漫話西周

第四十章 數學科學——籌算與算盤

　　我國是世界上最早發明數學科學的國家之一，享有很高的聲譽。在遠古時期就已產生了簡單的數理知識，到商周我國的數學知識已取得了長足的發展，步入了新的發展階段。考古發掘出土的甲骨文、全文和演算工具實物，可以概括出以下幾方麵的成就：

　　1.已發明了十進位製

　　這一發明是一仲極其偉大極其光輝的科學成就，馬克思曾說過這是“最妙的發明之一”。

　　我國的十進位值記數法，在商代以前就有了。到了商周已進入到了成熟階段。殷代甲骨文中已大量出現十進位數，如二千六百五十六寫成甲骨文為門。六百五十九寫成為，即六百又五十又九。這裏把文字取掉後就成為六百五十九，這和十進位值製記數法全同，而這種記數法采取了一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬等合文的方式記出十萬以內的自然數，這個成就遠遠領先於世界各國。

　　到周代的甲、全文中這種用法已十分普遍，不管記載作器日期，或是記載戰俘收獲物的數量和紀年等都采用了十進位值製。

　　2.發明了二進位值製

　　這是遙遙領先於世界的重大成就。這個發明被普遍應用於當時神秘的《周易》八卦之中。

　　《周易》八卦起源甚早，以往一般人都把它視為神秘莫測的秘書。近年來隨著國內外學者廣泛的研究，都普遍認為這是一部哲理深奧、數理無窮的寶典，不僅具有辯證唯物思想，同時在八卦計算法中已具有二進位製的思想。郭沫若先生認為：“從《易》的純粹的思想上來說，它之強調著變化而透辟地采取著辯證的思維方式，在中國的思想史上的確是一大進步。”馮友蘭先生更進一步強調：《易學》是“一套比較完整的辯證的宇宙代數學。”潘雨廷先生說易學中“某些觀點的確新穎，如時空合一，早有數學模型，早在研究信息論，且皆有相當成就。”

　　國外科學家也十分重視易學研究，並從中悟出二進位的真正函義。17世紀德國數學家、哲學家萊布尼茨成功地發明了二進位製數學體係和最初的計算機，他確是受了易圖的啟發，所以他認為二進位製發明權應歸中國。至於萊布尼茨發明二進位製體係緣係八卦易圖說，英國著名學者李約瑟在其《中國科學技術史》中作了詳細介紹，並把兩張《易圖》（即萊布尼茨多方案取的）附在本書中，說明了他們二人如何求取《易圖》和從中發現二進位製原理的過程。（詳見王贛、牛力達、王兆玫著：《古易新編》序和前言）

　　3.籌算和算盤

　　關於算籌的記載，最早見於文獻和實物的是《老子》和戰國時期的刀幣和布幣上。《老子》書中有：“善計者不用籌策”。有此戰國時期的刀、布幣上已有籌算數字，如1、11、111、1111、⊥、π等《中國錢幣辭典》

　　從以上材料分析，說明我國算籌這一計算工具在西周初就已發明，以往我們看到的實物是西漢以後的東西，故這一發現要比西漢實物早多了。

　　珠算和籌算一樣，也產生於西周初年。珠算實物即陶球在周原扶風和岐山兩座西周建築基址中都有出土。在岐山鳳雛村西周建築基址的4號、5號和6號探方中，共有90個，這些陶球的形狀為圓形，表麵光滑，顏色分青、黃兩種。李培業和劉亮同誌結合古文獻分析認為，這些陶球是我國迄今發現最早的計算工具之一的算盤的“算珠”，這種算珠是用作槽算盤作計算用的，使用時以色別珠，青色陶球為“天珠”，每珠代表數字為五，黃色陶球為“地珠”，每珠代表數為一，其使用比例為1：4，而鳳雛遺址共出的九十粒陶球，其中黃色七十粒，青色二十粒，按1：4搭配成算盤還差十粒黃色球，這十粒也許已丟失了。這種陶球在扶風召陳遺址中也有出土，羅西章同誌也同意這種看法（見羅西章：《周原出土的西周陶製生產工具》、《文博》1988年第5期；李培業：《關於西宮室遺址中出土的陶球考察》；劉亮《關於周原遺址出土的陶球》；戶穀清一：《從西周宮室遺址出土的陶球探索算盤的起源》；鈴木久男：《亞細亞算盤起源考》載《珠算史研究》第10號，1985年3月）。

