分析學科的開篇：微積分

微積分（Calculus），顧名思義，就是微分與積分，代表函數的第七種（Differentiation）和第八種（Integration）運算。前六種運算是：加、減、乘、除、冪、代入（或稱複合），即函數的初等運算。Calculus的意思就是“演算”，比如有命題演算（Proposition Calculus），張量演算（Tensor Calculus）。演算不是代數學幹的事情嗎？還真是有很多人把微積分當成了代數來進行教/學：隻會了那十幾個導函數公式、五條運算法則及三種方法，卻對微積分的根本概念—極限，視若不見，或許根本就是無法理解。

據說是Newton和Leibniz各自獨立地發明了微積分。Newton是從物理量的時間變化率得出了流數的概念；Leibniz則是從幾何圖形的切線斜率導出了微分的概念。兩人都是從Fermat求極值的方法得到了啟發。英、德兩國為此爭論了一百多年：到底是誰先發明了微積分？以致於英國人使用牛頓的流數記號（函數名頭上帶 “點” ），德國人使用Leibniz的微商記號（dy/dx），互不通用達一百多年之久！可惜，都輸給了法國人Lagrange帶撇的記號（y’, y” 等）。

至今，人類對數量的認識經曆了三個飛躍：一是從正數到負數，二是從數值到記號（變量），三是從靜態的量到動態的極限。極限的思想，其實在牛頓-萊布尼茲發明微積分之前就有了。中國古代的《九章算術》裏就說，一尺之長，日取其半，萬世不竭。祖衝之求圓麵積的辦法，用的就是微元法—無限細分再累加，也就是積分。還有不有第四次飛躍呢？量子力學說，一切量都是離散的，世界不是無限可分的！有了量子計算機，你總該信了吧？【可我堅信，第四次飛躍不是關於量的，而是關於神的。】

微積分學處理的是一些性質良好的函數，至少得是分片（段）連續的；再廣一點，按照《實變函數》的說法，不連續點構成的集合的Lebesgue測度必須為0；這是一個函數黎曼可積的充要條件。可微函數的要求就更高了：函數的改變量，不得超過自變量的微小改變的有限倍。幸運的是，人類能夠想到的函數：冪函數、指數函數、對數函數、三角與反三角函數、階乘函數，經過有限次的前六種運算所得到的函數，在它有定義的“開區域“上，都是連續、可微的。如果經過無窮多次六種運算呢？在一定條件下，還是連續甚至可微的。

連續的概念是難以理解的。我們說“一條曲線是連續的”，究竟是何意呢？想像有一條無窮長的直線，設定一個起點0，往一個方向為正，相反方向為負，用一個單位長度去切分它，建立起所謂的“數軸”；所有的“實數”應該與數軸上的點一一對應。假設整數長度的線段都可以被等分成任意有限段，有理數係統就建立起來了；可這遠非數軸上的所有點。人們自然想到了無限逼近: 用有理數列去逼近一條數軸上的所有點；逼近程度的刻劃，使用了代數化的epsilon-N語言，這就引入了 “極限” 的概念。

什麽樣的點列才有極限呢？在《數學分析》中，有八條等價的公理：Dedekind原理、Archimedean原理、Cantor原理（閉區間套定理）、Weierstrass原理（單調有界數列必有極限）、確界原理、Cauchy準則、Bolzano-Weierstrass原理（有界無窮集必有收斂子列）、Heine-Borel定理（有限開覆蓋定理）。在數學家們研究了一般的距離空間之後才發現，這隻不過是完備緊致空間的特例。在《一般集合論》中，可以歸結為選擇公理（Zorn引理），以及等價的歸納原理、良序公理。

數列極限的運算遵循“兩邊夾定理” （squeeze/sandwich theorem）、四則運算法則，還有求0/0型、 型的Stolz定理。從數列極限過渡到函數極限，有Heine定理。函數極限是用epsilon-delta語言定義的；它也滿足四則運算法則、複合函數法則。函數的連續性是一種局部性質，是用極限值等於函數值來定義的；緊致集（閉區間）上的連續函數，具有良好的性質：比如有界、有最大最小值、介值定理。一致收斂性是一種全局性質，它可以保持函數的連續可微性。在《微積分》中，僅從單調有界定理出發，可導出歐拉常數e；再用兩邊夾定理推廣到函數的極限，導出五個基本初等函數的連續性。

兩個變量的相關變化率是一個重要概念，這體現了因果關係變化的快慢（程度）。在現實中，隻有變化率、或者某個高階變化率才能保持穩定；比如，在引力場中，加速度與時刻無關，隻與位移有關；在曲線論中，曲線由曲率（curvature）和擾率（torsion）唯一確定。瞬時變化率被定義為平均變化率的極限，稱為導數、微商或者流數。多個自變量時，先固定其它自變量，再定義“偏導數”。並非所有函數都有導函數，不可求導的點包括：不連續點、尖點、具有垂直切線的點。直觀上看，連續可導就是具有光滑性。多元函數的各階全微分，代表了函數差分的各種程度的逼近。

