歐幾裏德空間

歐氏空間指的是實內積空間，即一個實線性空間（V, R）上，定義了一種內積(u, v): 它滿足三條公理：對稱性（u, v） = (v, u)，線性性（xu + yv, w） = x(u, w) + y(v, w),x, y為任何實數；非負性，(u, u) > 0, 隻有(0, 0) = 0。在n維歐氏空間R^n中，最常用的內積定義是，把各對應分量（坐標）相乘後再相加。有多少種內積定義方式呢？無窮多！

按照非負性，可以定義一個向量的長度：|u| = sqrt(u, u)，再從非負性(xu + v, xu + v) ≥ 0出發，可以用x的二次多項式的判別式，推出Cauchy-Schwarz不等式: (u, v)^2 ≤ (u, u)(v, v)；進而定義兩個向量之間的夾角<u, v> = arccos{(u, v)/|u||v|}。當兩個非零向量的內積為0時，就說它們是互相正交（垂直）的。向量長度也就是一種範數，即向量空間上的一個非負實函數，滿足正定性，|u| > 0，隻有零向量的範數為零；數乘線性性：|ku| = |k||u|；三角不等式：|u + v| ≤ |u| + |v|。在泛函分析中，即是半範數，可以通過凸集來構造；而凸集的個數是連續的。反過來，如果一個範數滿足平行四邊形定理，|u + v|^2 + |u – v|^2 = 2(|u|^2 + |v|^2)，那麽，通過4(u, v)= |u + v|^2 - |u – v|^2也可以定義內積。

有了範數，便可以定義兩個向量之間的距離d(u, v) = |u – v|。按照人類的常識，距離應當滿足三條公理：非負性、對稱性、三角不等式，即d(u, v) ≥ 0且隻有d(u, u) = 0；d(u, v) = d(v, u)；d(u, v) + d(v, w) ≥ d(u, w)。有無窮多的距離函數：如果d(u, v)是一個距離函數，f(r)是一個非負的實函數滿足f(r + s) ≤ f(r) + f(s), f(0) = 0, 那末f(d(u, v)) 也是距離函數。這種函數很多，如r^k, 0 < k < 1。反過來，有了距離函數d(u, v)，如過它還滿足平移不變性：d(u + w, v + w) = d(u, v)，以及數乘線性性：d(ku, kv) = |k|d(u, v)，那麽，也可以通過|u| = d(u, 0)定義範數。

在有限維的歐氏空間中，找出一組基向量{u1, u2, …, un}，其度量矩陣M = ((ui, uj)), i, j = 1, 2, …, n是一個正定矩陣。任意給定兩個向量u = (u1, u2, …, un)X^T，X = (x1, x2, …, xn)，v = (u1, u2, …, un)Y^T，Y = (y1, y2, …, yn)，它們的內積(u, v) = XMY^T = YMX^T。對於另一組基(v1, v2, …, vn) = (u1, u2, …, un)B，B為過渡矩陣，它的度量矩陣為N = B^T M B。特別地，對基底(u1, u2, …, un)施行Gram-Schmidt正交化過程，也就是對M施行一係列的行/列變換：把一些行乘以一個數，加到另一行上，並且同時對列進行，就可以把M化為對角距陣；因為M是正定的，主對角線上的元素都為正。還由於此種行/列變換不改變行列式的值，det(M) 就等於主對角線的各元素之積。由此可知，給定任何一個正定矩陣，就可以定義一種內積。

n維的歐氏空間有標準正交基（orthonormal basis）；這可以從任何一組基出發，經由Gram-Schmidt正交化過程，再把每個向量單位化即可。在標準正交基 {e1, e2, …, en}下，一個向量u的線性表示：u = x1e1 + x2e2 + … + xnen中的係數組 (x1, x2, …, xn)稱為u在此基下的坐標。兩個向量u和v的內積 (u, v)就等於它們的對應坐標相乘再相加：x1y1 + x2y2 + … + xnyn，其中v = y1e1 + y2e2 + … + ynen。u和v之間的距離就是普通的歐氏距離：sqrt[(x1 – y1)^2 + (x2 – y2)^2 + … + (xn – yn)^2]。如果找另一組標準正交基 {f1, f2, …, fn}，它們之間的過渡矩陣必為正交矩陣：(f1, f2, …, fn) = (e1, e2, …, en)B，B*B^T = I, I為n階單位矩陣。兩個向量在不通基底下的坐標可能不一樣，但是它們的內積不變，因此，長度和距離也不變。

