數學的未來

數學的未來

(2014-05-11 19:50:00)

 

曾大江

 

人類數學經過1萬年的發展，形成了數理邏輯、集合論、數論、代數學、分析學、幾何學、概率論等分支，每個分支下麵又有若幹分支。例如：數論分為初等數論、代數數論和解析數論。分析學包括實分析、複分析和泛函分析等。幾何學包括歐氏幾何、巴氏幾何、黎曼幾何等。不同的人對數學的各個分支的分類是不同的。曾大江把數學分為四個部分：形式數學、量變數學、複雜數學和質變數學。理論上，數學各個分支的形式部分構成形式數學，量變部分構成量變數學，複雜部分構成複雜數學，質變部分構成質變數學。實際上，一些數學分支主要是形式的，一些數學分支主要是量變的，一些數學分支主要是複雜的，一些數學分支主要是質變的。因此，可以把數學分為形式數學、量變數學、複雜數學和質變數學四個部分。過去一萬年的數學主要是形式數學和量變數學。隨著混沌、分形、元胞自動機、複雜網絡和複雜係統的出現，複雜數學開始興起。但是，質變數學尚未誕生。如果過去一萬年的數學是形式數學和量變數學，那麽未來一萬年的數學就是複雜數學和質變數學。曾大江認為無論人類文明，還是外星文明，文明的使命就是成為宇宙文明：把文明傳播到宇宙的每個角落，擁有控製宇宙演化的能力，永恒地推動宇宙的人工進化。因此，曾大江有義務集形式數學和量變數學之大成，創立複雜數學，開創質變數學。雖然曾大江不一定能夠做到，但是曾大江必須這樣去做。義務就是做得到要做，做不到也要做。

雖然無數革命先烈在有生之年沒有實現革命理想，但是革命先烈義無反顧地為革命而奮鬥和犧牲。因此，即使曾大江不能在有生之年實現數學理想和宇宙文明的理想，曾大江也必須義無反顧地為數學理想和宇宙文明的理想而奮鬥和犧牲。

形式數學

符號本身沒有意義。符號的意義是由人給定的。例如：符號“1”、“A”、“a”、“α”、“一”都可以表達“第一”或“最好”或“一個”等含義。也可以規定用符號“0”或“2”等表示“一”的含義。人類為了交流方便，規定或約定了一些符號的含義。漢字符號和符號串的含義約定後，漢字符號和符號串就是漢語的載體，表達漢語的含義。英語符號和符號串的含義約定後，英語符號和符號串就是英語的載體，表達英語的含義。數學符號和符號串的含義規定後，數學符號和符號串就是數學的載體，表達數學的含義。

形式數學給出符號本身，並規定符號如果構成符號串，但不給出符號和符號串的含義。形式數學就是隻給出符號和符號串本身，但不表達任何意義的數學。一個形式數學係統由給定的若幹符號和這些符號構成符號串的規則構成，即若幹符號和按照形成規則形成的符號串就是一個形式數學係統的全部內容。例如：簡單雙符號係統由符號“a”、“b”和形成規則（符號的任意組合都是一個符號串，但一個符號串最多由2個符號構成）構成，即簡單雙符號係統的全部內容就是“a,b,aa,ab,ba,bb”。也可以規定簡單雙符號係統由符號“0”、“1”和形成規則（符號的任意組合都是一個符號串，但一個符號串最多由2個符號構成）構成，即簡單雙符號係統的全部內容就是“0,1,00,01,10,11”。“a,b,aa,ab,ba,bb”與“0,1,00,01,10,11”是同一個簡單雙符號係統，隻是使用的符號不同而已，是本質相同但形式不同的簡單雙符號係統。一些形式係統可以擁有有限個符號和無限個符號串，無法列出該係統所有的符號串。這時就用有限個符號和符號形成符號串的規則來給出形式係統的全部內容。形式係統也可以擁有無限個符號。例如：把表示所有自然數（0,1,2,...,11,12,...）的符號作為一個形式係統的符號，但這些符號不再表示自然數的含義。可以讓0到29999與3萬個漢字符號對應，讓30000之後的數字與漢字符號串對應。漢字符號串可以有無限個。

形式數學對純形式的沒有給定意義的符號和符號串的性質進行研究。例如：括號形式係統由“{”和“}”兩個符號和形成規則（“{”和“}”配對出現的符號串都是本係統中的符號串。如果一個符號串中“{”和“}”不能完全配對，那麽該符號串不是本係統中的符號串）構成。容易知道，括號形式係統具有性質：任意符號串必由2n個符號構成，n為大於0的自然數。

形式數學的語義

任意形式係統的符號和符號串都可以被賦予一定的意義。這些被賦予的意義稱為形式係統的語義。例如：簡單雙符號係統 “a,b,aa,ab,ba,bb”可以賦予這樣的意義，a表示好人，b表示壞人，aa表示好好人（即很好的人），ab表示既好又壞的人（即不好不壞的人），ba表示既壞又好的人（即不好不壞的人），bb表示壞壞人（即很壞的人）。“a,b,aa,ab,ba,bb”也可以賦予如下意義：a表示0，b表示1，aa表示00=0，ab表示01=1，ba表示10=2，bb表示11=3。“a,b,aa,ab,ba,bb”還可以賦予如下意義：a表示1，b表示2，aa表示11，ab表示12，ba表示21，bb表示22。

