《數學趣談》

《數學趣談》是一本科普書籍，由數學家的故事和有趣的數學問題組合而成。數學家的故事自然是些故事，沒什麽特別可說的。有趣的數學問題卻真的有些趣味。這裏簡單說說其中的三章：不完備性定理，一道有趣的邏輯題和找怪球問題。

 

1 先說說找怪球問題。

 

一般的n球問題是指下麵的問題：有n 個外表一模一樣的球，其中有一個球是怪球，它和其它的 正常球重量不同。現在隻有一個天平可用，請問至少要用多少次天平才可把怪球找出來，並告知它比正常球是輕還是重？

 

當n=12時，就是著名的12球問題，它的表述如下：有12個外表一模一樣的球，其中有一個怪球重量不同於其他11個正常球。隻允許使用三次天平，如何找出怪球並弄清輕重？

 

在給出12球問題解答之前，我們先定義帶信息的球。我們的球有灰白黑綠四種顏色，它們的具體含義是：綠色代表正常球，白色球表示它可能是正常球也可能是怪球，但如知道它是怪球則它比正常球輕，黑色球表示它可能是正常球也可能是怪球，但如知道它是怪球則它比正常球重。換句話說，白色黑色球含有部份信息，如果知道它是怪球，就知道它是輕還是重了。灰色球則沒有任何信息，即便我們知道它是怪球，它是輕是重還得進一步確定。

 

一開始12個球都是灰色球。

 

各取4球分別放在天平的兩側。分兩種情況分析。

 

第一種情況，兩邊相等，8個球均是正常球，塗上綠色，還剩4個灰色球。取3個綠色球放天平一側，3個灰色球放另一邊。如兩邊相等，將3個灰色球塗上綠色，剩下一個灰色球（和一個綠色球）再稱一次便知輕重了。如兩邊不等，給3個灰球塗上顏色：灰球重則塗黑，輕則塗白。剩下的灰球是是正常球，塗綠。最後三個白球或者黑球，再稱一次可找到壞球。如壞球為白則輕，為黑則重，無需再稱了。以白球為例，天平兩邊各放一個白球，如兩邊想等則為正常球，都塗綠，最後的白球是怪球並且較輕；如兩邊不等則輕的為怪，其它的白球塗綠。

 

第二種情況，兩邊不等，未稱的4個灰球為正常球，塗上綠色。剩下的8個球，分別塗上白色黑色：重的那邊為黑，輕的那邊為白。取兩個白球放天平左邊，兩個白球放天平右邊，天平左右各加一個黑球。如兩邊相等，天平上的球全部正常，塗上綠色，剩下的兩個黑球分放天平兩側再稱一次可知重的那個為怪球。如兩邊不等，說明怪球要麽在輕的那邊兩個白球之中，要麽是重的那邊的黑球，如何確定是哪種呢？將懷疑中的白球分放在天平兩邊再稱一次便知。

 

12球問題是個大家耳熟能詳的問題，但這個特殊解法卻是作者自己想出來的。我最早把這個解法告訴女兒，她為此專門做了一期視頻，在油管上發表，標題是 “Can you solve the classic 12 marbles riddle?”，有興趣的讀者不妨找來看看。