數論人生
數論是一門學科，也是我的人生。有人把酒論英雄，我用數字描天下。
力學研究物體的運動方式以及原因。運動指的是空間位置的改變，物體本身沒有變形或者變質。為了描述其運動，我們首先需要一個位置函數r(t)，與時刻t有關，還與空間的維度有關。人類能夠看見的空間，隻有三維及以下的二維、一維（位置點是零維）。在數學上，三維以上的可數空間，任一位置可以用一個可數數列表示：r(t) = {xi(t): i = 1, 2, …, }。維數為不可數的有序空間，位置函數可以用一個下標的有序集表示：r(t) = {xi(t): i 
= I}。對於兩個不同時係裏的觀察者而言，位置函數的表示並不一致；但是可以通過某種連續變換來互通：這是時間與空間的分離性與連續性的統一原理，是時空觀、運動學的第一基本公設。其次需要定義兩個位置A與B之間的空間距離。在物理中采用的都是歐氏距離（歐幾裏得空間）；在數學中，距離隻是一個滿足正定性、對稱性、三角不等式的一個二元實函數。
在三維空間裏，我先把物體看成是集中在質量中心的一個質點，有質量m, 沒有大小，也沒有內部結構。其位置函數r(t)，可以用Descartes座標表出：r(t) = {x(t), y(t), z(t)}，其中每個座標都是時刻t的實函數。它的一階變化率被稱為速度（velocity）v(t) = r’(t) = {x’(t), y’(t), z’(t)}; 二階變化率是加速度（acceleration），三階變化率是加加速度(jerk)；再往上還有jounce(Snap),等等。變化率沒有止境，勻速運動、勻加速運動隻不過是近似化的理想情形。學校物理老師要你背的Big Five或者Big Eight，隻是r(t)的Taylor展開式的特例：r(t) = ?{an(t0) (t – t0)^n/n!: n = 0, 1, 2, …}。如果你會計算導數和積分，那就隻有一個公式，其它都是定義。
對同一空間、另一時係s裏的光測者（用光線去測量空間距離），當他以相對於時係t為速度v運動時，對於時係t裏的兩個位置A和B，位移AB沿著v方向的分量，應當縮短了一個因子k。【這是運動學的第二基本公設】。愛因斯坦的偉大貢獻就是，確定了這個因子的值為k = sqrt(1 – v^2/c^2)，其中c是光速。由此便可以推導出Lorentz座標變換公式。一般的數學變換可以表示為，從時空（R，t）到時空（S，s）的一個連續、可逆的映射：
（x(t), y(t), z(t), ct）→ (u(s), v(s), w(s), cs)。這裏假設光速的大小在同一空間裏保持不變。
更具體地，u = u(x, y, z, t), v = v(x, y, z, t), w = w(x, y, z, t), s = s(x, y, z, t)，具有連續的偏導數，且在任一點處的Jacobi行列式不為零。在第二公設之下，可以確定k與c, v的關係。
物體運動的原因是力；力學的一個主要目的是找出力式的表達式。在物理學中，力並不是一個基本量（7個基本量是：距離、時間、質量、電量、光量、溫度和數量）。力不是簡單的一推或者一拉，學術定義是兩個自然物體之間的相互吸引或者排斥、有主觀意識的物體之間的蓄意一推或一拉。前者叫作自然力，後者叫做應用力。自然物都分陰陽二屬性（造物主的故意？），異性相吸，同性相斥；也有例外，或者程度差別。力是一個矢量：有大小、有方向。方向沿著兩個物體的質量中心的連線；按照相吸還是相斥，確定指向是向內還是向外。牛頓的第三運動定律指明，兩個物體的作用是相互的：A對B的作用，與B對A的作用，方向相反，大小相等。這應當是力學的第三基本公設。
如何確定力的大小？我隻需要一個比較的標準。一個英國國王可以把自己的足長叫做一英尺，我也可以把我自己對某物的某一推、或者我對某個異性的吸引，叫做一歐子。怎麽定量呢？我們需要力學的第四基本公設--虎克（Hooke）定律，用力所引起的位移大小來衡量：位移的大小應當與所用力的大小成正比：|?r| = b|F|。這很容易用一根彈簧來驗證，隻是比例係數因彈簧而異。按照彈簧力與拉力是一對作用與反作用力，上式可表為：Fs = - k ?r，k就稱為彈簧的彈性係數。我可以找一段鐵製彈簧，把它拉長一厘米所用力的大小，就叫做1虎克。
虎克定律的另一個表現形式是，壓強與密度的關係。壓強是一個物體（如一段園柱形的均勻樹幹）的表麵，單位麵積上所受的力；密度是單位體積的質量。實驗表明，密度的改變量?ρ，與壓強的改變量?p成正比，與原有密度成正比：?ρ = − B ρ ?p；比例係數B隻與物體本身的材料、結構有關，B的倒數叫作Bulk 模。這是虎克定律的微分形式。
