數論人生
數論是一門學科，也是我的人生。有人把酒論英雄，我用數字描天下。
在天文學中，有一個N體問題：一個星係內的各個天體，在引力作用下，是如何運動的？兩個天體的相對運動是容易確定的：把牛頓的萬有引力定律代入到牛頓第二定律中，解一個矢量微分方程，用上角動量守恒定律，橢圓軌道立刻展現在眼前。開普勒的另外兩個定律，通過積分的計算，也可以很快推出。可惜的是，這解釋不了橢圓軌道隨著時間的偏移：萬有引力的公式中，那距離是周期性地依賴於時間的，這就是愛因斯坦廣義相對論的觀點。可那個常數項，加還是不加呢？這可不是由一個人一時興起、一拍腦袋就行的，而是要按照基本公設去推算的！
一般地，考慮N個物體在一般的k維空間中的運動情況。設第i個物體（質量mi）的位置函數為ri(t) = (pi1(t), pi2(t), …, pik(t))，加速度為ai(t)；第j個物體對它的作用力為Fij(t) = mimj (K1 + K2/d^3)(rj – ri), 其中K1, K2是空間常數，可正可負；d是兩個質點之間的距離，也就是|rj – ri| 第i個質點所受到的合力為Fi = ?Fij。按照牛頓第二定律可得，
ai(t) = sigma {mj (K1 + K2/d^3) (rj – ri): j = 1, 2, …, N, j ‡ i}。
- 如果考慮相對運動，距離函數d還需要增加一個伸縮因子；
- 如果物體帶電，力式中還要加上Lorentz力。
方程還不夠。如果是一個質量係統，那麽它的質心的運動也要滿足牛頓第二定律；如果係統還是孤立的，則合外力為零。如果是一個電量係統，那麽電量分布的中心也滿足牛二。如果是一個隨機係統，則位置函數不是確定的；需要用概律密度來表示每個物體落在每個點的概率：這要用到概率的三公理去寫方程。
這一組矢量微分方程組的求解是很困難的。我們可以用能量方法，或者叫做Hamilton方法，去推導各位置函數應當滿足的方程。
先假設係統是保守的，即不考慮外界的非保守力；而且假設各個粒子的時係同為t(不考慮相對性)。第i個粒子在空間中的位置，需要三個參數來確定：在Cartesian座標下，可以表示為{xi(t), yi(t), zi(t)}, I = 1, …, N。每個粒子都具有動能、勢能。動能由自身質量及速度確定，是{x’(t), y’(t), z’(t)} 的函數。整個係統的機械能E，等於各個粒子的機械能之和：
E = K(x1’(t), y1’(t), z1’(t), …. ) – U(x1(t), y1(t), z1(t), …, )。U為勢函數。
此式稱為係統的Lagrangian（拉格郎日算符）L。如果對位置分量的三個方向不加區分，可以寫為
L = K(v1(t), v2(t), …., vn(t)) – U(x1, x2, …, xn)，其中，vi(t) = xi’(t), i = 1, 2, … n = 3N。
我們有Lagrange方程：d(delL/delvi)/dt = del(L)/del(xi). 這可以用不同方法來證明。
一是用牛頓第二定律。由mi yi’ = Fi，左邊就是動量對時間的變化律：dπi/dt，而πi = del(K)/del(vi)= del(L)/del(vi), 因為U與vi無關。因為Fi是保守力，按照勢函數的定義，可知Fi = - del(U)/del(xi) =del(L)/del(xi) . 方程成立。
另一個方法是使用變分法。變分就是差分的一階近似值，也就是微分。對於一個給定的泛函f(x, x’, t)，它在時間【t1, t2】上的作用(action)是它對時間的積分： S = ∫{f(x, x’, t)dt: t1 ≤ t ≤ t2}。此作用稱為穩態（stationary）的，如果當x出現微小改變時，x → x + δX，S的改變量也很微小，或者其變分為0：delta(S) = ∫{f(x + δx, x’ + δx’, t) – f(x, x’, t)}dt 的一階近似值為：δS = ∫{delf/delx *delta(x) + delf/delx' delta(x')}dt=
= ∫{del(f)/delx - d(delf/delx')/dt}delta(x)dt +? ,
因為積分路徑的起點與終點是固定的，第二項為0. 要使δS為0，當且僅當
del(f)/del(x) - d(delf/delx')/dt= 0.
對f = L(x, x’, t) 應用上述結論，就得到了Lagrange方程。
在Lagrange方程中，可以作任意的連續座標變換，其形式保持不變：
令qj = fj(x1, x2, …, xn, t), j = 1, 2, …, n，使它有連續的偏導數、而且是一對一的；其逆變換為 xi = gi(q1, q2, …, qn, t), i = 1, 2, …, n。則我們有
d(delL/del(qi') = del(L)/del(qi) * dt 對所有 i = 1, 2, …, n。
計算拉格郎日算符的微分可得：dL = sigma{del(L)/del(xi) * dxi + del(L)/del(vi) * d(vi)} + del(L)/delt * dt, 因為，在一般情形，L可能還依賴於時間。
dL = dsigma{vi * del(L)/del(vi)} + del(L)/delt * dt .
Hamilton引進算符H = sigma{vi * del(L)/del(vi)} – L，則
dH/dt = -del(L)/delt ，這就是Hamilton方程。它表明，H守恒，當且僅當，L不顯式依賴於時刻t.
在把力式轉換為能量式後，力的方向信息就丟失了。前麵說過，能量隻是力沿著切線方向的環流量，為了確定位置信息，我們還要考慮沿法向的通量：這可以用角動量（angular momentum），和軌道阻滯（orbital resistantance）的方程來表示。這些方程的表示方法，我目前還在蘊量當中；一旦完程，力學和電磁學就統一起來了。
