的Ricci 流研究和龐加萊猜想上．因次丘被迫把眼光放到了國內那些有Ricci流研究基礎的別人的弟子身上。

III. 朱熹平與微分幾何

朱熹平， 1982年本科畢業於老牌的中山大學數學係，1984年在中大取得碩士學位．然後考入中國數學物理方麵最強的單位＂科學院武漢數學物理研究所＂，並於1989年取得數學物理偏微方程博士學位。

武漢數學物理研究所的全班人馬幾乎清一色是老武大數學所的人，他們在數學物理，偏微分方程，數理方程等方麵執國內之牛耳．＂數學物理研究所＂的創辦人是丁夏畦院士的老師，學部委員李國平一級教授．丁夏畦是所長，專長數學物理和偏微分方程．朱這樣跨不同校門，等於受到了另外一個學術派係的教育．對他日後的研究想必打下了極廣泛的基礎．

再加上武大數學係與法國的關係――武大數學係餘家榮教授是國內唯一的法國科學院外籍院士;＂法語數學班＂在國內獨一無二．因此朱熹平被邀到法國巴黎第九大學的著名數學家、法國科學院院士、Fields獎得主P. L. Lions 教授處合作一年。這些使得他在偏微分方程的緊性結構及多解性方麵取得了若幹國際領先的工作。

朱熹平現任中山大學數學係教授、數學與計算科學學院院長，廣東數學學會理事長，中科院晨興數學中心學術委員，浙大數學研究中心顧問，《數學物理學報》、《偏微分方程雜誌》、《數學研究》編委。 91年獲中科院自然科學二等獎， 97年入選教育部“ 跨世紀人才”，98年獲國家傑出青年基金，列入99年度國家人事部“ 百千萬人才” 第一梯隊人選，並於2001年被聘為教育部“長江學者”特聘教授。

朱在偏微及微分幾何兩個領域裏造詣很深。俄羅斯著名數學家Steklov數學研究所的Pohozaev 在1997年出版的專著《 Entire Solutions of Semilinear Elliptic Equations 》（ Birkhauser 出版社）中用了整整兩節共23頁介紹朱熹平的一個定理及其應用。近年來他在微分幾何領域，先後解決了Grayson猜測以及Gage公開問題，並且在Ricci flow理論取得一些成果。

丘成桐在編輯有關Ricci flow領域的精選文集時收集了朱熹平與陳兵龍於2000年發表在國際頂級數學刊物《 Inventiones Mathematicae 》上的一篇論文，還邀請朱為該文集寫了一篇有關完備非緊流形Kahler-Ricci flow方麵的綜述文章。由於朱在曲率流方麵的具國際領先水平的工作，美國 CRC/Chapman & Hall 出版社主動邀請他和曹啟昇撰寫了專著《 The Curve Shortening Problem 》並於2001年出版。接著在2002年美國數學會與國際出版社（AMS/IP）聯合出版了朱熹平題為《 Lectures On Mean Curvature Flows 》的另一本專著。

丘成桐想到了朱熹平．

IV. 朱熹平與龐加萊猜想

朱在Ricci flow領域的工作基礎，對解決龐加萊猜想問題很有用．於是, 2005年９月底至今年３月，丘成桐邀請朱熹平和曹懷東到他所在的哈佛大學，一邊研讀俄國數學家Grisha Perelman的證明，一邊以每星期３小時的時間—連續２０多個星期、共約７０個小時，和包括哈佛數學係主任在內的５位數學家進行逐段討論，反複推敲其中每一個問題. 希望能夠找出錯誤，並使得俄國數學家Grisha Perelman的證明得到完善．

由於Hamilton的奠基性工作和Grisha Perelman的證明都很傑出，人們期待著在2006年國際數學家大會（西班牙。8月）上，能有龐加萊猜想的最終結論。

為了搶8月這個時間點，丘成桐將曹朱的論文發表在自已主辦的”Asian J. of Mathematics＂（亞洲數學通訊）這個在數學界不大有名的雜誌上．一來丘可以出口氣，自己的＂學生＂完成了補洞工作――奇異點問題的解決，(還有如何在“有限時間內完成幾何切割“等問題, 是別人完成的)．用丘的話：＂別人蓋好了大樓，我們封了頂＂。是夠形象的。但“自創性”的比例是多少，是不是原創性的, 還是隻是“潤色”性的，都要由別人來驗收，來評論。二來因為發表了這篇３００頁的大論文，丘的雜誌＂亞洲數學通訊＂也將名成業界．真是一箭雙雕。

由於丘成桐與陳省身的師徒關係，由於考慮到陳省身曾經對Ricci流做過研究，丘作為陳省身的得意門生，或者說如果不是當年的陳省身授他ＰＨ．Ｄ，如果不是當年陳省身竭力推波助瀾使他得到菲爾茲獎，那有丘的今天．真是一日為師，終生為師／父．丘帶著弟子感恩的心情在２００６年６月雜誌＂亞洲數學通訊＂的扉葉如是寫到：

“This is the specisal issue dedicated to the memory of Professor Shiing-Shen Chern（陳省身）,1911——2004” 。

論文的題目是：

＂THE HAMILTON-PERELMAN THEORY OF RICCI FLOW – THE POINCARE AND GEOMETRIZATION CONJECTURES ＂經審稿，該期刊決定將文章發表於 Vol.10,No.2,pp.165–498 ，也就是六月份第一期的 165——498 頁。 
   
論文的摘要是：
Abstract. In this manuscript, we provide an essentially self-contained description of the works of Hamilton, Perelman and the others on the Ricci flow and its application to the geometrization of three-manifolds. The manuscript offers a complete proof to the Poincare and geometrization conjectures.
 
