剪不斷，理還亂-談談相對論與GPS的關係

剪不斷，理還亂-談談相對論與GPS的關係

作者：徐令予

GPS定位係統依靠在高空作高速運動的衛星發送高精度的時空信號，它與相對論效應就有著不可分割的關係。近年來，隨著GPS設備飛入尋常百姓家，一些專家學者希望以GPS作為切入點，向大眾作相對論的科普，這種良好的願望當然值得讚揚，但是他們的分析和結論多數卻是錯的。反相對論者由此大做文章，一時間“大有炸平廬山，停止地球轉動之勢。”科學網上黃秀清教授的博文：“真相與真理：愛的謊言，深入穀底的悲哀。”就是一篇這樣的代表作。但黃的分析方法有錯誤，結論更是荒唐，科學畢竟是科學，花團錦簇的文字豈能改變鐵一般的科學事實。

為討論的方便，我把這場爭論中的雙方分別稱為“擁派”和“反派”，兩詞都不含"相字"，因為這場爭論雖與相對論有關，但兩派關注的焦點是相對論與GPS的關係。為了讓科學網熱鬧起來，我決定“拳打少林、腳踢武當，”力戰群雄向兩派同時開刀。兩麵出擊本乃兵家之大忌，為讓圍觀者盡興我也顧不上這些了，如遭兩派圍毆趕下擂台，懇請諸位多給些寬容和同情。廢話少說，兩派英雄好漢請接招吧。

1）擁派是錯的，而且錯得離譜。相對論效應確會導致GPS衛星上原子鍾每天走快38.6微秒[1]，擁派錯誤地認為：衛星時鍾的誤差乘上光速就是定位誤差。他們以為可用一維模型來估算，即每天誤差 ΔX = CΔt = 3x10⁵x38x10^-6 = 11.4km ，由此得出“未經相對論修正的GPS會把行人引進溝裏，把汽車導入海裏”這樣的謬論。他們不知道定位主要決定於GPS接收機與多顆GPS衛星兩兩之間的相對距離差。

為了便於理解，假設在一個兩維的平麵上有三顆衛星A、B和C，它們的位置座標已確定，而且每個衛星上的時鍾之間保持同步。接收機位於該平麵上的某一待定點。我們從A和B的報時信號中發現：假如B的信號比A早到Δt 。由此可知，我們的位置離B較近，離A較遠。我們必然位於與B和A的距離差為 CΔt 的位置上，因而接收機必定處在圖中第一條紅線上（這是一條二次曲線）的某個點。接下來我們再來比較B和C衛星的信號，如果發現它們的信號是同時到達，那麽我們一定位於穿越B和C連線的中垂線上，即圖中的第二條紅線上。這兩條紅線的交點就是我們確切的位置。這裏介紹的是二維平麵的定位方法，三維立體空間的定位原理完全一樣，隻是再加上一顆衛星就可以了。

通過上麵的分析可以清楚地看到，定位的精確性主要決定於不同衛星與被測點之間的距離差，而這個距離差又是來源於衛星的信號到達被測點的時間差，隻要衛星之間的時鍾嚴格同步就可以保證時間差的精確，衛星時鍾根本不必與被測者當地時鍾之間保持同步。事實是：即使不作相對論時鍾誤差修正，GPS的定位的最大誤差每天不會大於15厘米[2]。

2）反派也不對，他們認為隻要衛星時鍾嚴格同步就足以保證得到精確的距離差，從而實現精確定位。這是隻知其一不知其二，要知道GPS定位不隻決定於距離，還與衛星的位置有關（也就是黃的公式（1）左邊的 X_i, Y_i, Z_i 值）。

物理學討論一切問題的前提是確定座標係。GPS接收機的定位是要確認其在地球座標係中的位置，因而必需采用固定於地球上隨同地球轉動的坐標係、即地球坐標係作為參照係。各衛星在地球座標係中的位置的計算必須使用精確的地麵時間[3]。未經相對論修正的衛星時與地麵標準時有每天38.6微秒的誤差，經這些衛星時計算會導致衛星位置的誤差，這種誤差無法用差分法抵消，而且該誤差會隨著時間積累。但對於反派來說幸運的是：這部份誤差很小，因為衛星的運行速度有限。