　　這樣一來，我國的算盤由春秋說提前到了西周初年與算籌一樣，當是世界上最早的計算工具了。這種槽算盤以後在東漢、徐嶽編撰的《數術記遺》，北周時甄鸞作了注，在此書中就提到了槽算盤的格式和運算，亦分青、黃二色作天、地珠，放在槽內，在橫梁上下移動運算。

　　我國商周時期的數學在世界上是處在領先地位的，比埃及、希臘、巴比倫等國要先進的多。商代“在數學方麵，卜辭中已有複位數，最大的數目是三萬。商代已能進行一般的算術運算，能繪製比較複雜的幾何圖形”。（郭沫若：《中國史稿》第一冊，201頁，人民出版社出版，1976年7月）

　　在周代的貴族學校中已有數學課程的設置，《周禮》說保氏“教國子以藝”，談到“六書”“九數”，即六十甲子序數和九九乘法表，九九口訣已經流行。《左傳》昭公三十二年說周成王築洛陽城前要統計各種材料說：“士彌牟營成周：計丈數，揣商卑，度厚薄，仞溝洫，物土方，議遠邇，量事期，計徒庸，慮材用，書倉糧，以令役於諸候。屬役賦丈，書以授帥，而效諸劉子。韓簡子臨之，以為成命。”這說明士彌牟把王城的長、寬、高和溝洫土石方、人口數、往返裏程和幹糧數等都計算非常周密，沒有廣精的數學知識是不可能作到的。足見我國當時的數學成就是對世界人類文明的重大貢獻，比古巴比倫的六十進位製，古埃及的幾個數字符號和古希臘的用字母表示1～1萬的數要先進得多。比印度用阿拉伯數的十進位製要早一千多年，印度發明阿拉伯數是公元六世紀的事。

　　力學、聲學和光學都是屬於物理學範疇的學科，我國在商周時期在這三方麵也取得了重大成就。

　　力學是包括所有的機械運動，而一個物體對另一個物體位置發生變化稱機械運動。類似這類的運動變化被商周的勞動人民發現了，並極據其運動規律總結發明了力學方麵的有關器具，如力矩和重心的關係。他們在總結我國仰韶文化的尖底瓶原理的基礎上發明了“欹器”。西安半坡仰韶遺址出土的陶質尖底瓶，放入水中會自動傾倒，讓水灌入，當水灌滿後即自動豎立，這種利用重心和定傾中心的相對位置跟浮體穩定性關係的處理方法，發展到商周的“欹器”的製作，無疑是經過多次經驗總結產生的。《荀子·宥坐》說這種器物“虛則欹，中則正，滿則覆。”說明裝水時不多不少時直立的，多了就翻倒，少了也傾斜，說明這種掌握重心升降達到穩定平衡的原理在當時已有深入的研究。

　　至於簡單的機械，如杠杆、滑車、輪軸，桔棒、轆轤等都是力和力矩概念的應用。《墨經》記載杠杆支點的一邊叫做“本”，另一邊叫做“標”。說：“衡，加重於其一旁，必垂，權，重相若也。相衡，則本短標長。兩加馬，重相若，則標必下……長，重者下，短，輕者上”。這種距離和平衡關係的描述比公元前3世紀的阿基米德要早得多。《荀子》一書還講到了力學中塑性形變的問題：“木直中繩，以為輪，其曲中規，雖有槁暴不複挺者，使之然。”這就是說筆直的木材經火烤彎成輪子以後，再枯幹也不會重新變直。

　　在力學中的應力到戰國時期已提出來了，並作了探索和大膽的設想。《列子·仲尼篇》說：“發引千釣。”，同時湯問篇說：“發引千釣，勢至等也。”前者是公孫彪提出的，後者是公子牟加以發揮的，意思是一根毛發引千釣重物是由於重物作用在毛發上的“勢”處，相等的緣故，也是我國自古以來流傳的各言“千鈞一發”的來曆，當然任何材料都有負重的極限，一發不可能負如此重的東西，但是當時已看到平均分配在單位麵積上的力，而正是這種單位截麵積上所承受的重力，在近現代科學上就是“應力”的概念。

　　同時對浮力與比重的關係也有了科學的認識。《墨經》說：“荊（形）之大，其濃（沉）淡也，說在具（衡）”“沈（沉）、荊（形之具（衡）也，則沈（沉）淺，非荊（形）淺也。若易五之一。”這說明當時的科學家已認識到浮體沉浸在水中的部分（就是排開液體）和浮體的關係，這種原理和後來希臘阿基米德的浮力與比重的關係是一致的）。