力學的第五個基本公設是牛頓第二定律：加速度與合外力成正比，與自身質量成反比；即a = KF/m。至於比例係數呢，牛頓說了，隻要以他的名字作為力的單位，那麽，比例係數就是1；這就叫做Newtonian Scale. 至於它與各種彈簧的比例係數的關係呢，沒人關心 （這兩個定律的形式一致性，在理想彈簧的情形下，是需要驗證的）。兩個人倒是為了爭辯誰先發現了萬有引力定律，數十年不罷休。其實，萬有引力定律，可以從向量加法原理、通過解積分方程得出。
我承認，力會引起速度的改變，而不僅僅是位置的改變。在F = ma中，因為a = dv/dt，我定義π = mv，稱其為動量，則有F = dπ/dt，或者 dπ = Fdt，右邊的Fdt稱為衝量。兩邊同時沿某時間路徑積分，可得：?π = ∫Fdt; 這就是動量與衝量的關係定理：動量的改變量等於總衝量。如果合力為零，則動量守恒。這是牛頓第一定律所揭示的理想情形。
當時刻改變時，位置自然改變；除非dv = 0，亦即a = 0。有淨力存在時，它對位置的改變又如何在數量上體現呢？我引進功 (Work) 的概念。一個力F 沿著空間中某條路徑（曲線）C，從點A走到點B，所作功的大小為
W = ∫{F * dr: r C: A → B}. 其中*是兩個矢量的標量積。
如果F是合力（所有作用力相加的結果），那麽，F = m dv/dt, F*dr = m dv * dr/dt = m dv * v, 積分可得W = ½ m (v^2(B) – v^2(A))。把1/2 m v^2叫作物體m的動能K，就是說，合外力所作的功，等於動能的改變量：W = ?K。此即功能定理，牛頓第二定律的標量表示形式，方向信息全部遺失。
我把F分成兩部分來考慮：一部分FC，被稱為保守力，其路徑積分與過程無關：存在一個勢函數U（r），使得 ∫{FC * dr: r C: A → B} = U(B) – U(A)。FC為保守力的充要條件是其旋度（Curl）處處為零。四種自然力都是保守力。第二部分FD，可視作外界幹擾力、是不可控的，其路徑積分與過程有關，結果可以叫作熵（某種混亂程度的衡量）。現把K(r) – U(r) 叫作物體的機械能E(r)，上述結論可以說成，機械能的改變量?E 等於熵。如果沒有非保守力，或者FD與路徑永遠垂直，則有機械能的守恒定理。
功隻是力沿著曲線（路徑）的切線方向的環流量，還需要考慮通量：力在曲線的法平麵上的分布情況。法平麵的法向n，與π平行；再引進一個矢量r × π = L(叫做角動量), 構成一個座標架（類似於Frenet座標架），可以完整確定路徑的狀況：L和r可以確定整個法平麵。位置函數r 與 F 的矢量積，r × F, 叫做F的扭矩（torque），記作τ。如果F是合力，則有
τ = r × ma = r × dπ/dt = d(r × π)/dt – dr/dt × π；第二項為0，因為dr/dt即是v，與π平行。
因此，τ = dL/dt，這是牛頓第二定律的角動量表示形式。
兩邊同時沿某時間路徑積分，可得：?L = ∫τdt; 即角動量的改變量等於總的轉量（我把τdt叫做轉量）。如果合力F總是與位置函數r平行的話，扭矩恒為零，因此角動量守恒，即與時刻無關。
我再把合力F按照兩個方向分解：Fr與r平行，Fs在與 r 垂直的、也就是由L和π確定的平麵裏；扭矩τ = r × Fs: 如果能夠證明保守力FC是與r平行的（至少四種自然力都是如此），那麽非保守力就可以歸於到Fs之中。因此，通過角動量的改變量，解積分方程，可以解出扭矩，進而確定Fs。現實中的摩擦力、媒介阻力正是如此，其表達式是可以確定的。
回到萬有引力。在任何一個質量體的周圍，形成了一個引力場Y：其它質量體都會感覺到一個被吸引的力；這是由於物要成體的本性決定的：沒有凝聚力，根本就不能成形、成體，這是我的第六個基本公設：引力的大小，與二物體的質量成比，與距離的某個次冪成比例。根據矢量的加法原理，通過解集分方程，可以確定那個次冪等於1或者負2；比例係數靠試驗確定。有此，便可確定脫離一個引力場的初始速度，與其質量/直徑的平方根成正比。當質量/直徑的值大於一個定值時，無質量的電磁波也不能逃離，該物體就成了一個黑洞。
一個高密質量體內的粒子（組成成分），總是在運動著，因為內部凝聚力，免不了相互碰撞；這些成員的快速運動，會在周圍產生一個阻滯場R（正如電場產生磁場一樣）。這是我的第七基本公設：為了形體的暫時穩定性。場強R可以仿照磁場寫出。Y與R的矢量積，Y × R，代表了引力波。這與由牛頓第二定律和虎克定律共同推導出來的機械波，還有Louis de Broglie杜撰的物質波相一致。
至此，人類認識了四種波。如果能夠檢測導新的力量，比如由暗能量通過扭矩確定的非保守力，人類還會有第五種、第六種波，而我還要提出第八條、第九條公設：理應如此的，因為天有九重。總而言之，力與能及熵是等價的、可以在數量上進行互換。這就是我的力學觀。
