守則不足，攻則有餘。——《孫子兵法•軍形篇》
守尚不足，攻而有餘？豈不怪哉？這句話千百年來困擾了無數先賢，甚至有人幹脆把這句話改成了“守則有餘，攻則不足”。然而在我看來，這句話並無任何錯誤之處，事實上，“守不足”的情況下，確可以“攻有餘”。不信？來看看死理性派分析吧。
即使攻方兵力不足，也未必會輸
美國普林斯頓大學的“博弈論”課程中曾經有這樣一道題目：
如果給你 2 個師，讓你攻破一座由敵方 3 個師守禦的城市。規定雙方都隻能整師調動部隊。通往這座城市的道路總共有甲、乙兩條。當你發動進攻的時候，如果你的兵力大於敵方，那麽你將獲勝；如果你的兵力小於或者等於敵方，那麽你就會戰敗。你將如何製定攻城方案？
也許你會覺得這是一個“不可能完成的任務”：在兵力相等的情況交戰還會戰敗，更別提對方的兵力還比你多出整整50% 來。但這樣的情形卻是比較真實的，實際作戰中防守方確實比進攻方有更多的補給，而且如果再在以逸待勞的情況下，借助各種防禦工事，隻要雙方科技水平和兵員素質不是太過懸殊，守方的戰力總是比相同兵力的攻方要高。
但即便如此，這次作戰中雙方獲勝的概率卻都是50%。不相信？讓我們來看一看雙方可能的戰略部署。
敵軍的三個師的兵力部署方案有 4 種：
A 3 個師都布置在甲道路上； B 2 個師布置在甲，1 個師布置在乙； C 1 個師布置在甲，2 個師布置在乙； D 3 個師都布置在乙道路上。
我軍則有以下 3 種進攻方案：
1，2 個師都從甲道路上進攻 2，2 個師分別從甲、乙兩條道路上進攻 3，2 個師都從乙道路上進攻
讓我們根據這幾種方案列一張表格：
如果我們假定雙方采取每一種方案的可能性是相等的，那麽攻方獲勝的概率就是 6／12 = 1／2，即我們在前麵所說的 50%。
先等一等！這是我們假設守方會等可能性地采取 A，B，C，D 四種策略的情況下所得到的結論。但如果考察一下 A，D 兩個方案就會發現，采取這兩個方案時攻方獲勝的可能性更大。再進一步對比我們還可以發現，B 方案一定比 A 方案好，而 C 方案也一定比 D 方案好。那守方有什麽理由會選擇 A，D 兩種方案呢？換言之，其實可供守方選擇的隻有 B，C 兩個方案而已，它們的可能性各是50%。那麽這種情況下攻方獲勝的可能性隻有 1／3 而已。
但是再等一等！守方不是傻瓜，難道攻方就是白癡嗎？如果守方隻會采取 B，C 兩種方案，那麽攻方也不會會采取必敗的 2 號方案。所以其實可供攻方選擇的也隻有 1，3 兩個方案而已，他們的可能性也都是 50%。於是我們可以得到一張新的表格：
雙方獲勝的概率依然都是 50%。是不是有點不可思議？守方擁有更多的兵力以及更優良的作戰條件，但是雙方獲勝的概率卻是相等的。
在兵力相等的情況下，攻方勝算更大
我相信讀者讀到這裏一定還會好奇，如果是攻守雙方的兵力相等的情況下，各自的勝算又是多少呢？我們不妨給守軍削減一個師的兵力，再來看看守方這時候的策略：
A 2 個師全力防守甲 B 2 個師分兵防守甲、乙 C 2 個師全力防守乙
攻方依然可以采取前麵中的 1，2，3 三種策略。那麽此時雙方的對陣情況如下：
