在北美，每個學年上半期的競賽多安排在10到11月份，下半學期的競賽則在2月中到4月中；都是安排在學期中間、而且是當周的中間（周三或周四），不至於剛開學時手忙腳亂，或者臨近期末考試時恐慌萬狀。競賽組織者也有時間從容地出題、閱卷、頒獎，考生們則可充分發揮自己的聰明才智，好好地秀一場。

然而，競賽可不是每個學生都敢於參與的，很多人尤其是女生，害怕做競賽題；這倒不是智力問題，而是態度和方法的問題。我曾經鼓勵一個女生去參加競賽；她說絕不，因為那樣的話她就得Work harder。還有的家長，害怕做題會傷了孩子的身體；其實，他們是傷了孩子的智力。腦子總是越用越靈活的，哪有飽食終日的天才？

另一個是方法問題。有一個12年級的女生想去考Euclid競賽；我給她講了一道幾何題，她根本就聽不明白。仔細一問才發現，她記不住任何一個有關幾何度量的公式，就連三角形的麵積公式也不知道；真不知道她的中學12年是怎麽度過的。記不住公式也就罷了，你能有點基本的邏輯推導能力也行啊；隻要時間足夠，臨時推出來更好；可惜的是，平時就不愛動腦子的人，要她在考場上去動腦子，無異於天方夜談。

都說中國的學生會考試，其實那都是形勢逼迫出來的。在中國，你如果不去總結、記住，不去思考出快人一等的方法，那就沒有你的活路。我上中學時的學校教導主任、也是我的數學老師就是這麽說的，他家是地主成分，當時不讀書就隻有被專政的路。西方發達國家的華人學生們，請讀讀下麵我對數學競賽內容的總結，再看看還有哪些不足，也去競賽場上拿個獎試試？

高中數學隻有初等代數、歐幾裏德幾何、坐標幾何、初等數論、初等組合數學五部分內容。看清楚了，都是“初等”！有人叫“高等函數”，隻不過是相對於“Kindergarten Functions”來說的；函數不過是代數與坐標幾何的結合。美國人的教學大剛裏隻有算術、代數和微積分，加個前綴pre-或者下標1、2, 也還是這些內容；幾何被他們穿插到Algebra1和Algebra2中去了。微積分在高中數學競賽中是用不上的；當然，如果能夠掌握極限與微元、積分的思想，對於CMO、USAMO、IMO等等XMO，那是大有益處的。

普通的學校代數隻教式子的運算（加、減、乘、除和冪）、方程以及不等式。式子包括整式、分式、根式、指數式、對數式、三角式和其它自定義的式子，如階乘、取整、行列式等。運算規則共有五組：（1）交換、結合、分配、消去律，（2）冪的乘、除法則，（3）冪的加、減法則，包括二項式定理，（4）對數的運算法則，（5）一些級數的求和公式，如等差、等比數列。方程和不等式隻解到二次。

競賽中的代數要解三次及更高次的方程及不等式。三次、四次方程有固定的解法，五次或以上的方程沒有根式公式，但是可以用根與係數的關係（Vieta’s Theorem）、牛頓恒等式去得知根的信息；或者用連續函數的介值定理去確定實根的位置。虛數根總是可以求出的，隻要用上我發明的輾轉降次法。在競賽數學中，還得知道複數的運算規則、三角表示以及在幾何中的應用。此外還有連分式、無窮次嵌套的根式/指數式的運算與方程求解。

不等式的證明是一個難點。需要掌握一些基本的不等式，如Bernoulli不等式、平均值不等式、Cauchy不等式、Jensen不等式、Holder不等式、Minkowski不等式。對於單變量的不等式，可以用導數的正負去判定函數的單調性，不等式總是能推出來的。對於多個變量的、帶條件的不等式，可以通過變形、變量代換，靈活運用上述不等式可以推出；如果知道微積分中的拉格郎日乘子法，則沒有不可證明的不等式。

初等數論在學校裏就沒有正兒八經地教過；有的老師連1是不是質數都不知道。大多數學生除了2、3、5的整除規則，因數分解的列舉法、樹狀圖法外，其它一無所知。有個學生在考Fermat競賽時，去分解一個四位數的正整數，用的是樹狀圖（她隻知道此法），還沒有等到她分解完，考試就結束了。IB學校裏選修初等數論時，應學的內容有：整除、質數的基本性質，Euclid輾轉相除法（求公因數的一種算法），算術基本定理，同餘式，數論函數，不定方程。在數學競賽中，不定方程是一個難點，因為沒有固定的解法。一次、二次及分式不定方程有固定解法，但沒有解的初等函數表出的公式，需要用到三角和、複積分。其它方程一般隻能猜猜試試，使用任何相關的ad hoc arguments，得到部分解也好。任何一個不定方程的解答或解法，都可以當作一篇論文發表。有關存在性的證明題，更是需要構造性的思路；你可以套用勾股數、海倫數，要想到理想數、代數曲線可不是件容易的事。如果能夠構造出一種新的數學結構，其意義將遠大於數學競賽本身。