計算上，從歐拉數e出發，可以求出指數函數、對數函數、冪函數的導函數；至於三角函數的導數，可從正弦函數的定義以及兩邊夾定理導出。按照極限運算的五條法則，初等函數的各階導函數都可以機械化算出。隱函數，在對某個變量的偏導數不為零的條件下，可以局部確定；其導函數可由偏導數表出。行列式的導數，可以逐行（或逐列）求導後相加。無窮級數的導函數，在一致收斂的條件下，可以逐項進行。無窮乘積的導數，可以先取對數化為和式，再求導數。總之，沒有求不出的導函數。

有了導函數，我們能推出五個微分中值定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式。自此，函數的等式關係、單調性、凹凸性就變成了導函數為零、正或負、減與增的判定，證明恒等式、不等式、求極值、求極限、作圖、解方程、近似計算等，就成了一個機械化的過程。

微分的相反運算是積分。給定一個函數f(x)，我們要找另一個原函數F(x), 使其導函數等於f(x)。當f(x)連續或分段連續時，這種原函數存在，而且有無窮多個，它們隻相差一個常數。全體原函數的集合就叫不定積分。不定積分的計算有分項計算公式、分部積分法、換元積分法，分別來自於微分的加法、乘法及鏈式求導法則。然而並不是任何一個初等函數的積分都是初等函數；比如，一個二次三項式 x^p * ( x + a)^q，隻有當p, 或q, 或p + q 為整數時，它的積分才是初等函數。

即使原函數是初等函數，要親手算出來也不是一件容易的事；你可以用計算器，卻領會不到任何積分技巧了。衡量一個人積分技巧的高低，在於“湊微分法”，必須得熟記五個基本初等函數的反導數、微分運算的五條法則，還得對各種函數之間的各種關係式了然於心。如果你懷疑這有什麽用，想想後麵的《微分方程》，《微分幾何》，以及各種分析學科。

練習不定積分的目的是為了做定積分。黎曼積分的定義就是無限細分：分割、取值、作和、取極限；這裏的極限既不是函數極限，也不是數列極限，而是一種“體極限”（我把它叫做body limit;拓撲學中還有更一般的net limit）。極限存在的必要條件是函數有界，充分必要條件是黎曼大和與黎曼小和之差的極限為零。在連續性的條件下，可以推出，變限積分就是一個原函數（微積分第一基本定理），進而得出Newton-Leibniz公式（微積分第二基本定理）。這時，我們才發現，定積分的值就是原函數在兩個端點處的值之差（保守場裏的功能與路徑無關）。在一些積分變換的技巧下，某些原函數為非初等函數的定積分的值也能算出。

其實，我們的學習過程弄反了：人們在提出導數的概念之前，早就有了微元法的思想。對於連續的剛性物體，都是具有可加性的：整體等於各個部分之和；例如，幾何形體的直徑、麵積、體積、角度都是可加的，物理中的矢量、功能、力矩、壓強也都是可加的。計算時，先把它分成微小的部分，在每個微段上，變量可以當作暫時固定不變的（連續假定），從而可以近似求出；然後累加起來，得到整體量的近似值；再想像每個微段縮成一個點，就得出了該量的準確值。微元是黎曼積分的靈魂，也是現在大多數學生的噩夢。

黎曼積分是“豎著相加”，勒貝格（Lebesgue）積分則是“橫向相加”：按照函數值乘以小段的測度再累加；這可以放寬對函數連續性的要求。Stieltjes積分是按照求質量中心用的靜力矩平均導出，Feynman積分則對所有連續曲線求和（複變函數圍道積分的變種）；還有Henstock-Kurzweil積分的delta細分。各種積分形式各異，本質上都是“細分”。目的隻有一個，要數字化表示盡可能多的量。目前，最廣泛的表示是多複變函數的積分。

然而，這還沒有到頂（點）：還沒有一個和式是按“點”相加的，因為沒有了收斂性。我們寫出一個式子，總是希望它具有良好的性質，比如可以逐項求導，或者可以逐項積分（累加），至少也得具有某種穩定性（哪怕是暫時的）。我認為，數學的最終目的是要把和式變成乘積，也就式“分解因式”，因為數學家們的工作就是解方程。所以，我致力於求出黎曼函數的零點，也對質數分布有個了解；也分解了最基本的Bernoulli多項式序列。各種力場的能量譜的分解正在進行時。