可以看出無論守方采取那種策略，攻方獲勝的概率都是 2／3，所以總的獲勝概率也是 2／3。這個結果非常有趣，表麵上看來對守方有利的博弈，占優勢的卻是攻方。這也恰恰印證了那句話：“進攻是最好的防守。”
為什麽進攻是最好的防守
但是，為什麽呢？也許答案可以用漢朝賈誼的著作《過秦論》中的六個字來概括：“攻守之勢異也。”對於攻方來說，他們的目的隻是“攻進城市”，在這場博弈遊戲中，不論他們在甲、乙中哪條道路上取得優勢，都能達到目的。相比起來守方的任務則艱巨許多，他們必須針對各種進攻策略作出部署，在這個例子中，他們就必須要在甲和乙兩條道路上同時抵禦住攻進。換言之，戰爭中的作戰規則可能對守方有利，但是在勝利條件上卻是偏袒攻方的。《孫子兵法•軍形篇》中說道：“不可勝者，守也；可勝者，攻也。”此句恰好在“守則不足，攻則有餘”一句的前麵，也恰好印證了我們的理論。
我們不妨以《星際爭霸2》為例：如果你隻打算死守，就必須防範所有可能的進攻進攻方式。對手有可能使用前期爆兵流，或者後期科技流；有可能從正麵進攻，也可能可能繞到背後空投地麵部隊。這樣的話，你就既要在前期就保證足夠的兵力應對rush，同時還要攀升科技打後期；既要建造地麵戰鬥單位和防禦工事，還得擁有對空防禦。在不知道對方策略的時候，相同數量的資源，攻方隻需要集中起來打造一種部隊，你卻需要把幾乎所有的單位和建築給建造一遍！而這些最終不過全是徒勞而已，正如《孫子兵法》所說的那樣：“無所不備，則無所不寡。”
值得一提的是，強大的信息情報收集能力能夠為守方扳回一局，這就好像玩《星際爭霸2》如果開了全圖，詳細了解敵方的生產情況的話，就可以開展有針對性的防守。隻是，信息不對稱博弈就不是本文所討論的內容了。
結語
至此，雖不排除我們按照理工科的思維曲解了孫子的原意，但畢竟他老人家的這句“守則不足，攻則有餘”在死理性派手裏，得到了一個頗好的詮釋。也許對付“全世界三麵來襲”的最好辦法，就是像莎士比亞的《約翰王》裏所說的那樣，“給他們一個迎頭痛擊”。
本文用一個簡單卻非常新穎的計算，從一個特定的角度解釋了進攻為什麽是最好的防守。當然，現實中的戰爭遠非本文簡單的計算就能全麵概括的，畢竟三裏之城，七裏之郭，也有環而攻之而不勝的時候。
紙上談兵：薩爾滸之戰以少勝多的原理
小時候我們都學過紙上談兵這個詞。其實曆史上紙上談兵的並非隻有趙括一人，還有數學家。1914年一戰期間，英國工程師弗雷德裏克•蘭徹斯特（我敢打賭這家夥是一個死理性派）異想天開地用數學解析戰爭，創立了著名的蘭徹斯特戰鬥模型。通過它，我們能很容易地發現以少勝多背後的數學故事，比如經典的薩爾滸之戰。
但在故事開始前，有必要說明的是，這隻是 一個簡化的數學模型 ，忽略了一些難以量化的因素，譬如天時、地利、人和以及政治因素，而它們對戰爭也有舉足輕重的影響。事實上，從科學角度講，研究結果僅對研究的模型有效。不過我們都知道，研究總是從基礎模型開始的。
用蘭徹斯特模型解析戰爭
