個人資料
唐宋韻 (熱門博主)
  • 博客訪問:
正文

【金碧輝煌的聖殿(1、Axiomatic system)】

(2023-10-21 18:06:04) 下一個

金碧輝煌的聖殿1、Axiomatic system)

 

不知什麽原因,WXC中最近多處討論現代科學技術為什麽沒有在中國出現的問題。各方網友從多個角度去探討,比如曆史、科學史、文化傳統、思維方式,乃至人種等。而我,卻願意從一個具體的層麵去看這個問題,那就是for some reason,中國未能產生係統的數學和與之相關的邏輯體係,使得實證科學未能發展起來。

在中國,人們常把數學歸類於科學。實際上數學就是數學,Mathematics is not a part of Science. 數學是科學之母。數學的邏輯體係使得實證科學得以發展。

2400年前,數學發展史上發生了一個大事件,就是古希臘數學家歐幾裏德(Euclid)結合前人的發現,創立了歐氏幾何學。他寫成的《幾何原本》(“The Elements”)共13卷,從5條公理(axiom)為支柱,以演繹法(三段論)作為主要邏輯推斷法,證明了465個命題(proposition)。建立起了一座幾何聖殿。

作為這個盛典的支柱的5條公理是 —

**從一點向另一點可以引一條直線。

**任何線段都能向兩邊無限延伸成一條直線。

**任何給定的線段,均可以其一個端點為圓心,以該線段作為半徑做一個圓。

**所有直角都相等。

**通過直線以外的一個點,存在且僅存在一條與該直線平行的直線。

【後來,數學家發現最後一條平行線公理可以作為一種選擇,而不當作必然的幾何真理,進而發展出全新的與日常空間經驗不同的非歐幾何(non-Euclidean geometry),這完全是另一個話題。】

《幾何原本》的意義不僅僅在於它闡述的幾何命題,更在於它的嚴密的邏輯體係,這為數學的其他分支(如代數、數論、解析幾何等)的發展打下了堅實基礎,也為以後科學技術的發展創造了條件。歐氏幾何顯示了理性思維的力量,使得後世真理追尋者都力圖效仿這樣的理論體係,比如經典力學和相對論,都是從幾條基本原則或定律演繹出來的體係。

《幾何原本》在數學史乃至人類思想史上有著無比崇高的地位。《幾何原本》是發行最廣、使用時間最長的書,共有二千多種不同文字的版本。它的印刷量僅次於《聖經》。

為什麽以演繹、歸納、反證等為手段的理性思維極端重要,我們可以以Pythagorean theorem (畢達哥拉斯定理,勾股定理)的證明來說明一下:中國古代的數學書《周髀算經》記述了“勾三股四玄五”,即在直角三角形中,如果兩直角邊長分別是3和4的話,斜邊長為5。這是畢達哥拉斯定理的一個特例,即32+42=52, 但如果沒有一個幾何的邏輯體係,要得到a2+b2=c2的一般證明,或輕易發現勾股數(如5-12-13,8-15-17,等等)都是做不到的。畢達哥拉斯定理有幾百種證明法。我們看一看基於公理體係的歐幾裏得證明 —

假定ΔABC是直角三角形,角A為直角。要證明該定理,就該圖來說,就是證明不論是怎樣一個直角三角形,兩個直角邊做成的正方形(藍色和粉色),其麵積之和等於斜邊做成的大正方形。

首先,通過5條公理,經過不複雜的工作,我們可以得到:1. 基於SAS的三角形全等定理;2.如果一個三角形與一個矩形同底同高,則麵積為其一半。上麵兩條作為定理,是基於公理的“真理”,也是進一步證明其他真理(這裏是畢達哥拉斯定理)的前提。

我們做3條輔助線:自A點向BC作垂線,交BC於K。延長AK,延長線交DE於L。連接AD。連接CF。根據上麵的定理(1)和圖中三個正方形的事實,我們得出結論ΔEBC與ΔABD是全等的。下一步,根據上麵定理(2),正方形ABFG的麵積是2x ΔCBF的麵積;同理矩形BDLK的麵積是2x ΔABD的麵積。於是就有突破了:既然兩個全等三角形有相同的麵積,那麽ABFG的麵積就一定與BDLK麵積相同。同理,正方形ACIH的麵積與矩形CELK相同 ……. 這樣,畢達哥拉斯定理就得證了!

伽利略說“數學是上帝用來書寫宇宙的文字。”隻有當人類逐漸理解了這個“文字”以後。才可能開始更大規模地改造世界。按照科學史的一般說法,人類曆史上共出現了三次重大的產業革命。第一次以蒸汽機、紡織機等為主體 ;第二次是以發電機、電動機、電話通訊等為主體技術 ;第三次的主體技術是計算機、原子能、自動化等。如果沒有對數學真理的掌握和它高屋建瓴的參與,400年前開始的第一次產業革命絕不可能發生 …… 因此,現代科學技術未能出現在中國的直接原因,也就不言自明了。

===================

另:

我認為,人類目前或許正處於第四次技術革命的前夜,這次革命可能是以AI、生物技術、量子計算和量子通訊等為主導,而其中數學的作用一如既往地巨大。

此外,數學對人類精神世界的作用也是不容忽視的。它影響著人們的思維方式、世界觀和藝術觀。嚴謹的邏輯思維和嚴密的推理,反映是人類對真理的追求,這種追求實證的嚴謹思維,對於擯棄愚昧、減少盲從和打破思想束縛是十分重要的。

------------

【論壇中與網友交流。點入位於最下。】

金碧輝煌的聖殿(1、支柱和邏輯體係)】 唐宋韻 - ♂ 給 唐宋韻 發送悄悄話 唐宋韻 的博客首頁 (7704 bytes) (61 reads) 10/24/2023  11:54:50 (4)

【金碧輝煌的聖殿(1、支柱和邏輯體係)】 唐宋韻 - ♂ 給 唐宋韻 發送悄悄話 唐宋韻 的博客首頁 (7704 bytes) (3555 reads) 10/24/2023  11:54:16 (6)

• The palace of Euclidean geometry (1. axioms and deduction) 唐宋韻 - ♂ 給 唐宋韻 發送悄悄話 唐宋韻 的博客首頁 (8365 

[ 打印 ]
閱讀 ()評論 (4)
評論
唐宋韻 回複 悄悄話 回複 '小二哥李白' 的評論 :
是的。古希臘的那些數學家、幾何學家們,很多也是哲學家。兩者的思辨與邏輯是相通的,它們共同以“形而上”的方式照耀著後世的科學與技術。
小二哥李白 回複 悄悄話 《幾何》是雅典殿堂的踏腳石,不識《幾何》不配談論哲學。
唐宋韻 回複 悄悄話 回複 '花似鹿蔥' 的評論 :
花姐好。
“唐宋”本是玩票的。。。
花似鹿蔥 回複 悄悄話 唐宋這個彎太大,跟不上啊。。。
登錄後才可評論.