數論學科簡介

數論（Number theory），是純數學的一個分支。數論的研究對象是整數以及算術函數（以正整數為自變量）；舊時代稱為算術或者高等算術，二十世紀初改稱為數論。高斯說，數論是數學的皇後（the queen of mathematics），而數學則是科學的皇後。外行們聽到Number Theory，總會誤以為是Theory of Numbers；可後者所指的，差不多是整個數學了。另一個著名調侃是，數論是這樣一門學科：在其中，一個傻瓜都可以提出一個問題，讓一千個聰明人都回答不了！

大眾能說得上的數論難題有：哥德巴赫猜想，費爾馬大定理，黎曼猜想，abc猜想，華林問題（Waring’s Problem），孿生素數問題，離散對數問題，超越數的判定，等等。有很多本書，都致力於去列舉數論中未解決的問題；當然，不定方程是永遠列不盡的。整數不是最簡單的嗎，為什麽有那麽多解決不了難題？

首先，質數沒有確定的表示式：它的定義本身就聲明，不能在整數範圍內分解。人們判定一個數是不是質數，基本的辦法隻有用比它小的數去除，看看是否除得盡。Wilson定理簡捷明了，可是階乘太大，實際上無法計算。最原始的Eratosthenes 篩法，要把從1到N的正整數全部列出來，再劃掉上次剩下那個數的所有倍數；現代數論學家們研究 “1+2”、“2+3”等的辦法，也是基於同樣的辦法，隻不過是用某個“篩函數”表示而已；不幸的是，這個辦法解決不了“1+1”，或算術序列中質數的分布問題。

在《初等數論》中，研究整除性的手段隻有同餘式。盡管在中國古代的《孫子兵法》中就有了孫子點兵、後來被稱為《中國剩餘定理》的算法，正式的模運算還是高斯在1801年（他24歲時）發表的《Disquisitiones Arithmeticae》中引入的。有此，線性不定方程的求解便是小事一樁了；單變量的多項式同餘式，也可以按部就班地加以解決：這對於有理係數的多項式的根，提供了某種驗證方法。隻要采用p-adic數域裏的收斂辦法，也可以說，有理係數多項式的求根問題解決了。

不定方程整數解的存在性，可以用它的解數來估計：解數大於0，不就是有解了嗎？方程 E(x, y, …) = n (n 正整數) 可以用函數Exp（2πi t (E – n)））對t在【0， 1】區間上的積分來表示: 積分為1的就是解，積分為0的不是解。對所有的整變量x, y, …在某個有限範圍內求和，就得出了解數的表達式；於是，就有Hardy-Little wood的圓法。其本質是用有理數a/q去逼近t；對有的q值，三角和的模比較小，可以當成“劣弧”而計入次項；主項則來自於較小的q值。據此方法，前蘇聯數學家們解決了三素數定理（即“1 + 1 + 1”問題）；華林問題也得以解決。

另一方麵，為了解決Fermat大定理，發展出了《代數數論》。為了證明方程x^n + y^n = Z^n，n > 2, 沒有正整數解，對於n=4的情況，Fermat證明的是x^4 – y^4 = z^2沒有整整數解；從而，對n為2的冪次時，沒有整數解。對於其它的n, 隻要證明n 為質數的情況即可。聯想到勾股數是通過平方差公式、由因式分解得出的，對一般的n次冪之差，也可以分解因數；隻是這時出現了單位代數整數，在代數整數環中的因式分解可以進行嗎？Kummer為此引進了理想數，也就是一些代數整數的線性組合構成的集合。有了主理想和素理想，因式分解成立而且唯一。數學家們還導出理想數類、及其類數公式；Fermat方程對於一些特定的質數n也得到了解決。

Fermat大定理的最終解決，還得依靠橢圓曲線和模形式。1986年，格哈德·弗賴（Gerhard Frey）提出了一個猜想：如果費馬大定理是錯的，則橢圓曲線 y^2 = x(x – a^n)(x + b^n) 會是穀山-誌村猜想的一個反例。1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor在一特例範圍內證明了穀山-誌村猜想，弗賴的橢圓曲線剛好在這一特例範圍內，從而證明了費馬大定理。

橢圓曲線指的是方程y^2 = P(x)，其中P（x）是x 的一個三次多項式。一組m個變量的多項式在某個擴張域K上的全部解，構成K^m的一個子集；把它們按照模p^r同餘計數，再構造指數型的生成函數—即Zeta函數Exp(), 可以表示為t的二次有理函數，模運算下的解數問題便解決了。這些Zeta函數，還可以按照主理想分解成因式; 把所有這些函數對所有質數p乘起來、取t為p^(-s)，然後去除兩個Riemann-Zeta函數，就得到了Hasse-Weil的L函數，以此便知橢圓曲線在所有有限域上的解數。

這些構造出來的zeta函數，都滿足特定的函數方程：由此導致了模形式的一般定義；而模形式還隻是一種特殊的自守形式。模形式的Fourier級數展開，就得到q級數；最基本的Eta函數，在整數分拆的計數中必不可少；theta函數，在把正整數表為平方和時，起著主導作用；也是Riemann Zeta函數解析延拓的收斂因子。Weierstrass購造的Phi函數--一類特殊的橢圓函數—複平麵上的雙周期亞純函數，其導數就滿足橢圓曲線的方程。Eisenstein級數就是因數函數的生成級數。

模形式本來是複變函數論的研究對象，但它的展開係數很適合表示積性算術函數；指數型的Zeta函數又非常適用於加性算術函數，所以也就成了數論研究的工具了。基於黎曼zeta函數與質數的聯係，若能得出它的因式分解，質數分布的精確表達式就有了。一些五次方程的解，也可以用橢圓函數表示；模形式還可以用於代數拓撲、物理中的超級弦論等。

在《數的幾何》中，我們要估計幾何形體中的格點數目。為此要用上高維體積、各種不等式、實數的有理逼近、實函數小數部分的分布；結果可用於代數數論中有關基數的估計、複變函數的階的估計、丟番圖逼近等。正如物理中的不確定性準則，任何估計都不可能準確。數論學科的難處在於，沒有積性和與加性積的轉化機製；歸根結底就是，運算自由與收斂性之間的矛盾不可調和。

[GG_LaoXiu]

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對了，有空評述一下Collatz （3+1）問題？謝謝