這個著名的蘭徹斯特戰鬥模型，實際上是一個討論參戰方戰鬥力和時間關係的模型，可以用來宏觀地描述參戰雙方的戰鬥力損耗過程。這樣說或許有些抽象，讓我們先思考一個問題，現在有兩支軍隊 A 軍和 B 軍。A 軍以精銳著稱，但兵力隻有 B 軍的一半，B 軍人多勢眾，但單兵作戰能力平均隻有A軍士兵的一半, 除此之外它們其他方麵全部是等同的。如果這兩支軍隊交戰，一支軍隊消滅另一支軍隊即為勝利，你認為誰將是這場戰鬥的贏家？讀者們不妨先選定一個答案（ A 勝、B 勝或者玉石俱焚），然後再來看看蘭徹斯特戰鬥模型怎麽說。
假設現在有一場戰鬥，交戰的雙方為甲方和乙方。我們規定它們在戰鬥中某一時刻的戰鬥力（冷兵器時代，一般情況下就是部隊中士兵的人數）分別是 x( t ) 和 y( t ) ，其中t表示時間。同時為方便起見，假設 x( t ) 和 y( t ) 都是關於 t 的連續可微函數，且恒為非負。換言之，雙方的戰鬥力都是隨著時間連續變化的，不可能在某一時刻發生突變（譬如《西遊記》中的孫悟空從天宮搬來救兵），也不可能在某一時刻有變化率的突變（譬如打架的時候被對方一巴掌打通任督二脈）。
在此基礎上，我們再假設某方戰鬥力的變化都是由於敵方對它的攻擊造成的，這樣戰鬥力在某一時刻的變化量，便隻和該時刻對方的戰鬥力正相關。
據此我們可以得出下麵兩個微分方程：
其中係數 a 和 b 分別是乙方和甲方對對方的殺傷率，也就是某方每單位戰鬥力能夠對敵方造成的戰鬥力損耗。
這便是著名的蘭徹斯特戰鬥方程。也許現在這個方程看上去還不夠直觀，但如果把它稍作變換，就可以得到這樣的式子。
在上麵的式子中，假設等式左右兩邊的值為正，當 x = 0 時，必有 y > 0 。這也就意味著當甲方的戰鬥力消耗殆盡的時候，乙軍還有人活著，這種情況下自然是乙軍獲得了勝利。同理，當等式左右兩邊的值小於0時，甲軍將取得勝利。那當這個值等於0的時候呢？顯然雙方將慘烈地同歸於盡，最終就像電影《赤壁》收尾處所說的那般：“大家都輸了。”
更重要的是，上述這個式子還說明了 在戰鬥中雙方的軍事實力和各自軍隊戰鬥力的平方成正比 。這也就是著名的蘭徹斯特平方律。
舉個最簡單的例子，倘若兩支旗鼓相當的軍隊來火並的話，此時a=b ， x 0 = y 0 = 1 ，這時候 a y? 2 = b x? 2 ，最終雙方將同歸於盡。但是倘若甲軍去和一支人數是它的兩倍，但每個士兵的實力隻有他一半的乙軍來打呢（這正是在前麵提出的問題）？由 2a = b, y 0 = 2x 0 可得 a y? 2 / b x? 2 = 2。這表明占據人數優勢的乙方將取得勝利，盡管他們的功夫都隻有對手的一半。
更進一步來看後麵這個例子，把 2a = b， y 0 = 2x 0 ，x = 0 這些條件都代入到上麵給出的等式當中，可以得到y= √2 x。這意味著在乙軍徹底消滅他的勁敵——精銳的甲軍以後，自身兵力的損失還不到一半。如此事實無疑會讓以精銳聞名的甲軍感到壓力山大，因為他們如果想要在人數不變的情況下和乙軍對敵而不敗的話，至少要讓自己的每個士兵的單兵作戰能力達到乙軍的四倍才行！