3）相對論效應引起的GPS定位誤差的正確分析方法列於附件[2]，GPS定位的數值計算法列於另一附件[4]。這兩個附件的要點是：

a)接收機時與衛星時之差在定位過程中是被當作一個變量來處理的，因此衛星時相對於地球標準時的任何誤差都可被並入這個變量之中。在具體求解過程中，這一變量可在允許的範圍內變化，以求出接收機位置的最優化解。

b)如上圖所示，對衛星B和C而言，因為衛星時T_B=T_C，接收機與衛星B和C的距離相等，所以上麵提及的時間變量的變化將導致接收機位置在衛星B和C之間的直線上移動。如果再考慮第三顆衛星A，因為衛星時T_A與T_B不同，接收機與衛星A和B的距離也不相等，但這個距離差是常數，因此接收機位置被限製在衛星A和B之間的一條二次曲線上移動。顯而易見，兩條曲線的交點即為接收機位置的最優化解。

c)整個定位過程的輸入的參數僅是四顆衛星的時間和衛星的軌道參數，與GPS接收機的時間沒有關係。由此可知，隻要衛星時鍾之間精確同步，衛星時與接收機時、以及任何其它參照時的誤差基本不影響定位精確度。

d)衛星時相對於地球標準時的誤差會導致衛星本身位置的誤差從而導致有限的定位誤差。

假設GPS係統每周校正二次，由此可知這部份相對論效應引起的GPS最大誤差大約在半米左右（每天15厘米＊3.5天～0.5米）。其實整個GPS係統中還有更複雜的相對論影響應該考慮，但本文不再作深入討論[5]。總體而言，相比於電離層、大氣折射率和水蒸氣等因素，相對論引起的GPS定位誤差確實是次要的，甚至是可以忽略不計的。

4）但是GPS係統除了定位外，它還有授時及其它一些功能，相對論效應在這些方麵卻是不能忽略的。必須強調指出，相對論效應導致衛星上原子鍾相比地麵標準時間平均快每天38.6微秒，這可以被精確測量和驗證的。事實上，每一衛星在入軌運行前都把原子鍾調慢了相應的38.6微秒/天（又被稱為"factory frequency offset"[6]）。這樣做的好處是多方麵的，經過相對論校正後的衛星時鍾係統可以向全球各種地麵和空中設備直接提供國際標準時間。當然這也同時改善了GPS的定位精度。GPS和北鬥的衛星上原子鍾都作了相應的"factory frequency offset"，這一點就是反相者無論如何也繞不過去的坎！

最具諷刺意味的是，黃自已卻不知道，GPS係統定位中使用的公式與他的完全相同，衛星時鍾的時間信號不作任何變換直接代入公式計算。因為每顆GPS衛星升空前把原子鍾調慢了大約38微秒/每天，升空入軌後的GPS的時鍾受相對論影響變快，結果是剛好與地麵原子鍾精準同步。黃秀清教授恭賀你了，你與GPS的總設計師在處理相對論影響上真可謂“不謀而合”，相當地不容易啊。換了我是你，我是不會再堅持說GPS係統與相對論無關了，順水推舟作個相對論的支持者和科普工作者又有什麽不好呢，知錯能改，善莫大焉。

做個結論：相對論決定了星地原子鍾之間會有每天38.6微秒的誤差，而且該誤差會隨時間而積累，但由此引起的最大定位誤差不會超過半米（絕非聳人聽聞的十一公裏），相對論效應導致的GPS定位誤差是極有限的。GPS衛星上原子鍾入軌運行前調慢了每天38.6微秒，這就保證了星地原子鍾的精確同步，這樣做的主要目的是為了保證GPS授時功能的精確性，當然客觀上也進一步改善了係統的定位精確度。

