怎樣解題

說起怎樣解題，人們自然想到美國數學家G. Polya的名著《How To Solve It》。該書出版於1950年代，被翻譯成了多種語言的文本，是許多學生、學者學習的經典。波利亞為解題步驟列了一個詳細的表格，對學生給予順其自然的指導，既杜絕生搬硬套，又啟發獨立思考，真可謂是大功一件。現在的老師們更是獨到，總結成了一片小草（Grass）。我就用一篇短短的博文，來說說自己的觀點，該怎樣解題。

波利亞的四個步驟是：弄清問題、擬定計劃、實現計劃、回顧問題。GRASS說的是，給定條件（what is Given？）；要求什麽（What is Required?）；分析問題（Analyze）；解決問題（Solve）；總結求解過程（Statement）。弄清問題、或者已知條件是容易做到的，隻需要相關的知識點；回顧或總結，需要的是耐心。難在分析問題或擬定計劃，也就是該怎麽著手。

解答數學問題的策略有十幾個。1. 符號化：畫個圖，列個表；2. 套公式：回想一下相關的定理、定律；3. 簡單化：先解決個簡單問題試試；4. 找規律；5. 歸納法；6. 假設法：自己提出一個相關假設；7. 倒著來（Work Backwards）：從結論推到已知；8. 回到定義去；9. 聯想法：想想類似的問題或情形；10. 暫時放下，等待奇跡在潛意識中出現；等等。

實現計劃在數學中就是列式、計算。計算相對簡單；可怎麽列式，對數學家來們說是小菜一碟；可對中小學師生們來說，可是難事一件。根據已有的定理、定律，照搬不就好了嗎？可那麽多的定理定律，誰又能記得呢？想去搜索一下，可是連名字都不知道，搜什麽呢？其實，隻要掌握一句話就可以了：用兩種不同的方法去表示同一個量。物理學家們列方程的唯一出發點，就是量的守恒。這個量，一般是與問題相關的；如果你能杜撰一個不相關的量，又把問題解決了，那麽，恭喜你，你已經超過你的所有老師了。

怎麽來解方程呢？數學、物理已經把所有已知的方程分了類，而且大多數都給出了解法；你隻要搜一下即可。遇到沒有解的方程時，那也隻是在一定數域之內；在複數域內，所有多項式方程都是有解的；盡管沒有根式表達式，還是有級數數表達式。再複雜的偏微分方程，它的所有解，都是可以表出的。

題解完了，可目的是什麽呢？僅僅是完成了老師布置的一份作業？練習題無窮多，是永遠做不完的。解一道題的收獲，應該是自己學到了一種方法，智力得到了一次檢驗，自信又增加了一分；即使一時沒有解出，留在那裏，做個念想，笑談人生，快樂依然不會減輕。