七大數學難題2: 房子積木問題 (霍奇猜想)

難題二： 霍奇猜想　Hodge Conjecture

什麽是霍奇猜想，用我的話說，就是“再好再複雜的一座房子，都可以由一堆積木壘成”---任何一個泥瓦匠都知的簡單道理，連頑童也懂。稍微文皺點就是: 任何一個形狀的幾何圖形，不管它有多複雜(隻要你能想得出來)，它都可以用一堆簡單的幾何圖形拚成。--- 就這麽點事，數學家搞了50年, 並且毫無進展。

1958年，英國數學家，第13次國際數學大會的主席，W.V.D.Hodge霍奇教授提出：對於射影代數簇空間，在非奇異複射影代數簇上, 任何一個霍奇類都可以表達為代數閉鏈類的有理線性（幾何部件的）組合。

二十世紀的前半葉，數學家希望得到研究複雜形狀的方法。基本思想是：任何一個複雜形狀都可以由一組簡單的幾何形狀基本模塊粘合形成。這是極其傳統的數學方法．也是千年來歐幾理得幾何公理係統的原始思想。

問題是：在什麽程度上（過程到底有多複雜），對於給定的複雜形狀，我們可以通過把維數不斷增加，把越來越多的簡單幾何基本模塊粘合在一起，來形成該複雜形狀。

數學家希望用這種思想，用各種不同類型的方式一步一步地擴展，最終建立一組強有力的代數方程或／和幾何工具，使各種複雜的對象分類成一些具體的簡單的幾何對象及其組合。

問題是，在這種擴展過程中，幾何出發點變得模糊起來――到底從那些簡單幾何對象組合起；組合的程序／序列又是什麽。因此，必須加上一些沒有任何幾何解釋的＂非幾何＂基本模塊。以期達到：在非奇異複射影代數簇上, 任何一個霍奇類對象都可以表示為代數閉鏈類的有理線性組合.―――這就是著名的霍奇猜想。

注：Hodge教授非常重視邏輯和組合等基礎數學的重要性. 他認為應列在代數和數論之前。