同一個形式係統可以被賦予多種不同的意義，即一個形式係統可以具有多套語義解釋。在形式數學中往往隻關注具有數學價值的語義解釋。形式數學就是研究形式係統的性質及其語義解釋的數學。理論上，可以把數學的任意分支都切分為形式部分和語義部分。數理邏輯、集合論、數論、代數、分析、幾何、概率等數學的各個分支都可以切分為僅由符號和形成規則構成的形式係統和該係統的語義解釋兩部分。但是，如果一個數學係統切分成的形式係統的形成規則比其語義解釋都更為複雜，那麽這種切分就是沒有必要的，也是不方便的。因此，不必將數學的每個分支都進行形式化和語義化的切分。另一方麵，如果數學的各個分支都以一個較為簡單的形式係統作為一個形式基礎或形式引入基礎，那麽對數學的各個分支都是有益的。因此，曾大江在《形式數學》中，主要探討邏輯、集合和數的形式化。數學的其他分支的形式化則在各分支的專著中探討。

量變數學

量變數學就是假定數學對象隻發生量變，不發生質變，隻使用演繹推理，且可以無限演繹推理的數學。當無限演繹推理出現悖論時，量變數學使用增加公理的方法來避免悖論的出現，使得在公理係統中可以進行無限演繹推理。量變數學係統就是內部無矛盾的數學係統。例如：在自然數係統中，有限個自然數的和或積仍然是自然數，自然數有無限多個，自然數可以任意大，但不能無窮大，且無限個自然數的和或積不能進行。自然數係統通過人為規定獲得內部無矛盾的性質，但顯得很不自然：從0,1,2,...一直數到無限，才能得到無限多個自然數，但是自然數必是有限大數，而數到有限，必可數出有限大數。可以無限地數下去，但數到的必是有限大數，不是無窮大數。這就是量變中的潛無限：可以無限地量變，但量變的結果必是量變，不是質變。現實中，無限量變是不存在的，無限演繹是不成立的，而量變數學卻以無限量變和無限演繹為基本假設和理論基礎。數論、代數、分析和幾何等都是量變數學。因此，曾大江在《量變數學》中主要探討數論、代數、分析和幾何。

複雜數學

可以用解析表達式、公式、方程、公理或定理精確描述的數學都可以稱為簡單數學。但是混沌、分形、元胞自動機、複雜網絡和複雜係統的性質往往隻能通過逐步迭代才能精確描述。以逐步迭代為主要的精確描述手段的數學就稱為複雜數學。例如：由x_n+1=x_n+1，x₀=2可知x_n=n+2，n為自然數，給定一個n就立即得到一個x_n，無須計算x_n-1,x_n-2,...的值，是簡單數學。由於不存在素數公式，要計算出第n個素數，就必須先計算出前n-1個素數。這就可以作為複雜數學的內容的。給定元胞自動機的規則和初始狀態，要知道元胞自動機在第n步的狀態，往往需要先計算出前n-1步的每一步的狀態。複雜數學研究逐步迭代的過程和逐步迭代的全部結果，研究迭代和迭代結果的性質。如果一個複雜過程可以不迭代就給出結果，那麽這個複雜過程就簡化為簡單過程了。必須通過迭代才能給出結果的複雜過程，雖然其迭代過程不可避免，但其迭代過程和迭代結果的性質仍然是值得詳細研究的。複雜數學中經常出現一些出人意料的性質和結果。例如：2號螞蟻自動機在第1萬步之後走出一條周期為104步的公路，6號螞蟻自動機在150步之後走出一條周期為18步的公路。因此，曾大江在《複雜數學》中探討混沌、分形、元胞自動機、複雜網絡和複雜係統。

質變數學

質變數學就是數學對象可以質變、數學係統內部可以存在時間或矛盾、可以使用不完全歸納推理的數學。例如：在量變數字中，如果所有集合構成的對象仍然是集合，那麽就會導致悖論。因此，在集合論中增加一條內涵公理，使得所有集合構成的對象不是集合，從而避免悖論。在質變數學中，所有集合構成的對象仍然是集合，也導致悖論。但質變數學不通過增加公理來避免悖論，而是通過承認數學對象可以發生質變來消除悖論。可以規定，所有集合構成的對象質變為超集合或真類。量變數學追求數學係統內部無矛盾，質變數學允許數學係統內部存在矛盾，且矛盾可以相互轉化。例如：把集合分為兩類，以自身為元素的集合和不以自身為元素的集合，所有不以自身為元素的集合構成的集合應屬於那一類？在量變數學中，這就是羅素悖論。在質變數學中，以自身為元素的集合和不以自身為元素的集合可以相互轉化，這就不是悖論了。所有不以自身為元素的集合恰好是能實現這個轉化的數學對象。量變數學中的很多問題用質變數學的方法來解決可以得到全新的理解。量變數學中的一些分支經過質變化處理可以直接成為質變數學的分支。曾大江將在《質變數學》中進行詳細的論述。

數學的未來

現在，數學主要由形式數學和量變數學構成。未來，複雜數學和質變數學將成為數學的核心。複雜數學使得數學越來越像物理，質變數學則使數學和物理可以統一。未來，哲學、數學和物理將實現統一。終極理論將是一個能夠解釋一切的理論，也是所有學科完美統一的理論。從粒子、原子、分子、細胞到人體、人腦，從宇宙演化到社會演變，都可以用終極理論解釋。

人類文明要成為宇宙文明就必須讓科學技術爆炸式進步，不斷進行科技革命。數學是所有科學技術的共同基礎和公共工具，數學的未來就是科技的未來，數學的未來就是人類文明的未來。