如果論文證實無誤，就宣告了龐加萊定理得到最終證明 。

丘成桐說，“這是一項大成就，比哥德巴赫猜想重要得多。”此話怎講？前一句對，後一句值得保留．每一行都有自己的用處. 微分幾何代替不了數論. 就象物理代替不了化學. 怎麽誰比誰重要?

我們家楊樂含蓄：“這是第一次在國際數學期刊上給出了猜想的完整證明，成果極其突出。”講的不痛不癢，官味十足，怪不得老楊可以當一國之所長，和數學會的會長．

龐加萊猜想將是2006年國際數學家大會的焦點．據2006年國際數學家大會官方網站介紹，這個有一百多年曆史的數學問題可能在即將召開的2006年國際數學家大會上宣布被解決。

一般認為，龐加萊猜想的完成是美國數學家Richard Hamilton, 俄國數學家Grisha Perelman, 和 朱熹平－曹懷東．攻克這個難題不是一百萬美元獎金的事，那是攸關於用錢買不來的個人－學派－國家的榮譽．西班牙。8月將舉行的2006年國際數學家大會成了人們的期待，看誰能得到本屆的菲爾茲獎。

按菲爾茲獎的規矩，４０歲以下．不曉得諸君的年歲，就無從談起．既然朱８２年本科畢業，可能為40～45之間．一線之隔．而曹懷東是81年畢業, 想必也過了40的年坎. 可能隻能拿個"特別貢獻獎". 這在菲爾茲獎上是有先例的, 不過我認為, 僅說" 龐加萊猜想"的修補工作，因該很難拿到" 特別貢獻獎", 可能要用"基於他在偏微方程, Ricci flow諸領域的長期研究和成就,以及他在龐加萊猜想修補工作上的成果....."來申請該獎項了.

2006年國際數學家大會原定將由兩位公認的頂尖拓撲專家 Richard Hamilton 教授和John Morgan教授做大會“一小時"報告。Grisha Perelman博士的證明用到了Richard Hamilton開發的工具, 至今沒有正式發表論文。並且Grisha Perelman本人一直不打算出席本屆大會，當他被邀請在本屆大會上做一小時大會報告時，他竟然懶得回複。也許這就是真天才與眾不同之處吧。

然而不容置疑，如果龐加萊猜想成為龐加萊定理――即完全證明了，不論Grisha Perelman出席與否，他和Richard Hamilton 都是人們關注的焦點。現在，由於朱熹平－曹懷東文章的發表---不論正確與否，很多問題大會都要從新來看，來想，來安排。 這一定讓國際數學家大會多了不少頭疼事，很有可能由於這個突如其來的意外使得這次大會本身也被載入數學史冊。

此撅文僅對那些對數學有興趣的朋友．慌亂之中，一定很多謬誤．請雅正.
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＊１）．俄羅斯數學家 Perelman 在 Richard Hamilton 等人工作的基礎上，對完成整個 R. Hamilton 　以 Ricci 流為工具的解決方案作出了原創性突破（主要是在 neckpinch singularity 和其它 singularities) ，
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0211/0211159.pdf
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0303/0303109.pdf
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0307/0307245.pdf 

＊２）． Mark Brittenham 關於龐加萊猜想及 Grisha Perelman 的證明介紹文章 .

[楊子]

1. ＂別人蓋好了大樓，我們封了頂＂。 是夠形象的。但工作的比例是多少，是不是原創性的, 還要別人來評。----- 我這裏也是說等待別人的評介.
2. 朱他們做了點小工作, 一是對俄全篇證明的"通讀", 二是對俄全篇證明的加點"韻味", 三是對俄全篇證明改稿---"奇異點問題", (至於"如何在有限時間內完成幾何切割問題"是別人完成的)
3. "如果論文證實無誤，就宣告了龐加萊定理得到最終證明"--
4. 今年數學大會的主題"如果"是 龐加萊定理,不是那麽毫無疑問,美國數學家Richard Hamilton, 俄國數學家Grisha Perelman, 一定排在 朱熹平－曹懷東 之前.
5. "不論Grisha Perelman出席與否，他都是人們關注的焦點。現在，由於朱熹平－曹懷東文章的發表，很多問題都要從新來看，想，安排。這一定讓國際數學家大會多了不少頭疼事，很有可能大會本身也因此載入史冊。 " 我指的也是這, 不能來得及去驗證朱熹平－曹懷東文章(分量)的事, 讓大會說"是"還是"不是"...因此很難辦...

[化學鍵]

不是--> 不少

sorry

[化學鍵]

楊子的文章寫的棒，讓我這個外行也了解了數學界的不是故事新聞。

下麵的文章，不知楊子讀到沒有?
http://www.xys.org/xys/ebooks/others/science/report/zhuxiping4.txt