上麵的例子讓我們看到，蘭徹斯特平方率直觀地反映了對戰雙方的戰鬥力對比。金庸迷們一定記得《笑傲江湖》中東方不敗獨戰令狐衝、任我行、向左使、任盈盈的精彩片段，雙方實際上打成平手。由此根據蘭徹斯特平方率能推算出，東方不敗的戰鬥力是其餘四人戰鬥力平均值的16倍！也就是說，如果令狐衝、任我行、向左使、任盈盈戰鬥力分別是100、80、60、40的話（平均戰鬥力70），東方不敗的戰鬥力就是70 × 16 = 1120 。Ta的“天下第一”還真不是浪得虛名。
薩爾滸之戰以少勝多的原因
從蘭徹斯特到將近百年後的今天，曆史開始顯得久遠。但這並不妨礙我們做一回“事後諸葛亮”，意行沙場，也來紙上談兵，用激揚文字再指點當年戰場。而這一回，我們就從數學角度來講述那場經典的以少勝多——薩爾滸之戰。
這是發生在萬曆四十七年（公元1619年），中國遼東的一場規模浩大且影響深遠的大戰。
在這場戰役中，當時僅擁有約六萬八旗子弟的後金軍首領愛新覺羅•努爾哈赤，憑借著他老到的戰略眼光，竟將兵力二倍於他、洶洶而來的大明王師打得慘敗而歸。此戰明廷喪師近五萬，將官戰死者亦有三百餘人，其中還包括山海關總兵杜鬆這樣的高級將領，可謂精銳盡失。若說當年李成梁對待努爾哈赤的態度是“為虺弗摧”的話，經此一役的後金對明廷來說，已然是“為蛇若何”了。
然而在此戰之前，並非人人都把後金當回事，至少此次戰役中明軍方麵最高統帥、遼東經略楊鎬大人就是如此。據說在薩爾滸戰役之前，楊鎬曾與努爾哈赤修書一封，稱大明王朝集結了四十七萬大軍將襲，並將出兵日期如實相告，似乎想以天朝神威威嚇後金，好“不戰而屈人之兵”。由此可見，在當時的楊鎬看來，“消滅賊酋”不過是手到擒來的事情，根本沒有想到會有戰敗的可能。但是事實上，如果楊鎬大人了解蘭徹斯特模型，也許他就會發現，雖然他的兵力是對方的兩倍，但他的慘敗卻早在出師之日就已注定。
何出此言呢？不妨讓我們用蘭徹斯特戰鬥方程來分析薩爾滸之戰。
當時努爾哈赤麾下的八旗子弟都是久經沙場的精銳，軍隊素質自然不可小覷。但明軍亦有先進的武器和裝備可與之抗衡，再加上常年和叛軍作戰的川軍，以及由當年一代名將戚繼光精心打造的浙軍，軍隊的兵員能力也不在後金軍之下。所以雙方的殺傷率係數不妨看做是相等的。
那麽兵力情況又是怎麽樣呢？我們在前麵就已說過，後金軍的兵力約六萬人，而明朝方麵的數據則是十二萬。恰如前麵的例子一般，後者的兵力是前者的兩倍。換言之，如果楊鎬的大軍就這麽殺過來的話，似乎努爾哈赤唯一的方法，就是在對方到來之前，把自己手下兵士的作戰能力提高到原來的四倍。
但是一個很有趣的事實是，在薩爾滸之戰的交戰過程中，始終占據兵力優勢的卻是後金。原來楊鎬在進攻的時候竟把自己的軍隊分成了四路，而這四路軍隊不但沒有統一的調度，相互之間的通信也甚不靈便（實際戰爭中，有兩路軍隊已經被努爾哈赤消滅了，第三路軍竟還毫不知情）。這就使得本來兵力薄弱的努爾哈赤反倒擁有了以眾擊寡、各個擊破的局部戰略優勢。雖然後金的兵力隻有明朝的一半，但是後金每次戰鬥中麵對的兵力，卻都隻有自己的一半。
讓我們來為這種戰略局麵算一筆帳。假設後金軍和明軍的殺傷率係數都是 1，戰鬥力以萬人為單位，那麽後金軍的軍事實力是：
假設明朝的四路軍隊中兵力平均分配，也就是每路有 3 萬人（實際兵力部署與此相去不遠），那麽明朝的軍事實力則是：