在兩個線性空間(V, R)和(W, R)之間，存在著許多變換T: V → W。如果T是雙射（一一對應且為滿射）而且保持線性運算不變：T(xu + yv) = xT(u) + yT(v)對任意實數x, y及任意向量u, v（在空間V中），則兩個空間稱為是同構的（isomorphic）; T 是一個同構映射。可以證明，兩個有限維線性空間同構的充分必要條件是，它們的維數相同。如果不要求T是雙射，隻要求線性性，T就是一個同態(automorphism)。對於一個同態T，它的影像Im(T)是所有向量T(u) （u在V中）的集合；這是W的一個子空間。T的核Ker(T)是V中那些被T映到零向量的那些向量的集合：T(u) = 0；這是V的一個子空間。如果V是有限維的，那麽一定有：dim(Im(T)) + dim(Ker(T)) = dim(V)。

對於一個n維歐氏空間V, 它自身存在著許多線性算子L: V →V，L(xu + yv) = xL(u) + yL(v)。線性算子的表示，完全由它在一個基底下的表示確定：L(u1, u2, …, un) = (u1, u2, …, un)C，C為其矩陣表示。如果u = (u1, u2, …, un)X^T，則L(u) = (u1, u2, …, un)CX^T。如果L保持內積不變：(L(u), L(v)) = (u, v)，就稱其為一個正交變換。因為，當(u1, u2, …, un)為標準正交基時，C是一個正交矩陣。正交矩陣的行列式的值為1或者-1. 當det(C) = 1時，L就是繞零向量（原點）的一個旋轉；當det(C)=-1時，L就是關於一個子空間的鏡麵反射。

對於二維空間裏的旋轉，可以用複數的乘法表出：（x + yi）(cosα + isinα)。在三維空間裏，為了表示繞過原點的直線的旋轉，英國數學家Hamilton,在19世紀發明了四元數；無需矩陣，可以用四元數的乘法表出。四元數也給出了時空裏的事件表示：E = ct + xi + yj + zk；Lorenz變換保持距離函數d = sqrt[ (cΔt)^2 – (Δx)^2 – (Δy)^2 – (Δz)^2]不變。

在二維空間裏，關於直線xsin(β) – ycos(β) = 0的反射公式是：(x, y) → (cos2β)(x, -y) + sin(2β)(y, x)。對應的矩陣表示為(x, y)C，C是一個行列式值為-1的二階正交矩陣。在三維空間裏，子空間是過原點的二維平麵（還有一維直線）；關於這些平麵的反射，很容易用一個行列式值為-1的正交矩陣表出。在一般的n維歐氏空間中，給定一個單位向量e，可以定義一個線性變換R(u) = u – 2(e, u)e。它是一個正交變換，而且在任何一組標準正交基下，它的表示矩陣的行列式的值為-1；也就是一個鏡麵反射。

線性算子具有不變子空間：L(V1) 包含於V1. 由對應於一個特征值的所有特征向量形成的特子空間，自然都是不變子空間。任何線性空間V，都可以分解為L的一些不變子空間的直和。在歐氏空間中，還有一類特殊的線性算子，稱為到子空間的內射影。給定V的一個非平凡子空間V1，它的正交補 (V1)*，是與V1中的所有向量正交的那些向量的集合。正交補也是一個子空間；在三維空間裏，就是過原點的垂直平麵。空間V中的任一向量u都可以唯一地寫成u1 + u2，u1在V1中, u2在正交補中。內射影P(u) = u1；它的表示矩陣是一個奇異的對角矩陣。投影丟失了空間信息；但是，從一個向量到一個子空間的最短距離，必定是那個正交補裏的分量。

在有限維的歐氏空間裏，我們可以展開豐富的分析學：極限的概念導致完備空間，完備內積空間裏的線性泛函，隻能是內積形式。非線性泛函，可以推廣微商的概念，進而有了廣義函數。積分學也可以展開來，但由於同構性，積分的形式都是大同小異。隻有到了連續基數的空間裏，數學手段才顯得無能為力。