同時本文還想通過GPS這個複雜的係統，進一步分析科學理論與工程技術之間的關係。在有關愛因斯坦的故事中都提到他在四、五歲時得病臥床多日，假如當時他沒有挺過那場重病，假如直到現在這樣的天才一直沒有再出現（畢竟這樣的天才在曆史上需要幾百年才能出一次），那麽直到現在很可能還沒有相對論[7]。在沒有相對論的日子裏，我們“馬照跑,舞照跳。”物理係的學生也少了些煩惱。而且我們照樣可以有GPS，定位的精確度也一點不會差到哪裏去。因為聰明的工程師團隊一定會發現GPS上時鍾與地麵時鍾之間的係統誤差，盡管他們可能不知道這個誤差背後的物理原因，但通常他們會引進若幹可調參數，通過統計的曲線擬合法找到這個誤差的精確值，並通過各種技術手段把這個誤差消除掉。工程師們怎麽可能對一個固定的隨時間積累的係統誤差放任不管、束手無策呢？其實在大型工程項目中的一些難題很少是依靠物理理論來解決的，可是工程師們創造的奇跡卻常常讓物理學家歎為觀止。

但千萬不要認為我是在否定相對論的重要意義，沒有了相對論的指導，工程師們要化費極大的代價去尋找和分析係統的誤差，找到了總誤差後，也很難把相對論誤差與其它因素引起的誤差分離開來，因而進一步的誤差修正就變得很困難。更重要的是他們對修正GPS係統誤差所作的努力隻與特定的係統有關，他們的方法和經驗有很大的局限性，這必然失去普遍的指導意義。具體來看中國的北鬥導航的建設，由於北鬥衛星的軌道半徑的不同，中國的工程技術人員必須從零開始通過自己的長期摸索找到係統的誤差並尋求最好的方法消除誤差。現在有了相對論，我們十分清楚時鍾誤差的原因和計算誤差的方法，所以可以輕而易舉地把衛星上時鍾調慢相應數值，把GPS的定時誤差減到最小。事實上北鬥導航係統對相對論影響的修正就是這麽做的。

總之GPS與相對論的關係頗為複雜，網上的維基百科，甚至美國大學的一些教程都提供了一些錯誤資訊，許多人是霧裏看花、人雲亦雲，科學網上好幾個名博也不知深淺被纏了進去。連方舟子在這個問題上也踩進了坑中，看看他是怎麽說的：“...如果我們考慮到GPS係統要求納秒級的時間精度，這個誤差就非常可觀了。38微秒等於38000納秒，如果不加以校正的話，GPS係統每天將累積大約10千米的定位誤差，這會大大影響人們的正常使用...[8]”

方舟子在GPS問題上犯錯本不奇怪，但是他的這篇文章放在了北鬥導航的官網的首頁，令人費解。希望北鬥導航網的編輯能關注科學網的這場十分有意義的爭論，並對方舟子的文章作出相應的處理。

感謝:本文是我和好友王博士在電話中、在球場上數十小時討論（甚至激烈爭吵）的最終結果，文中附件[2][4]均由他提供。請諸位把一切點讚送給我，把所有板磚砸向他， 嘿嘿。

[1]簡單說說GPS係統中時間相對論修正的來源 

[2]附件  GPS Error without Relativity Correction.pdf

[3]地球座標係和衛星位置計算附件：座標係及衛星位置計算.pdf

[4]附件 GPS position determination.pdf

[5]]絕大多數討論GPS與相對論關係的文章中，都把相對論效應局限於狹義相對論的動鍾變慢效應和廣義相對論的引力鍾慢效應，本文也不能例外。但實際上地球的自轉引起的SAGNAC效應中也包含了相對論效應，還有衛星軌道形狀引起的相對論效應誤差也不能忽略，這些相對論效應才是造成額外的GPS定位誤差的主要原因。詳見文獻： https://www.aapt.org/doorway/TGRU/articles/Ashbyarticle.pdf

[6]受狹義相對論和廣義相對論的影響，衛星時鍾大約每天走快38.6微秒。在GPS係統設計時考慮到了這一點，在GPS衛星發射前，已經把其原子鍾的頻率與時間單位的比率調降100億分之4.465，使衛星原子鍾與地麵標準時間同步。

[7]準確地說，沒有愛因斯坦，狹義相對論很可能也會在二十世紀初建立，但廣義相對論的誕生可能真的離開不了愛因斯坦-這位千年難見的曠世天才。

[8]http://www.beidou.gov.cn/2012/01/05/20120105b32bf90e15e94e26a119fd799788104e.html

[9]答疑: AnswersToComments.pdf

[10]  GPS如何隱去相對論時間偏差 沈建其--2nd_Ed.doc