　　運動力學方麵在《考考記》等書中都有記載，如馬車突然停止時，馬不走了，但車子慣性前進一段。早在殷代人們就利用力的平行四邊形法則設計出了戽鬥，兩個人利用繩拉戽鬥把水從河渠中提到岸上的田地中，這二人的力加起來的合力就便戽鬥一上一下運動，比一人提水要省力得多，效益也大為提高這種方法一直延用到現代，同時《考考記》中還把製造箭的要求進行了科學的規定，提出箭幹、鏃頭、後羽要按一定比例製作，這樣才能使箭在疾風中循著彈道前進。若箭幹前輕後重，或前重後輕，都會影響箭飛行的高低。箭幹中間若過輕或過重會影響箭飛行的穩定性，而箭尾羽毛多寡又會影響箭飛行的速度和準確度。這比中世紀才出現的亞裏士多德學派拋射體沿直線前進的理論要高明得多。

　　聲學是研究一切聲音的科學。西周時期聲學的發展也是十分令人驚歎的，這門科學在我國具有十分悠久的曆史，早在炎黃時代就發明了“五聲”、“五音”，考古出土了類似吹奏的樂器，如陶殞、骨笛等。到了商周得到了進一步的發展，尤其是鍾磬音樂和音律學取得了顯著成就。商代已能用各種材料，如金、石、竹、木、草、絲、陶等製造各種樂器，考古發現的有塤、磬、、鼓等，有些是成分裏的演奏樂器。

　　音律學是對樂器的樂譜進行數學研究的科學。律是指的每個音的音高規律。編鍾和石磬在商代得到了發展，進入西周時更為發展了，西周初期已經發明了十二個律，能在一個音階中確定十二律，並在十二律中選取五個或七個音，組成一個音階的樂製已經形成到了春秋三分損益法也產生了，以此處理弦、管的長度和發音高低的關係，其原理是以一個被認定為基音的弦或管的長度為原則，把它三等分，再損一（去掉一分）和益一（加上一分），再以此確定另一個律的長度，這在數學上講，就是把發基音的弦的長度乘以三分之二，或乘以三分之四，以此類推，直到弦或管上得出比基音略高一倍或低一倍的音，這樣就完成了一個音階中的十二律的粗細及張力大小計算工作，使音調隨弦線和管的長度粗細及張大小的變化而變化。在樂器方麵，當時不僅有鍾、磬、、鼓等打擊樂器，還有多孔的管、用簧的笙和竽、用弦的琴和瑟等，並能利用共振原理，用各處簧在各種不同長度的小竹管中振動，發出不同高度的共鳴聲，起到了音箱的作用。

　　“五聲”，即指宮、商、角、徵、羽五個音階，在此基礎上發展為十二個音，即“十二律”而十二律又分六律六呂，故亦稱為“律呂”。這門包含物理學中的聲學、音響和計量學的綜合學科，即律呂學，此時已經形成。

　　如在河南輝縣琉璃閣殷墓和安陽小屯殷墓出土的大小陶塤，均為圓錐形，有五個音孔

　　這些膏銅編鍾能發出各種幽雅動聽的音調，與其特殊的造型是分不開的，所有鍾都似兩塊瓦合在一起的樣子，這樣就防止了發出的音波互相幹撓的弊端，所以《周禮·考工記》說：“鍾大而短，則其聲疾而短聞，鍾小而長，則聲舒而遠聞。”這說明當時後人們設計製造鍾時已考慮到了鍾的結構與傳聲，發聲響度的關係。沈括在《夢溪筆談》中從理論上分析鍾的結構原理時說：“古樂鍾皆扁如盒（合）瓦，蓋鍾圓則聲長，扁則聲短。聲短則節；聲長則曲，節短處皆相劄，不成音律。後人不知此意，悉為（圓）鍾，急叩之多晃晃爾，清濁不複可辨。”何若用圓鍾的話，則聲波會互相幹擾，采取編鍾就避免了這個問題的產生。

　　《莊子·雜篇·徐無鬼》中還說到了基音和泛音的共振現象。他說：“為之調瑟，廢（即置）於一堂，度於一室。鼓宮宮動，鼓角角動，音律同點。夫改調一弦，於五音無當也，鼓之，二十五弦皆動。”描述了基音的共振現象和基音與泛音的關係。這一發現在聲學史上比西方人要早得多。

