試解

設AB=x, AD=y, 則
  BC^2 = AB^2 + AC^2
       = AB^2 + (AD + DC)^2
       = x^2 + (x+y)^2
       
於是原題轉化為條件極值問題:
已知 x^2 + y^2 = 10^2
求  x^2 + (x+y)^2 的最大值

   x^2 + (x+y)^2
 = 2x^2 + 2xy + y^2
 = x^2+y^2 + x^2+2xy
 = 100 + x^2 + 2xy    
 
 設m=(sqrt(5)-1)/2， 則有 m(m+1) = 1
 故 2xy = 2 * sqrt(m(m+1)) * xy
        = 2 * sqrt(m)x * sqrt(m+1)y
        <= mx^2 + （m+1)y^2

因此  100 + x^2 + 2xy
   <= 100 + x^2 + mx^2 + （m+1)y^2
   = 100 + (m+1）（x^2 + y^2)
   = 100 + 100*(m+1)
   = 100 * （m+2)
   
故BC的最大值是
  sqrt(100 * (m+2))
  = 10 * sqrt(m+2)
  = 10 * sqrt((sqrt(5)+3)/2)
  = 5 * sqrt(2*sqrt(5) + 6)

得到的結果比較複雜，不知有沒有算錯