從最新AMC8看和學校代數的關係

之前寫過一篇短文：AMC8和SAT的關係，把AMC8和SAT重疊的地方挑了兩個地方，講了一下。今天有空，再挑兩個有關AMC8和美國初高中的代數的關係挑兩道題目講一講。我一直說，AMC8屬於入門級的數學競賽，隻要對數學不反感的學生，都應該學一下，因為AMC8和學校數學關係還比較密切，對學校的數學學習有很好的輔助作用。等上升到了AMC10/12，路子就完全不一樣了，對數學感興趣的學生才有會有這個興趣去學。

先說代數，主要是指代數一和代數二。兩者的區別主要是一條線打不打彎。在代數一裏麵，兩個變量的關係是直線關係，比如 y = kx。比如距離，速度和時間的關係，如果一個人每小時走5公裏，那2小時就走10公裏。太多低年級的學生會計算寫成了數字的數學等式，但不會把文字題轉換成等式，因為他們搞不清哪一個算是x，哪一個該作為y，哪一個該作為斜率k。在這部分學生心裏，那些數字都是沒有意義的不帶單位的數字而已。如果你問他像前麵的非常簡單的5x2=10的例子，幾乎沒有學生會搞錯。但是如果你改一種說法，開始說速度是10公裏/小時，走兩小時，走了多少公裏？這時候就開始會有一小部分學生由於前麵一題的印象，會直接回答你走了5公裏而不是20公裏。他沒有注意到這幾個量分別對應的是直線關係中x,y和k的哪一個。如果你說一個人2小時能走10公裏，現在這個人走路的速度減慢了1公裏/小時，那他兩小時能走多少距離？更多的學生就會開始回答走了9公裏而不是8公裏。前麵這個關係中是沒有注意到，這道題目中他是搞不清。如果你用一些稍微複雜一點不是整數，不能一眼看出計算結果的數字，錯誤率會高一些。如果你用字母代替，那錯誤率更高。因為在學生們的心目中，他記憶的是算術中的數字乘除，隻是去回憶似乎是兩個數字的乘除。如果兩個整數的話，就比較容易看出來（實際上是半猜性質）更有可能是哪兩個數字相乘除。有的學生記憶的根本就不是字母所代表的關係，所以如果換成無法直接得出結果的複雜數字或者字母的話，馬上就卡殼了，憑猜那就有一半的幾率是錯的。

如果你用更複雜點的關係，說一個人從A點走到B點需要2小時，另一個人從B點走到A點需要3小時。兩個人同時各從AB兩點相向而行，過多久碰麵？大多數的七八年級的學生已經無法回答這種問題了。這個在一開始學習代數一的時候還不要求，但是這個就是在SAT層次，或者說競賽類AMC8所要求的層次了。唉，相向而行的問題，我記得是我們小時候常做的問題。算了，扯遠了。

舉例：最近2022年AMC8第15題給出了一個圖形：

說這是一個pepper的價格和重量的關係圖。問哪一個重量的單價最低？

其實非常簡單，隻要理解了單價其實就是斜率，就像速度就是距離和時間關係圖上的斜率一樣，然後從原點開始，劃一條線，如下：

什麽都不用算，藍色點代表的重量是3 ounces的就是最低單價。

在這個例子裏，AMC8根本就沒有要求學生計算，隻是要求學生懂得具體問題在代數線性方程中的靈活運用，也就是，你是不是真正領會如何正確解答學校裏代數一裏的速度距離時間問題。我以前寫過一篇文章：“想比做好”，就是說明先要理清關係，然後才是計算。這道題目考的就是最基本的，也是最重要的關係，是第一步。

到了代數二，函數代表的線開始打彎，這也是SAT裏麵所開始要求學生懂得的。AMC8裏麵也有一些涉及最基礎的概念，但不要求計算。比如第九題。說是一杯212℉的水，和環境溫度差每過5分鍾減少一半。如果環境溫度是68°F，過了15分鍾水變成了多少度°F？

計算過程很簡單。一開始溫差是212-68=144。

過了五分鍾，溫差是144/2=72。

再過五分鍾，溫差是72/2=36。

再過五分鍾，溫差是36/2=18。

所以，最後水溫是68+18=86°F。

在這種情況下，每五分鍾溫度的變化不是固定的值，如果畫一個圖形的話，就不是直線了。如果要求的不是15分鍾，而是14分鍾的話，就需要用到代數二裏麵的指數對數圖形。但是在AMC8的層次，他給學生的數字（15分鍾）是湊好的，隻要求你看得懂這個過程，並不要求學生掌握繁雜的計算。就是一個考驗學生理解能力的題目。

AMC8和普通高中數學有不少重疊的地方，其他的比如統計概率這種地方和代數二重疊得更多一些。以後我有空再一一寫一些。

我就是一個受了正統的國內理科教育，然後又在美國呆了很久了的教書先生。現在教學美國高中的數學和物理。歡迎瀏覽我的網站: