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股票Beta的理解誤區

隨便找個AI問一下，what is a stock's beta，往往得到如下差不多的解釋：

A stock's beta (β) is a measure of its volatility, or how much its price tends to move in relation to the overall market. It quantifies the degree to which a stock's price fluctuates compared to a benchmark index, typically the S&P 500. Investopedia explains that investors can check a stock's beta when choosing a stock that matches their tolerance for risk.

許多人想當然認為 beta 就是該股票波動率對市場（比如S&P500）波動率的比例。如以波動率為風險標準，beta=1想當然就是與市場（S&P500）風險大致相當，beta>1就是比市場風險更高，beta

我們來看一下beta的定義再看這個說法是否準確。 假定某股票的回報率是\(r_s\)，市場（比如S&P500）的回報率是\(r_m\)，二者都是隨機變量，那麽beta的定義就是回歸係數： \[ \beta = \frac{\mbox{Cov}(r_s, r_m)}{\mbox{Var}(r_m)} \] \[ \mbox{Cov: covariance, 中文協方差} \] \[ \mbox{Var: variance, 中文方差} \] 意思是 \[ r_s = \alpha + \beta r_m + \epsilon \] 這裏\(\epsilon\)是回歸誤差，\(\epsilon\)與\(r_m\)不相關: \[ \mbox{Cov}(r_m, \epsilon) = 0 \] 這樣該股票回報率的方差可以被分解為兩個部分: \[ \mbox{Var}(r_s) = \beta^2 \mbox{Var}(r_m) + \mbox{Var}(\epsilon) \] 把該股票的波動率及市場的波動率分別寫為 \[ \sigma_s = \mbox{Var}(r_s) \] \[ \sigma_m = \mbox{Var}(r_m) \] 同樣，把回歸誤差項的波動率寫為 \[ \sigma_\epsilon = \mbox{Var}(\epsilon) \] 那麽 \[ \sigma_s^2 = \beta^2 \sigma_m^2 + \sigma_\epsilon^2 \] 顯然可見該股票波動率與市場波動率之比不一定正好是\(\beta\)。

熟悉回歸分析的都知道相關係數 \[ \rho = \frac{\mbox{Cov}(r_s, r_m)}{\sqrt{\mbox{Var}(r_s)\mbox{Var}(r_s)}} \] 也知道相關係數\(\rho\)與回歸係數、(\beta\)之間的關係 \[ \beta = \rho \frac{\sigma_s}{\sigma_s} \] 也就是 \[ \frac{\sigma_s}{\sigma_s} = \frac{\beta}{\rho}\] 熟悉回歸分析的也都知道\(\abs{\rho\}\leq 1\)，所有波動率之比不小於\(\beta\)，一般大於\(\teta\)。

回歸分析中的beta項是市場係統風險。回歸的誤差項\(\epsilon\)投資界稱為idosyncratic risk（中文公司特質風險）。舉個例子，大蘋果AAPL的\(\beta\)大概在1.0左右，但單個蘋果股票的風險（波動率）遠高於市場（S&P500）。投資界一般認為idosyncratic risk可以通過diversification降低。