數論人生
數論是一門學科，也是我的人生。有人把酒論英雄，我用數字描天下。
最近聽說學物理之前要先學“習思想”，是不是要搞清楚正能量與負能量？可物理世界中的能量概念怎麽能與人治社會的折騰行為相提並論？現實世界裏的能量，是一個間接的物理量，無斤無兩無形狀；它是力子相互作用的表現，分正負隻是為了區別力的方向。習氏折騰搞階級鬥爭，順我者昌為正，逆我者亡清零，負能量來自哪裏？敵對勢力。今天，我就給小學生們科普一下，什麽是自然科學裏的能量。
是人都知道，物質由分子組成；這是宏觀世界，因為分子肉眼可見（借助顯微鏡）；分子則是由原子通過化學鍵鏈接在一起；化學反應就是原子重組：通過交換、共享電子對，電磁力與引力同時作用，形成化學力如London、Van De Waals等Dispersion Forces。這些力都是可計算的，而且可以在分子攝像機下被看見。
微觀世界由基本粒子構成，人是不能直接觀測的。亞原子粒子有幾百種，但都是由6種誇克、6種輕子、5種帶力粒子（Higgs、W/Z、Gluons、Gamma、Gravitons）組合而成。起作用的主要是強核力、弱核力；核力的大小與間距成正比，這是可以通過相互作用的疊加原理推導出來的。電磁力和引力則忽略不計；因為強核力是電磁力的數百倍，更是引力的10^40倍，弱核力是電磁力的百萬分之一，也是引力的10^30倍。核能是化學能的幾百倍。
基本粒子又是什麽呢？粒子都具有波粒二像性，為了把二者統一起來，物理學家們構造了弦。弦是無限細的，沒有厚度但有長度，大約1.6 10^(-35)米(Planck長度)；可以是開放的，也可以是閉合的。弦的每一個振動模式對應於一個基本粒子，其振動頻率、幅度和波長確定了它的能量（質量、電量和自旋）。弦是物質的基本組成成分，不再由其它東西構成。弦如所有粒子及力子一樣互相響應，但不再像無窮小的點狀粒子那樣“剛性”分裂，而是像管子般實行Y狀“軟性”的光滑分叉。
弦是一維的；還有不有二維的曲麵、三維的實體，甚至更高維的形體存在呢？物理學家們杜撰了膜(Branes)的概念。薄膜(membrane)就是一塊二維的、沒有厚度的曲麵，稱為一個2-brane；一個封閉的2-brane就像一個救生圈。再把點狀粒子稱為0-branes，零維的；三維實體稱為3-brane。在超弦理論中，共有10個維度，即一個形體可以沿最多10個維度伸展；一個p-brane有p個維度，p可以取值0到9；它可以延伸出一個p+1維的體積，稱之為世界體積 (Worldvolume)，就像點成線有長度，線成麵有麵積，麵成體有體積。人類隻能看間三個維度，隻有物體長度達到了!0^(-16)米時，才可以被觀測；其它維度都被卷縮在了普郎克尺度裏。
有一類特殊的膜，具有質量，可以讓開放的弦的兩端固定，稱之為D-膜；D指的是滿足Dirichlet邊界條件，也就是說，在一個區域內部滿足Laplace方程的位移函數，在區域邊界上滿足的條件。一個D0-膜就是一個點狀粒子，它有無限的質量，不固接於任何物體，也不移動；一旦被觀測，它的質量才變為有限。一個D1-膜就像弦：可以一個空間維度伸展，也可以閉合成圈；它可以任何方式運動，包括振動和量子波動。一個Dp-膜沿著p個空間維度伸展。在玻色弦理論中，最高可達D25-膜，還有跟即時子同性質固定在時間和空間中的D(-1)-膜。
在數學上，膜可以用範籌(Category)來表示; 範籌就是包含物體以及兩個物體之間的態射(morphism)的數學結構。物體可以是集合、具有代數結構的向量空間，或者具有幾何結構的拓撲空間；態射就是兩個物體之間的、保持某種結構信息的映射或者變換（函數）。可以把D-膜當作物體，態射就是它們之間起連接作用的開弦。D-膜就是複子流形，包含了弦兩端的能量（電荷、質量等）信息。