　　古代的音樂家總是要“量之以製，度律均鍾”，也就是說必須根據一定的計算方法得出律來處理鍾的大小順序和發音高低，這樣用“紀之以三，平之以六，成於十二”。這種“紀之以三”的科學計算法才能得出準確的六律與六呂，六律和六呂合起來成為十二律呂。

　　光學在現代科學中是一門十分重要的學科。商周的勞動人民在生產和科學實驗中已觀察到光的性質即直線傳播，光的反射、折射等一係列原理，並根據光的特性發明了種種利用光能的器具，銅鏡和陽燧。後者是迄今發現我國最早利用太陽能的取火工具。至於銅鏡的出現就更早了。在青海省貴南縣齊家文化遺址中就有銅鏡一麵，到了西周光在陝西周原扶風一帶就出土了三麵西周早晚期的銅鏡，其中二麵為素麵、凸鏡、一麵為重環紋凹鏡，這說明當時人們對光的反射已有深刻的認識，一般銅鏡凸麵多，能照全臉麵，而凹麵鏡還起到了放大臉麵的作用。後來宋人沈括在《夢溪筆談》中就總結了這一原理，他說：“凡窪則照人麵大，凸則照人小，小金不能全觀人麵，故令微凸，收人麵令小，則金雖小而能全納人麵。”（參見《扶風縣誌》138頁。）到戰國時銅鏡就更多了。並在花紋裝飾上也開始講究，以流行的蟠龍紋居多。

　　當時在利用銅鏡進行梳裝打扮外，人們還發現了凹麵鏡的聚焦特性，利用它向日取火，當是世界上最早利用太陽能的典型例證，這種鏡在古代亦稱為陽燧。這種陽燧在周原就出土。1995年3月，周原考古隊在周原扶風黃堆發掘西周墓時於60號西周墓出土了一種呈圓形的青銅凹麵鏡，其直徑8.8、原0.19厘米，其形狀與現在的圓形太陽能灶相仿，經西安西北光學儀器廠對周原陽遂的測定，其曲率半徑20厘米，為一標準的球麵鏡，周原博物館按照原樣仿鑄了一件，經試驗，在強陽光下，最快時需三五秒鍾即可將放置於焦點處的易燃物引燃而產生明火，證明了該鏡為“陽燧”無疑。

　　“陽燧”在古文獻中多有記載。《周禮·秋官、燧氏》說：“司燧氏掌以夫燧取明火於日。”鄭玄注：“夫燧，陽燧也。”《疏》雲：“以其太陽之精，取火於日，故曰陽燧。”《周禮·考工記人》雲：“金錫半，謂之鑒，燧之齊。”《淮南誌·天文明》進一步解釋陽燧說：“故陽燧見日，則燃而為火。”注雲：“陽燧，金也，取金杯無緣者，熟摩會熱，日中時，以當日下，以艾承之，則燃得火也。”崔豹在《古今注·雜注》中亦說：“陽燧以銅為主，形如鏡、照物則影倒，向日則火生，以艾燃之則得火。”足見陽燧是我國周代利用太陽能的青銅工具。在世界科技史上占有重要地位。（參見：《中國文物報》1995年11月19日，邊江、楊官：《陝西出土西周青銅陽燧》副標題：《迄今國內最早人工金屬取火用具》）

　　到春秋戰國時偉大的科學家墨翟等人曾對光束、光的折射、反射等原理作了理論上的探討，他是世界上第一個進行小孔成倒像的實驗家，並作了科學的解釋。他解釋說光穿過小孔如射箭一樣，是直線行進的，人的頭部遮住了上麵的光，成影在下邊，人的足部遮住了下麵的光，成影在上邊，就形成倒立的影，這是對光直線傳播的第一次科學解釋。

　　墨家對凸凹鏡、麵的研究也是十分深刻的，在《墨經》是我國最早的一部科學名著。在這部著作中明確記載了墨家對凹麵球麵鏡照物時，球心與焦點已能區分，並得出：“當物作放在球心之內得到的是正立的象，距球心近的像大，遠的像小。當物體置在球心之外，則是倒立的像，距球心近的像大，遠的像小。當物體在球心處時則像和物體重合在一起的結論。

　　對凸麵鏡研究的結論是：凸麵鏡的像不管物體放在何處都是一個正立的像。像在鏡麵的另一側是虛像，而比原象物體都小。