燒腦話題：3體問題，射手假說，農場主假說

《三體》開播，看了幾集覺得還不錯。以前沒看過劉慈欣那本著名的科幻小說《三體》, 不過知道一點三體問題。

電視一開頭，就是全世界著名物理學家集體自殺，自殺的理由都是一樣的，那就是“物理學不存在了“

這些人多少都跟一個“科學邊界”的學術組織有關係，這個組織提出“射手假說”和 “農場主假說”。

這兩個假說讓他們相信，古往今來物理學家所作的研究是毫無意義的，那些自殺的物理學家通過實驗發現假說是事實，於是就崩潰了。。。

射手假說：有一名神槍手，在一個靶子上每隔十厘米打一個洞。假設靶子上有一種智能生物，它通過觀察得出了結論：宇宙每隔10厘米，必然會有一個洞。它們把神槍手一時興起的隨意行為，當成了自己宇宙中的鐵律。

農場主假說：農場主每天11點給農場的火雞喂食。火雞中有一名科學家在經過一年的觀察後，宣布它發現了自己宇宙中的鐵律：每天上午11點，就有食物降臨。當它宣布這個定律的早晨，食物沒有降臨，農場主把它們抓去殺了。

不僅又想到，上帝擲骰子嗎？

  •   #跟帖#  如何在宿命論中找到“意誌的自由”是個問題，叔本華說“人能做其所意願，但不能意願其所意願”， [人到中年] - 未完的歌(0 bytes ) 2023-01-14

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《ZT》

https://www.pingwest.com/a/240408

劉慈欣的科幻小說《三體》，讓很多人知道了“三體問題”這一世紀難題。

這個問題，最初由牛頓提出。

當時，在用萬有引力定律解釋了行星(如地球)如何繞太陽運動的“二體問題”後，牛頓又想到了一個進階問題：

在太陽和地球的雙重影響下，月球如何繞地球運動？

於是，他在《自然哲學的數學原理》中提出了三體問題：

三個可以視為質點的天體，在其相互之間的萬有引力作用下，應該如何運動？

牛頓的經典力學，描述了一個決定論的世界。拉普拉斯曾斷言：“隻要知道宇宙中所有粒子的當前位置和速度，原則上就有可能預測任何時刻的情況。”

