完全數

如果一個自然數等於除它自身以外的各個正因子之和，則這個數叫做完全數(Perfect numbers).

　　在自然數裏，到底有多少完全數呢?
　　6=1＋2＋3,
　　28=1＋2＋4＋7＋14,
　　496=1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248,
　　8128=1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋127＋254＋508＋1016＋2032＋4064.

　　完全數不多，前八千多個正整數才4個! 物以稀為貴，完全數稀罕.
在1到40000000這麽多數裏，隻有七個完全數，它們是:6，28，496，8128，130816，2096128，33550336.

　　從第四個完全數8128到第七個完全數33550336的發現經過一千多年，這是因為第七個完全數要比第四個完全數大了4100多倍.這可能是曆經一千多年才艱難跨出一步的原因.用完滿來形容6，28，496，…這一類數很恰當.這種數一方麵表現在它稀罕、奇妙，

1). 完全數表現在它的完滿，各因數的和不多不少正好等於它自己.
2). 完全數還有一鮮為人知的有趣事實:
π數值取小數點後3位相加恰是第一個完全數6( =1＋4＋1)，
π數值取小數點後7位相加正好等於第2個完全數 28( = 1＋4＋1＋5＋9＋2+6).
居然能有如此的聯係，難道不足以令人驚訝嗎?

完全數還具有以下的有趣事實：
3).所有已知的完全數，除6以外，其數字和均為1.也就是說，它們的數字反複相加的最終結果等於1.
　　例如: 496
　　4＋9＋6=19,1＋9=10,1＋0=1.

4). 所以完全數都可以表示為2的一些連續整數次冪之和， ( )為整數次冪. 如:
　　6=2(1)＋2(2)，
　　28=2(2)＋2(3)＋2(4),
　　496=2(4)＋2(5)＋2(6)＋2(7)＋2(8),
　　8128=26＋27＋28＋…＋212，
　　33550336=212＋213＋214＋…＋224.

5). 除了6以外，其他完全數可表示為連續奇數的三次方之和，( )為整數次冪.如：
　　28=1(3)＋3(3)，
　　496=1(3)＋3(3)＋5(3)＋7(3),
　　8128=1(3)＋3(3)＋5(3)＋…＋15(3)，
　　33550336=1(3)＋3(3)＋5(3)＋…＋125(3)＋…＋127(3).
　　如此完美的模式，難怪完全數如此的迷人，具有魅力，因此，完全數是極美的數.

6).迄今為止，發現的完全數都是偶數，還沒有發現一個奇完全數，但也沒有證明奇完全數不存在.

7). 迄今為止，發現的完全數都具有以下的形式：
　　N=2n－1(2n－1)(其中n與2n－1都是素數).

　　事實上，在歐幾裏得《幾何原本》卷九中的最後一個定理，就是關於完全數的，它陳述如下：
　　“如果2n－1是一個素數，則2n－1(2n－1)是一個完全數.”
　　對於n=2，我們得到完全數6.對於n=4，由於24－1不是素數，所以結果不會產生一個完全數，對完全數的探索，古往今來始終困擾著數學家.

　　直到現在還沒有人發現一個奇完全數，也沒有一個人能夠證明奇完全數不存在(這是數論中著名的未解決的問題之一.)

人們認為歐幾裏得定理的逆命題(“每個完全數有2n－1(2n－1)的形式，這裏2n－1是一個素數”)可能成立，但至今沒有人能夠證明.
瑞士數學家歐拉(Leonard Euler , 1707－1783)證明了所有偶完全數都應當有這樣的形式.對完全數的探索一直持續到今天.

　　今天，人們借助於計算機找到了當n=521,607,1279,2203,2281,3217,7090,4253,4423時相應的完全數.
此外，n=9689,9941,11213,19937時也給出了完全數.
你能想像這些完全數有多大. 倒如，1963年，伊利諾斯大學發現了對於n=11213時的完全數，它包含6751個數字，有22425個因子.
至1998年2月，人們知道的完全數共37個.最後一個完全數相應的n=3021377.

　　尋找這種數那麽難，卻還是有人去尋找，到現在為止也還隻發現了37個.為什麽去尋找呢?
是因為這種數在現實生活中有什麽特別的用途嗎?目前確實還沒有發現.
是它的奇異和美麗吸引了許多的人.
完全數還有著許多其他的特殊性質.