一不小心破解連續性假說（CH）？

戴榕菁

所謂連續性假說（Continuum Hypothesis，縮寫CH）是有著名集合論大師康托在1878年提出來，又被希爾伯特在1900年列為23個數學問題的第一個，而且據說至今也沒有明確答案的一個問題。其基本論點為：不存在這樣一個集合，它的基數大於自然數集合的基數而小於實數集合的基數。

昨天在academia被邀請去參加某人證明CH的文章的討論（https://www.academia.edu/s/a6ed99ac3f?source=link）。我之前從未關心過這個問題（不敢說沒聽說過，因為這些年讀過的文章數不清，未必都留下印象。隻能說沒什麽印象），不過昨天我直覺感到這個假說本身就是錯的。我給出了一個簡單的反例，但因為沒有用到無窮的概念，被那裏的人認為不能接受。今天我上網查了一下，發現康托本人的工作似乎並非要證明這個假說，而是要否定這個假說，隻不過一直未成功。後來的哥德爾等人用複雜的數學也是為了證明這個假說不對，隻不過未能成功而已。

上麵這些信息對一上來就要否認該假說的我來說是很大的鼓舞，於是我便將昨天給出的簡單的反例擴展到無窮大集合來否定CH的合理性。我個人至少目前感覺我的證明是嚴格的。下麵是我的證明：

先證明有理數序列的基數大於自然數序列。

我們可以將自然數序列表達為：

1, 2, ….m, m+1,…..

其中m 是任意一個自然數，則我們可以構建下麵有理數的無窮大序列：

1/2, 1, 1, 2, -1/2, -2, -1,-2, …..m/(m+1), (m+1)/m, m, m+1, -m/(m+1), -(m+1)/m, -m, -(m+1), …….

很顯然，不論你如何延展這個有理數序列，它的基數都是自然數的4倍；即便我們要除去重複的數（除去所有被1除的數，及其它的整數倍的分數），它的基數也一定是大於自然數。

再來證明實數的基數大於自然數的基數。

對於任何一個大於1的有理數m/n，我們可以構造下麵這個序列：

(m/n)^(1/2), (m/n)^(1/3), (m/n)^(1/4)…..(m/n)^(1/k)…..

該序列中的至少絕大多數都是無理數。所以，實數的基數一定大於有理數。

至此希爾伯特的23問題之第一問題的連續性假說（Continuum Hypothesis，CH）被否定。

。。。。。。

我的證明是個意外，因此歡迎數學大師們來找毛病。。。。

[慕容青草]

去年當有網友向我提出康托所製造的虛幻時，我還不以為然，現在看來這個世界是在相當程度上被康托洗了腦。。。本文可以幫助打擊康托虛幻。。。。。。

[慕容青草]

這些年已經習慣了在最不會被認為是皇帝新衣的舞台上觀看安德森的皇帝新衣動畫片，先是哲學，後是物理學，現在又輪到數學。。。。。。

[慕容青草]

看來我又幹對了！

academia的那個關於CH的討論被刪了。。。這些年來已經形成一個慣例，每當遇到這種對抗新哲學的怪事的時候，我就知道我又幹對了。。。

如果這次我真的在無意中破解了希爾伯特23問題中的第一個問題的話，那真是上帝給我的又一大禮物！

感謝上帝的恩典！一切榮耀歸於上帝！

順便提一句，那個討論被刪前的內容我有存檔，誰感興趣，提供email或微信我可以傳過去。。。。。