學好代數的關鍵是學會如何列方程式。普通學校教出來的12年製中學生大多不會列式，也就是不知道把人類的自然語言翻譯成數學語言：用數字、符號和形狀表出的關係式。找關係式隻需要掌握兩點：一是套用別人總結好的公式、定律或法則，二是用不同的方式去表述同一個量。我們有直接與間接，正與反，分與合，窮舉、歸納與演繹等等對立方式，還有各種不同的公式；比如三角形的麵積公式就有十個之多。有此，坐標幾何或者所謂的解析幾何也就搞定了；因為幾何形體的形成規則是告訴了你的。至於運動軌跡未知的形狀，需要用到各種各樣的力和牛頓運動定律，學校裏的數學老師們是不懂的；考生們隻能在物理競賽中遇到了。

學校幾何隻教幾種基本圖形（多邊形、圓、多麵體、球、圓柱圓錐）的度量，這些圖形的部分如扇形、球台、圓台的度量也不會教。至於各種度量之間的相互關係，隻有勾股定理、全等/相似圖形、正/餘弦定理。在數學競賽中，考生還得知道：正切定理、Stewart定理、角平分線定理，圓內角與邊的關係（包括Ptolemy定理、Brahmagupta公式），四點共圓的條件，三角形的各種中心，越多越好。最重要的一點是，知道如何作輔助線！

計算性的幾何題可能需要三角學，那30來個三角恒等式必須熟記於心。我至今還沒有遇到一個中學數學老師或學生，能夠把所有三角恒等式背下來或者推導出來。如果不會三角學，那就隻能用坐標幾何或者向量代數了。坐標幾何中，關於距離、角度、麵積、體積的公式不多，是人都可以記住，但是，方程解起來就麻煩了；有時候不得不放棄。一個折中辦法是用向量；任何直邊形（多邊形、多麵體）問題都可以解決。遇到曲邊形時，2維平麵上可以使用複數的極坐標形式，3維空間裏可以使用四元數。有式可表的形體，它的度量或性質隻是幾步代數計算而已。人類已有幾何定理的機器證明，就是通過代數化實現的。

無式可表的學科要數組合數學了，它包括計數、組合恒等式、組合設計、組合幾何等。學校裏的計數隻教加法原理、乘法原理、容斥容理、鵲巢原理（Dirichlet Principle）, 公式隻有不重複或可重複的排列組合、和取物不限個數的方法數，共五個。要參加競賽，考生還得知道遞歸計數法、一一對應法、生成函數法。組合恒等式的推導有兩種方法；一是通過導數或者積分化為等差/等比級數的求和，這需要微積分。二是設計一種計數環境，用兩種不同的方式去數同一個量。

在一些動態計數過程如數學遊戲中，可以用集合來表示狀態。具有必勝策略的數字遊戲，必勝的狀態可以遞歸地表示出來。我做遍了所有數學競賽中的數字遊戲題，發現它們的必勝狀態都可以公式化。至於棋盤類的遊戲，狀態函數可以用矩陣表示；涉及到概率的，可以示Markov鏈去表示。遊戲題好玩又開動腦筋，可是太耗時，競賽中一般放到最後才去做它，即使出題者把它放在前麵；除非你以前做過那種遊戲。

在競賽數學中，還有邏輯問題。命題邏輯、謂詞邏輯、遞歸邏輯不是中學數學的範疇，但競賽中有不少命題（一階）邏輯的問題。其實，學會三段論推理是學習任何學科的前提！如果連逆命題、否命題、逆否命題的概念都不清楚，那你推出來的結論又怎麽合符常理？我從高中一年級開始給學生們講最簡單的數理邏輯，絕大多數的人都是能夠明白的。句式都可以公式化，連結詞就那麽三、五個；我還試圖把數理邏輯機器化呢！

還有一個多月的時間，這個學年的各種數學競賽就要登場了，你準備好了嗎？我還是那句話，考不好沒關係，考好了就大有關係！