電磁學原理

電，其實就是一種能量。電源，就是能夠讓帶電粒子流動起來的設備，或者說，能夠分離出自由電子的手段。人類最早接觸的是雷電，後來發明了電池。現在的熱能、核能、水力、風力、壓力發電，都是基於Faraday的電磁感應定律。怎麽來衡量電能的大小呢？1度電到底是多少？1個千瓦小時。

在電磁學中，研究的對象是帶有電荷的粒子。電荷是看不見、摸不著的東西，正像能量一樣；攜帶電荷的基本粒子有質子p（還有原子核中幾百種短命的粒子），帶一個正電荷，電子（還有兩種短命的Muon和taon），帶一個負電荷。至於誇克所帶的分數電荷，物理學家們後悔沒有把電子改叫為三個負電荷。其實呢，單個的電子是看不見的，即使有顯微鏡也不行，更別說誇克了。我們隻是從宏觀上來看就好了：有額外電子的原子或分子帶負電（Anion），失去了電子的原子或分子帶正電（Cation）。同性電荷相互排斥，異性電荷相互吸引。隻要有一個通道（一根導線、一個外部電場），自由電子們就會向著少有電子的地方遊過去。電量q是一個基本量，單位是庫倫（Coulomb）；1個庫倫（C）大約是10^19/1.6022 個電子所攜帶的電量. 在一個電路中，流過的電量關於時間的變化律就是電流i。

電學的公理就是庫倫（Coulomb）定律，它決定了電荷之間的作用方式：在有電荷存在的地方，就有電場；其它電荷會感受到一個力。一個單位電荷（1 Coulomb）所感受到的力，就稱為該電場的強度E。E是一個保守矢量場：在場中的任何兩點A、B，E沿著任何路徑的環流量（Circulation）與路徑無關；這個值就是兩點之間的電勢差?U，單位是伏特 (Voltage)；也就是電場力對單位電荷所做的功。當一個電量為Q的物體從A走到B時，電場E對它作的功為Q?U。功率是消耗能量的快慢：P = dw/dt, 電能W = q ?U, 電功率P = i ?U.

電與磁永不分離。磁場是由流動的電荷產生、用來阻滯電流變化的一個感應場；磁場強度由Biot-Savart定律確定：B = Kidl× r/r^3, K為介電常數，i為電流強度，dl為導線的長度微元，r是從dl到測試點的位移向量。這是電磁學的第二個公理，還可以表示為點電荷的形式，或者連續電荷分布下的各種積分形式。一個帶電體Q，在一個電磁場中所受的力，由Lorentz公式給出：F = QE + Qv ×B；其運動軌跡依然由牛頓第二定律確定。

電磁學的第三個公理是，Faraday的電磁感應定律。Faraday做過實驗，當一塊磁鐵與一個線圈發生相對運動時，線圈中會產生一個感應電流，其強度與磁通量的時間變化律成正比，也與線圈匝數成正比；電流的方向由Lenz定律確定（不能違反能量守恒定律）。表現為電勢差ε, 數學公式就是，ε = -kNdΦ/dt，其中負號表示感應電流的方向與磁通量的增量相反；k為比例常數，按照Faraday的尺度，k=1。或者要使得此式在Galilean變換下不變，k的值應當取1。

Faraday的鐵圈實驗也顯示了同樣的結果：在一個鐵圈的兩端繞上兩圈電線，其中一圈通上電，並且讓其強度i變化，這就產生了一個變化的磁場B；穿過鐵圈的磁通量發生變化，另一個線圈裏也就出現了感應電流j；j又會促生一個磁場H，用以對抗B的通量變化；H端還會有一個電勢差，它與B端的電勢差之比，等於兩端線圈匝數之比，這正是Faraday定律。唯有如此，兩端的功率才能相等，不至於違反能量守恒。這就是變壓器的工作原理。

一個矢量場F流過一個封閉曲麵的淨通量，按照高斯定律—曲麵積分與三重積分的關係定理，等於其散度的三重積分.散度就是梯度算符與矢量的標量積，也就是場對於空間位置的變化率。電場的散度，與該點處的電量密度成正比：這就是電場的高斯定律。磁場的散度恒為0：這也可以理解為磁場是二極的，它經過任何封閉曲麵的淨通量為0。

一個矢量場F對它物沿某條路徑所作的功，就是它的環流量，按照Stokes定理來計算：—個矢量場F沿著一條閉曲線的第二類曲線積分，等於它的旋度(Curl)在所包圍的一塊曲麵上的第二類曲麵積分。對於一個電場E，和它所滋生的場B，寫出來就是 × E = - dB/dt, Faraday定律。對於一個磁場B，和它所滋生的電場E，寫出來就是Maxwell的方程： × B = μJ + μεdE/dt。將互生的E與B作矢量積E × B，就得到了電磁波：可見光是其中一種。

 

學習電磁學的另一個目的是理解、設計電路。一個電路，就是由電源、導線、電阻器、電容器、電感器組成的一個回路。具有導電功能的設備都是電阻器；導電能力的衡量標準是，以1個伏特的電源電壓，它能允許電荷多快通過：這個數值的倒數就叫電阻，單位是歐姆（Ω）。Ohm定律說，電流與電勢差成正比：I = V/R，R為電阻值；它消耗的功率是 P = IV = RI^2。

電容器可以存儲電荷，存滿後會自動斷開。存儲能力以單位電壓能存儲多少電量來衡量：C = ?Q/?U，單位就叫F(Faraday)；它存儲的瞬時電能為?W = Q ?U = Q?Q/C, 存儲瞬時功率P = QI/C，存儲總能量Q^2/2C。

電感器就是一塊磁鐵繞上一個線圈。當線圈通電時，磁場的作用可以阻止電流變化太快。它的阻滯能力是，單位電壓下，引起多大的電流變化率，的負倒數：L = - ?U/（di/dt）。它的瞬時功率是P = |i?U| = L|idi/dt|，消耗/存儲的能量為 Li^2/2。

寫電路方程的唯一方法是，在任何一個閉合回路中，電源提供的功率，等於各種用電器（包括導線）消耗的功率；這就是電能守恒。遇到並聯電路時，還需要用上電量守恒定律。寫出來的，都是二階常微分方程，普通的高中生是不會解的。如果用Kirchhoff定律去寫，電勢差的符號會把人搞得暈頭轉向。