本以為隻是二體問題之上再加一個體而已，很快就能解決。

沒想到，牛頓根本找不到這個問題的通用解！

幾代科學家經過努力，也隻找出三體問題在一些限製條件下的特殊解。

例如位於非等邊三角形頂點的三個等質量質點，在初速度為0時的運動規律，幾乎毫無章法。

牛頓之後，歐拉、拉格朗日、泊鬆等許多數學家都向三體問題發出挑戰，但依然找不出它的通用解。

三體問題難在哪裏？

其實，早期的科學家根本沒有意識到，他們試圖解決的三體問題難度有多麽恐怖。

直到1885年，瑞典數學雜誌Acta Mathematica舉辦了一次國際數學大賽，其中第一道題是比三體問題還難的N體問題。

對於一個根據牛頓定律相互吸引的多質點係統，假設沒有兩點發生過碰撞，請找出各點坐標在已知時間函數中的序列展開，在任意時間段內均勻收斂。

翻譯一下就是：太陽係穩定嗎？會把我們的地球甩出去嗎？

時年29歲的法國數學家龐加萊接受了這一挑戰。二體問題此前已被牛頓解決，於是龐加萊從限定條件下的三體問題入手：

假設其中兩個質點的質量足夠大，使得第三個質點的質量對前兩個不造成影響（有點像是研究兩個行星和一粒灰塵之間的相互作用）。

這還不夠，再把它們的運動都限製在同一個平麵上。

△龐加萊手稿

怎麽樣，夠簡化了吧。

可是龐加萊用了整整三年時間也沒得出完整結果，隻是解出了一些特殊情況。最後趕在大賽截止日期前提交了論文，還成功勝出，領到了獎金，美滋滋。

△龐加萊

然而在論文出版之前，審稿人對論文的某一部分看不太明白，寫信向龐加萊請教。

龐加萊細化自己的論證時，卻發現了致命錯誤，趕緊聯係出版社撤回已經印刷的論文，又把獎金全賠進去了。

在修訂論文的過程中，龐加萊發現了三體係統對初始條件的敏感依賴性。

即使完全知道了運動的規律，初始條件的細微差別，有時也會造成係統隨後運動的極大不同，使長期預測變得不可能。

這個現象後來被稱為混沌。

這就是《三體》小說中三體人麵臨的生存難題了——

在那個世界中，太陽有3個。

由於三個太陽運動軌跡的混沌性，三體人會遭遇晝夜季節無規律更替的“亂紀元”，極端天氣帶來嚴苛的生存環境讓三體文明不斷地毀滅。

現實地球上的天氣變化雖然沒那麽危險，但也是混沌係統。

氣象學家洛倫茲用“蝴蝶效應”來解釋這種現象，即蝴蝶扇動翅膀造成初始條件的微小差異，經過時間的放大都會造成劇烈的變化。

後來，有了計算機的幫助，科學家們能夠計算出更多三體問題中，一些存在周期性的特殊解。

如2017年，來自上海交大的研究團隊就利用超級計算機，一口氣發現了600多個全新的周期解。

但三體問題的通用解，還籠罩在混沌的陰影下。

這次做出了什麽突破？

既然是混沌係統，那就沒辦法了。

但並不意味著“三體係統”就研究不了——

這不，還有統計學嘛。

統計力學的著名科學家路德維希·玻爾茲曼，在1871年曾經提出過一個假說：

各態曆經假說(ergodic hypothesis)：一個孤立係統從任一初態出發，經過足夠長的時間後，將經曆一切可能的微觀狀態。

△雙擺係統，混沌係統之一

孤立係統，從熱力學角度來說，指不與外界交換能量或質量的係統。

隻要時間夠長，這種係統中所有可能的狀態都會發生。

在這個前提下，加上計算機和計算物理學的發展，蘇聯科學家在20世紀60年代有了新的突破。

對於由質量無等級差距的三個物體形成的“非層級三體係統”，有一個狀態是最可能發生的——

其中一個體最終會逃逸出去，另外兩個演變成規律運動、可預測的“雙星”係統。這個過程被稱作三體係統的衰變(Decay)。

△就像這樣

不禁讓人想到這個場景……（手動狗頭）

就這樣，研究的目標變成了“三體問題的統計預測是怎樣的”。

之後的研究發展並完善了使用相空間(Phase Space)來描述三體係統狀態的方法。(相空間是一個假想的空間，係統每個可能的狀態都對應相空間中的一個點)

時間來到2019年，來自希伯來大學的Nicholas Stone等人，終於在此基礎上得出了非層級三體問題的統計學閉合解。

然而，這項研究還有一些瑕疵。

按照牛頓的理論，引力是無距離限製的。導致描述三體係統狀態的相空間的體積也是無限的。

Stone團隊人為假設了一個“強相互作用區域”來解決這個問題。

還有，用相空間體積來確定概率，從而忽略了相空間的相當一部分區域描述的是有規律、可預測的運動情況，其中包括係統衰變後剩下二體的運動。

△特定初始條件下的規則運動

同樣來自希伯來大學的物理教授Barak Kol，將研究對象聚焦在係統衰變時相空間的流出通量(Outgoing Flux)上，而不是相空間本身。

這樣即使相空間是無限的，其通量也是有限的，就無需引入假設的強相互作用區域了。

Kol團隊還補充了統計演化模型來計算係統衰變，可以呈現為下麵這張管道圖。

從圖中來看，三體係統的運動狀態可以分成兩種，規則(regular)和遍曆(ergodic)，其中遍曆的情況要明顯多於前者。

而逃逸的情況，也同樣分成兩種，逃逸(escape)和偏移(sub-escape)。

Kol團隊把三體係統的狀態變化類比成在一個有光滑反射壁和一個小孔的瓶子裏不斷反射。

在經過一段時間後，從小孔脫離遍曆的係統狀態會進入“逃逸”或是“偏移”。

用這種統計方法預測的質點逃逸概率，比2019年和2006年的兩項研究所做的統計預測，都要更接近數值模擬值。

下圖是三個“三體”星係的質量，以及它們逃逸的概率預測(其中M是太陽質量，約為2×10³º千克)。

其中，“統計預測1”是這次研究的預測結果。

從圖中可見，相比於其他兩項最新研究，這一研究的統計預測結果，都更加貼合用“數值模擬”計算所得到的質點逃逸率。

當然，從圖中也能看出，質量更小的質點更容易發生“逃逸”情況。

對於這項研究給出的統計方法，論文作者、物理教授Barak Kol表示：

在數百萬台計算機上進行的模擬測試表明，這一理論所計算的結果，和計算機模擬的結果高度符合。

希伯來大學出品

這次的論文作者Barak Kol，是以色列希伯來大學的一名物理教授，曾於斯坦福大學獲得物理博士學位，還在特拉維夫大學、普林斯頓大學從事過博士後工作。

PS，如果想要自己製作“三體”模擬動畫的話，還可以用文末的Universal Sandbox遊戲試試~

可在任意位置添加天體，並修改質量、體積等屬性，然後觀察運動軌跡。

論文地址：
https://link.springer.com/article/10.1007/s10569-021-10015-x

上海交大600個三體特殊解動畫：
http://numericaltank.sjtu.edu.cn/three-body/three-body-movies.htm

Universal Sandbox：
https://store.steampowered.com/app/230290/Universe_Sandbox/

參考鏈接：
[1]http://www.mittag-leffler.se/library/henri-poincare
[2]https://mathematica.stackexchange.com/questions/135857/jacobian-of-parametricndsolve-and-findroot-for-the-three-body-problem
[3]https://phys.org/news/2021-y-theory-centuries-old-physics-problem.html
[4]https://nature.com/articles/s41586-019-1833-8
[5]https://arxiv.org/abs/2101.03661

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