數學是物理的基礎-三角函數

和學生們上課，常常會碰到一些多見的問題。今天要講的這個問題是和數學有關的。數學是物理的基礎，這話一點不錯。今天就來講講學生們在物理裏碰到的三角函數的問題。

牛頓力學裏麵第一件事就是受力分析，比較經典的常考的就是斜坡上一個物體的受力圖。正確的受力圖如下：

但是第一次學的學生往往會畫成這樣：

重力變成不指向地心，而是和斜邊垂直了。為什麽呢？就是因為這張錯誤的受力圖看上去更“好看”，更“平衡“。

為什麽會這麽想呢?

在高中階段，學生們的確已經學了矢量的概念。但是帶箭頭的矢量的運算接觸的隻是一個概念，大部分都是以代數的形式看到的公式，而不是圖形的形式。比如一個學了Pre-Cal的學生應該知道如何計算(4+i)+(-1+3i)=3+4i，這是在SAT2 數學裏麵要考的內容，但往往局限於代公式而不是真正理解。但是學生往往不能理解， 或者說從來沒有想到和下麵的圖是一回事：

在美國的高中數學中，矢量的運算要求真不是怎麽高的。但是我也有一些在歐洲的學生，他們學的數學是跟著歐洲的教科書，往往比較強調矢量的運算，會好一些。假如一個學生從來沒有看到過矢量的圖形表達方式，冷不丁的跑到物理裏麵馬上就開始運用“斜著的”矢量來畫圖，怎麽著都覺得不順手。所以他們往往隻能習慣於這個平麵上的受力分析：

這個圖看上去平衡，隻有x-軸和y-軸的，理解容易。但是在斜坡的情況下代表力的線偏離了x-軸和y-軸，那學生就從心裏感到隱隱的不安，不知道怎麽解。這種不安就在不知不覺中轉化成了一種避開的情緒，或者說腦力已經累了，跟不上了，沒有多於的腦力去考慮重力的方向，隻想到能畫出重力就好，於是讓重力線偏離了本來垂直於地麵的方向， 去垂直於斜麵了。

在我指出重力永遠垂直於地麵以後，終於接受了這個：

但當問起重力W 在斜麵的分力是多少的時候，又開始糊塗了。不知道究竟應該是正玄還是sin 還是 cos。

這其實是一個簡單的三角函數的定義，在Pre-Cal裏麵學過的。這個問題不能很快地回答出來，其實就是對三角函數的定義和運用不熟練所造成的。

三角函數是SAT2數學考試的難點之一。隻有熟練掌握了三角函數，SAT2數學考滿分才有希望。然後這點知識也影響著後麵的物理。所以物理往往放在Pre-Cal（三角函數是在Pre-Cal裏麵學的）之後學是很有道理的。