我們發現，擁有巨大人數優勢的明軍的軍事實力和後金軍其實是相當的！
當然，這裏的計算有一個問題。我們給出的這種明軍兵力分配方案，恰巧是使得它的軍事實力總和最小，根據均值不等式可以知道，隻要在實際分配的時候哪怕采用3.01，2.99，3，3這樣的方案，明軍不就能夠打敗後金了嗎？
在這個模型下的確如此。但這要求當時的明軍能如同嶽飛所夢想的那樣“文臣不愛錢，武臣不惜死”，軍隊在損失慘重的情況下依然堅持戰鬥到最後一人。那樣的話，努爾哈赤老兄真的是要操心下自己腦袋的去處了。可惜實際情況並非如此。古代戰爭的一個事實是，當某方的損失超過一定數量以後（這個數量通常還並不高），往往會因為士氣低落而潰散，在接下來就變成“追亡逐北”的場麵了。這種情況下戰鬥變為屠殺，潰散軍隊的殺傷率約等於 0。所以戰爭的勝負絕大多數都不是因為一方把另一方完全殲滅，而是因為一方的士氣已經無法維係。
所以不妨讓我們假設雙方都會在自身兵力損失達到一半的時候潰敗。同時再把明軍四路兵力的實際部署情況稍加調整，用 4，3，3，2 作為它的部署策略，此時的軍事實力總值為38，高於後金軍。第一場戰鬥後，後金的殘餘兵力 x 1 滿足如下方程：
解之得 x 1 =2√6≈4.90 。也就是第一場戰鬥結束後後金軍的剩餘兵力約4.9萬人。我們繼續通過下麵的方程求解 x 2 ， x 3 ， x 4 。
解之得
計算結果表明，四場戰鬥中每一場都是後金軍的兵力占優，導致每一場戰鬥的勝者都是後金，所以最後的勝者也是後金——盡管總的軍事實力明軍更高。
要說明的是，這裏對明軍並沒有任何的不公平。事實上這個模型還有些偏袒明軍，因為在當時的曆史條件下，明軍士氣的水平其實很難達到傷亡人數約一半時才潰散。如果按照《竊明》中所說的標準——“除了處於死地外，最優秀的封建軍隊也不過能忍受一、兩成的傷亡而不崩潰”來計算，當後金軍取得勝利的時候，它所損失的兵力也不過1.28萬人，還遠不到其初始兵力的三分之一。
借助數學工具，數百年後的我們可以輕鬆地計算出努爾哈赤必將取得大勝的結果 。可惜的是當時背負十數萬將士性命的統帥楊鎬並沒有這樣的覺悟，即使當開原總兵馬林根據自身的經驗向他提出“王師當出萬全，宜並兵一路，鼓行而前，執取罪人，傾其巢穴”這一清醒建議的時候，他也隻是傲慢地堅持故我。如此無能的統帥最終葬送了大明的精銳之師。
結語
後來的事情是：萬曆四十七年二月二十五日，大明王師正式出征；三月初一，西路軍遭努爾哈赤攻擊，寡不敵眾，全軍覆沒，總兵杜鬆戰死；三月初三，北路軍遭受攻擊，寡不敵眾，全軍覆沒，總兵馬林狼狽逃回；三月初五，東路軍被後金軍偷襲，猝不及防，全軍覆沒，總兵劉鋌戰死；三月初六，南路軍接到三路大軍戰敗的消息後匆忙撤兵，後金軍趁勢追擊，損傷慘重。結果正如我們這群事後諸葛亮所分析的一樣，可惜我們的分析也正如開原總兵馬林的意見一樣，終無改這場戰事的結局。
也許在因這場慘敗而下獄到他被處斬以前，楊鎬也曾多次反思過這場過戰鬥。他或許無法像我們這樣定量計算出戰鬥的結果，但至少也應該會對《孫子兵法》虛實篇裏“以眾擊寡”這個詞有一層新的理解吧。