膜相互作用，形成了各種基本力。當兩個D-膜互相靠近時，作用力被其間的一個弦圈捕獲。弦圈可以被描述為包含低能量的兩個複標量場：弦的質量是虛數。一根弦的質量來自於三個方麵：一是它的靜止質量，由兩端的D-膜拉伸所致；二是振動能量，源自每一個共振（overtone）；三是量子不確定性的最小波動，這稱為零點能量，它是負的，不能被消除。按照E = hf，以及E2 = p2c2 + (m0c2)2, 三種效應相加，得到總質量的平方。弦圈的配對場勢為phi ^(2)chi ^(2)。
弦理論的一個應用是黑洞的研究。物理學家們堅信，黑洞應該具有熵(entropy，即某種不可控的能量)；可是黑洞吞食一切能量，它的熵似乎從宇宙中消失了。為了滿足熱力學第二定律，人們必須假定黑洞獲得了被吞食物質的部分熵。把量子力學應用到黑洞研究，Stephen Hawking發現，黑洞會通過熱輻射釋放能量，其溫度為T = K/M與其質量成反必，常數K = hc^3/[16pi^2(Gk)]，G為萬有引力常數，k為Boltzmann常數。假設零質量物體的熵為零，Bekenstein據此推出了，黑洞的熵與質量的平方成正比。膜（branes）其實就是絕對溫度為0的黑洞。
為什麽恰有這麽多維度的膜？這與物體的對稱群有關。對稱群就是保持某種結構信息的變換所組稱的集合，它包含置換群。在幾何上，隻有5種正多麵體。結晶體的組成原子，在空間中組成某種意義下的規則體係。使得離散點係變到自身的運動可分為三類：有一個不動點、有一條不動線、有一個不動平麵；這些變換群的個數分別為65、100、17,共計182個。
電荷 (electric charge) 到底是什麽東西？弦理論從來沒有給出一個量化的表述，用的是規範場論（Gauge theory）。規範就是一個度量係統或者度量設備。規範對稱性指的是不同量規之間的等價性，也就是一套規則；比如規定光子沒有質量，而且它的自旋方向與前進方向一致。電子的規範就是“旋轉”；不是空間裏的那種旋轉，而是量子力學意義上的旋轉：一個額外的維度，形如一個園，正、負電子沿著相反的反向旋轉，這種旋轉就是電荷。
一個物理係統往往用各種作用(action)來表示。一個作用就是一個函數，用來表示係統如何隨時刻變化。單個粒子的作用，可以用動量與位移之積的路徑積分表示；一般數學表示是 S = int(Ldt: t = ti →tf)，L是拉格郎日量，或稱作用密度。需要討論的是，L在哪些變換下保持不變。當變換在每一時空點同時施行，它就有全局對稱性。規範場論要求拉格朗日量也必須有局部對稱性—應該可以在時空的特定區域施行這些對稱變換而不影響到另外一個區域；這個要求是廣義相對論的等效原理的一個推廣。
最早包含規範對稱性的物理理論是James Maxwell的電動力學。在靜態電動力學中，電場E（矢量）是電勢V(標量)的梯度(Gradient)：E = -(Del)V (Del 是梯度算子)。在電磁學中，有另外一個向量勢U, 使得磁場B = (Del) × U (矢量積), E = -(Del)V –(delU)/(delt)，其中del是求偏導數算符。對於任何一個二階連續可微的函數f(P, t)，如果把U換為 U + (Del)f，把V換為V – (delf)/(delt)，場論方程保持不變。也就是說，Maxwell方程具有規範對稱性。
Hilbert假設在一般坐標變換下，作用不變，由此推導出了愛因斯坦的場方程。Herman Weyl試圖統一廣義相對論和電磁學，他猜想尺度（scale）變換下的“不變性”也是廣義相對論的局部對稱性；這解釋了電磁場效應對量子波函數的影響。這是第一個被廣泛接受的規範場論。現在的規範場多用微分幾何的語言來表示。一個規範就是一個主叢(Principal Bundle)的一個局部截麵的選擇；一個規範變換就是兩個截麵之間的變換。變換的表示十分複雜，有仿射表示，非線性表示等。
膜間相互作用的力式，有不有一個量化表示？現在的數學無能為力嗎？各種變換無非都是些符號，寫個函數式總是可能的。可怎麽去捕捉自然力，就不是一隻筆或者一個鍵盤能夠辦得到的了。明白了力與能的互通與轉換，也許能夠幫點忙；但同時也將明白，人決不能夠永遠擁有什麽，隻能旁觀欣賞；沒有千秋萬代，更沒有什麽萬歲萬萬歲。
