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【金碧輝煌的聖殿(5. Perfectly squared)】

(2023-12-08 19:11:39) 下一個

金碧輝煌的聖殿(5. Perfectly squared)

 

本篇可以稱為“外一篇”,因為它不涉及歐幾裏得幾何的內容,跟公理、定理無關。但它的確是關於幾何圖形的,內容也相當神奇且美觀。所以它跟Morley’s trisector theorem 和John’s theorem一樣,在我家的牆壁上占有一席之地。

整整一百年前的1923年,在波蘭的University of Lwoów,有兩個學習數學的學生Zbigniew Moroń和Wladyslaw Orlicz。他們在課上聽教授說起完美矩形(perfect rectangle,或稱squared rectangle)的問題。這個問題早就有人提出來,但無人能解決。

問題是這樣的:是否存在整數邊長m x n的矩形,它能被分割成多個不同大小整數邊長的正方形?在這個問題中,“不同大小整數邊長”是關鍵。假如有一個2 x 3的矩形,我們當然能把它分成六個1 x 1的正方形,一點意思都沒有。

兩個年輕人興致勃勃地開始研究這個問題,但過了一段時間,他們就得出結論,這恐怕和許多表麵上看似簡單的數論問題一樣,其實是極為困難的。Orlicz放棄了,他後來成了大學教授;Moron(唉,這個詞在英文裏的意思太不好了!)繼續堅持,他一輩子當中學數學老師。在苦苦探索了兩年(不算太長)後,他就有了突破。1925年,他用波蘭語發表了論文《論將矩形分解為正方形》。而且,他一下子發現了兩個這樣的長方形,如下圖所示:

矩形A 邊長為 65x47,是10階(order,即組成它的正方形的數目)。這個矩形就是在我家牆上掛的那個;矩形B 邊長為33x32,它很像正方形,但不是。它隻有9階。Reichert 和 Toepkin 在1940 年證明,9階是完美矩形的最小階數。少於9個正方形是不可能拚成一個矩形的。也就是說,Moron在一開始發現的那個33 x 32的矩形,已經是最簡單的完美矩形。

在得到一個完美矩形以後,你可以在任何一邊添加相同邊長的正方形,進而無限擴大矩形。通過交替邊繼續這個過程,加入的正方形邊長可以得到斐波那契數列(Fibonacci sequence)。不論起始的完美長方形的邊長是什麽,隻要交替擴展下去,相鄰兩項的比值將趨近黃金分割值 0.618... , 這是很有意思的現象。

隨後的幾年,越來越多的完美矩形被發現了(不是以上麵那種以無限交替重複方式得到)。僅一位日本老兄安倍路生(Michio Abe)就發現了600多個。於是有人就問,是否存在完美正方形(perfect square,或squared square)呢,即是否存在整數邊長的正方形,它能被分割成多個不同大小整數邊長的正方形呢?人們尋找了一段時間,沒有答案。於是有人懷疑這樣的正方形是不存在的。

在尋找的過程當中,有人提出了一個思路:如果存在任何一個 a x b 的矩形,它不僅是完美矩形,而且可以有兩種方式拚成,那麽邊為 (a+b) x (a+b) 的正方形就一定是完美正方形。

照著這個路子,德國人Roland Sprague去構架和尋找。終於,他在1939年發現,以1885 x 2320 為邊長的矩形可以用兩種(上圖的X 和 X’)方式構成為完美矩形,這樣,一個邊長為4205(=1885 + 2320)的完美正方形就找到了,它由55個小正方形組成(圖Y)。隨後,其他人通過類似的方法,又得到了一些更簡單的完美正方形。

到了1962年, 荷蘭數學家Arie Duijvestijn證明,不存在低於 21 階的完美正方形。然而這個21階的完美正方形在哪裏呢?又過了16年,到了1978年,這個唯一的階數最小的正方形,被Duijvestijn 找到了。這是一個 112 × 112 的完美正方形(圖A)。此外,人們還找到了三個邊長更短(均為110),階數為22 和23的完美正方形。其中兩個還是由Duijvestijn貢獻的(即圖B和D)。

有人可能會進一步想,如果擴展到3維空間會怎麽樣呢?一個邊長為整數的長方體或正方體,是否可以被邊長為整數的不同的大小的正方體完全填充呢?其實,你隻要發揮一點兒空間想象力,這個問題的答案出奇地明確!

 

寫到這裏,這個幾何係列文章就告一段落了。日前,我突然想到,其實我自己也有一個手工幾何作品呢,我都幾乎忘記了。

這是一個木製的jigsaw puzzle,它是整整20年前,我為兒子周歲做的生日禮物。經過了這麽多年,雖然有些磨損,但色彩還是那樣的鮮亮。我不知道這個禮物對孩子後來到底產生了什麽影響。但我精心設計、做出這樣一個東西,也仿佛是給自己的一份禮物。在後來的歲月裏,我陪他走過了迥然不同於一般孩子的、跌宕起伏的人生道路。最終,他站立起來,走出家門,以他的方式去獨立麵對這個世界了。今天,看著這個jigsaw puzzle,想到在3000英裏外的那個沉默而忙碌的孩子,我心中百感交集……

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評論
唐宋韻 回複 悄悄話 回複 '梧桐之丘' 的評論 :
謝謝梧桐兄。五味雜陳,一言難盡。
梧桐之丘 回複 悄悄話 深沉的感情,深沉的愛。好文。
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