數論人生
數論是一門學科，也是我的人生。有人把酒論英雄，我用數字描天下。
在16世紀中葉（1540年代），當意大利數學家們為了解三次方程而引進虛數時，那僅僅是一個記號而已：三次方程的求根公式中，兩個相加的立方根號下，還有一個數加或減一個平方根；隻有平方根下的式子為負數時，三次方程才有三個實數根。那時候的數學家們是不接受虛數的：本來負數就夠讓人無法理解的了—比零還小的數是什麽呢？零不是代表一切都空無嗎？可虛數的出現，促進了人們對負數的接納：那隻不過是表示相反方向的量而已。
在1637年，Descartes使用了“虛數”的概念，以區別於“實數”。許多大數學家，如Leibniz, Euler, 及 de Moivre研究了虛數與三角函數的關係；Euler還用i表示虛數單位（-1的平方根）。1797年，挪威數學家Wessel引進了複平麵，並且用向量來表示複數。緊接著，1806年，Argand把複數表示為模與幅角的三角形式 |z|(cosA + isinA)；1837年，愛爾蘭數學家Hamilton使用實數對（x, y）來表示複數；因此，複平麵就等同於迪卡爾的座標平麵，也與極座標聯係在了一起。曆時近300年，人類才完全理解了虛數的概念。
然而，到了21世紀20年代的今天，這個世界上還是有三分之二以上的人，一輩子都不知道虛數為何物。中學生隻有學IB或AP者，才會接觸到虛數；我曾經問過Princeton大學應用數學專業的一個學生，學過《複變函數論》嗎？沒有。她進入了Wall Street，掙著大錢，這種虛無縹緲的東西與錢數無關。數學理論，那是數學家們的遊戲，所謂認識世界的崇高理想，與普通人的吃喝拉撒無關。
現實世界中用得著虛數嗎？為什麽Schrodinger方程中會出現i? 難道物體的質量可以是虛數？我們知道，自然、社會現象都是周而複始（再帶有一定的振幅），要表示有界函數的周期性，非sin、cos莫屬（所謂的Fourier級數），而正、餘弦函數可以用一個複指數函數表出；振幅可以用指數中的負實部表出。另一方麵，在保守力的作用下，物體的運動軌跡一定是平麵曲線—這也符合最小能量最大空間的原理；平麵上的向量，一個複數就表出了。可以說，物理學比數學更多地用到複數。
在數學中，複數域是完滿的：任何複係數的可數級數，其根（如果有的話）都可以用複數表出。特別地，我們有代數基本定理：任何次數大於或等於1的複係數多項式，必定至少有一個複數根。很多數學家都試圖去證明它，真正正確的證明，是Gauss在1816年給出的；他使用了複變量函數的積分。在複變函數中，亞純函數在一個區域內的零點和極點的個數，可以用其幅角繞行邊界曲線一周的改變量來表出（幅角原理）。這種圍道積分的技巧，是實積分無法比擬的。有了複積分，實函數的黎曼積分隻不過是一個推論。
複變函數f(z)沿著一段曲線的積分是這樣定義的：把曲線段用一些點Z(k)分成許多小段，在每個小段上取一點P(k)，作乘積f(Pk)[Z(k) – Z(k-1)]，對K求和，讓所有的小弧段的長度趨向於零；如果極限存在，其值就叫函數沿此段曲線的積分。可以證明，連續函數在有限長的弧段上一定可積。這裏的兩個複數相減，Z(k) – Z(k-1)，其實就是一個向量：隻不過第二分量帶有i。如果f是保守力，它的方向必定與此向量垂直（從微分的角度），乘積式f(Pk)[Z(k) – Z(k-1)] 反映了保守力所作的功；可如果是用實積分的話，垂直向量的點積為零：這部分能量就被疏忽了。
複積分的計算有線性運算公式、分段計算公式，但沿相反的方向積分時，其值反號。對於解析函數，我們有重要的柯西積分定理：在單連通區域內，積分與路徑無關；或者說，沿任何一條閉曲線的積分為零。這一定理還可推廣到多連通區域。
有了柯西積分定理，就有了柯西積分公式：它把一個解析函數在一個區域內部的值，用區域邊界的圍道積分表示出來；進而，我們能把它展開為冪級數，並容易地寫出它的任意階導數公式。奇妙吧，解析函數的值，完全由其邊界上的值確定！而且，隻要有一階導數，就有無窮階導數！再進一步，我們有了各階導數的估值不等式，並可由此推出劉維爾定理：有界整函數必為常數。據此，很容易地用反證法證明代數基本定理。
複函數的導數與實函數導數的定義一樣，是函數值增量與自變量增量的比值，當自變量增量趨向於零時的極限；隻是這個極限有點像二重極限。此極限存在的必要條件是函數f的實部u和虛部v滿足柯西-黎曼方程；進而導出它們都是調和函數（滿足拉普拉斯方程）；充分條件是實部、虛部均可微，並且滿足柯西-黎曼方程。
在一個區域上可導的函數稱為解析函數。解析函數的求導法則與實函數一樣，有加、減、乘、除及複合函數求導法則。初等函數的導數公式也是類似的；隻是根式函數、對數函數是多值函數，求導時必須指定某一單值分支。解析函數具有很好的幾何性質。導數的模是弧長的伸縮係數，幅角是切線轉過的角度；可以證明，在解析變換下，曲線的角度保持不變。
解析函數還可以展開為冪級數，如果它的n階導數不比n!還大的話。冪級數如果對所有的自變量的值都收斂，那就叫整函數；不然，冪級數就有一個有限的收斂半徑。此半徑等於從圓心到與之最接近的、使得函數不再解析的點（稱為奇點）的距離。奇點有孤立的（又叫極點）與非孤立的。在孤立奇點的鄰域內，函數可以展開為洛朗級數。
在分離出孤立奇點後，解析函數可以延拓到收斂圓之外。這種延拓還是唯一的，因為我們有解析函數的唯一性定理：在一個區域內的兩個解析函數，如果在一條曲線上的取值相同，那麽，它們在整個區域內都相等。僅有孤立奇點的函數叫做亞純函數。這種函數的圍道積分可以用奇點的殘數（Residue)表出，而這些殘數可以用洛朗展式求出。這樣就使得很多積分能夠簡單地算出來。
一個冪級數的零點，便是它的倒數的極點。倒數的冪級數的係數，可以用多項式定理求出；再用收斂半徑的極限公式，就可以求出冪級數的第一個零點。依次類推，就可以推出第二個、第三個；最多再用上待定係數法，就沒有解不出的方程。我就是這麽解決黎曼猜想的。
當n階導數的模遠大於n!時，可以使用gamma函數的積分表達式：在指數函數的指數中，引進變量n的適當冪次，比如，黎曼zeta函數的開拓隻要到二次冪即可。更大的函數，就要使用無窮乘積、或者先取對數了；這正是數學的本來目的：解方程，得出一個具有某種收斂意義的解；如果不考慮收斂性的話，任何現象都是可以量化的—如果你會使用複數的話。
謝謝回複。
是否 F（z）=F（cosx+isinx） 這種複變函數才有實際運用的意義？
謝謝