七仙女數

這是1997年AHSME （American High School Mathematics Examination, AMC的前身）中的第29題：把一個實數稱之為特別的，如果它的十進製小數表示中僅有數字0和7；比如，700/99 = 7.070707… 和 77.07 都是特別數 （我把它們叫七仙女數）。請把1寫成最少n個特別數之和。n之值為多少？或許不存在。

這道題引起了我的興趣，因為乍一看，你根本就不知道如何下手：列方程，未知數都不知道怎麽設；猜猜試試，也不知道從哪裏開始。還好，我有絕招：按位相加！也就是最原始的豎式相加帶進位，不過你得從最左邊開始。

設各特別數的十分位（小數點後第一位）上有a個7，來自百分位的進位為c；則有

7a + c = 10。最小解為a = 1, c = 3。

設百分位上有b個7, 來自千分位的進位是d；則有方程

7b + d = 30。最小解為b = 4, d = 2。

設千分位上有e個7, 來自萬分位的進位是f； 則有方程

7e + f = 20。最小解為e = 2, f = 6. 如此循環。

下一個方程：7x + y = 60，最小解x = 8, y = 4；

再下一個：7x + y = 40, 最小解x = 5, y = 5；

再下一個：7x + y = 50, 最小解x = 7, y = 1。

下一個就循環了：7x + y = 10。

過程中出現的最大x值為8, 所以，1可以寫成8個特別數之和。

 

題解完了，不禁想說，我真聰明！不過，你能推廣嗎？想出一些其他的特別數嗎？

我想起了古希臘人，總是把任何一個正有理數表示為一些不同自然數的倒數之和。比如，1 = ½ + 1/5 + 1/8 + 1/11 + 1/20 + 1/41 + 1/110 + 1/1640；這裏的分母都來自一個公差為3首項是2的等差數列。可以證明，有無窮多種表示法，而且，項數至少是8.

CIMC也出過類似的問題：2013年的Part A 第六題, 要你把1 寫為 ½ + 1/3 + 1/7 + 1/x + 1/y + 1/z，而且x, y, z必須在1000到2000之間。你很難通過解方程得到答案，隻能按照問題的提示，做分數的分拆，才能很快得到答案。

 

如果能夠通過嚐試解決一個問題，問出一大堆類似的問題，讓別人去絞盡腦汁，那就說明你具有科研、創新能力了。