最近討論人口動態和移民政策比較熱。文學城常有文章說日本700年後將瀕臨人口滅絕等等，馬斯克也來湊熱鬧，忽然tweet了一句“No humans, no humanity”【1】。然而幾乎所有的討論都欠缺基於數學和經濟學的邏輯思維，所以今天想用極簡單的數學語言給大家介紹各國的人口動態，教育和移民政策極其後果。如果讀者能舉一反三，則會有所裨益。

先介紹幾個簡單的符號：

國家財富（土地和其他生產資料，固有資產，等等）：N元

國家財富的一部分（p）可以分配給人民。

分配給人民的財富：N*p元

國家總人口：M

個人平均財富：q=N*p/M

個人平均財富中隻有一部分（r）可以用來培養子女

個人可用於培養子女的資本：z = q*r

培養一個子女所需要的資本：Z

上麵的每個字母代表的變量其實都隨時間而變化。因為我們隻討論當前，所以可以把它們當作常量。如果你在每個變量後加上時間t，如N(t)，p(t)，M(t)，等等，得到的方程就叫動態方程。這就需要你的舉一反三。我們暫時還是把它們當作常量。

這些符號可以幫助我們做一些簡單的推斷：

1. 如果 z > 2Z，每家平均會培養兩個或更多的小孩。

2. 如果 Z < z < 2Z，每家平均隻能培養一、兩個小孩。

3. 如果 z < Z，每家平均隻能培養少於一個小孩。即很多家庭就不能培養小孩了。

第二和第三種情況下，人口就會降低。勞動力就會短缺。如何解決？通常政府會有如下四種方法。前兩種方法很簡單，但後兩種方法需要解釋。

1. 增加個人可用於培養子女的資本z，如加拿大的兒童福利牛奶金（Child care benefit）和教育基金（The Registered Education Savings Plan）等，使得 z > 2Z 以增加人口。

2. 減少培養一個子女所需要的資本Z，如免費教育等，目的也是使得 z > 2Z 以增加人口。

3. 接受移民。移民帶來兩種財富，一是移民在其原所在國已經積累的能隨身帶來的財富，另一種是移民通過貢獻廉價勞動力而產生的財富。兩者加起來可以獲得的個人平均財富為Q。如果Q > q (當地人的個人平均財富)，則移民於國家有利；如果Q < q，則移民於國家有害。

有的國家有投資移民的政策。如果你隨身帶來的財富已經遠遠超過了當地人的個人平均財富q，國家就會因為你的移民而變得更富有。也是因為這個原因，特朗普希望接受挪威來的移民，而不願接受他嘴裏的shithole 國家的移民，因為前者的Q通常遠大於後者的Q。同樣的道理，日本雖然人口下降，但始終不願接受窮國的移民或難民。美國過去想通過聯合國往日本分派移民，遭到日本政府的強力反對。所以拜登總統氣不過，說日本排外【2，3】，但日本回擊說拜登罔顧事實，胡說八道【4】。

如果一個國家的經濟在蓬勃上升，則廉價勞動力可以產生大量的財富，比較容易達到Q>q，於是國家因為移民而得到經濟發展。如果國家的經濟停滯不前，則廉價勞動力隻能產生有限的財富，國家反而會因為移民而變得貧窮。加拿大近幾年限製移民，就是因為經濟停滯。如果新移民來找不到工作，根本就不可能創造Q > q。

如果Q > q，則國家會因為移民而變得更富有。

如果Q = q，國民的財富保持現狀。

如果Q < q，則國家因為移民而更貧窮，更沒有財富培養小孩，對外國的有錢人便更沒有吸引力，於是窮國來的國民就更多，國家進入惡性循環。歐洲諸國便是如此。

如果新移民大多來自窮國，那麽新移民和老移民就會有一個重要區別。因為新移民通常比較節儉，他們培養一個子女所需要的資本Z往往低於老移民培養一個子女所需的Z。所以我們定義兩個Z：

新移民培養一個子女所需要的資本：（Z_new）

老移民培養一個子女所需要的資本：（Z_old）

有個普遍規律，就是 N_new << Z_old。

如果新移民和老移民的收入相同，則新移民更能培養下一代，會生更多的孩子。

4. 政府無為而治，接受人口從M下降至m。這一政策又有兩種後果。如果國家財富（N）的下降慢於人口（M）的下降，q就會上升（過去10萬元10個人分，每人隻有一萬元。如今8萬元4個人分，每人反而有2萬元）。於是z也上升。如果能達到z > 2Z，則每個家庭又能培養兩個以上的子女，社會於是進入一個新的人口平衡。所以大家用不著擔心日本人口將在七百年後瀕臨滅絕。

反之，如果人口下降導致勞動力短缺和大規模資產外流，則國家財富（N）的下降會快於人口（M）的下降，於是q繼續下降，社會進入惡性循環，最終富人都走了，隻有窮人還在留守。這就是為什麽一個穩定的國家必然有一個龐大的中產階級。如果隻有窮人和富人，隻要窮人喊一聲“打土豪分田地”，富人就開溜了，這樣國家的財富就會大起大落。所以鄧小平說讓一部分人先富起來，但大原則是共同富裕。如果沒有共同富裕的大原則，就不會有一個維護國家穩定的中產階級。殖民地時的海地和種族隔離的南非，都是財富兩極分化的極端例子。貧窮的黑人喊一聲共同富裕，富有的白人立馬卷錢開溜，於是國家立馬陷入經濟危機。有人說隻要大家愛國，富人就不會潤到國外去，所以即使沒有一個強大的中產階級，國家也可以保持相對穩定。中國在1949年解放時確實有些愛國的民族資產階級沒有潤到國外去。他們的財富和他們的愛國熱情，給執政的共產黨提供了難得的穩定因素，於是經濟發展得以延續。很多愛國知識分子也同樣貢獻了他們的知識財富，使得科技的發展也得以延續。隻可惜大多數共產黨的領導人不明白這些簡單的道理，最終是恩將仇報。順便說一句，馬斯克家族是南非有名的財閥，但馬斯克的父母還住在南非。其中原因有二。其一是他們兩都反對原來的種族主義。其二是新的南非政府比共產黨政府更通情達理一些，沒有通過公私合營巧取豪奪，讓資本家生不如死。通情達理的政府通常都有回報。南非於1994年終結種族隔離。那時的人均GDP隻有$3461。到2022年，人均GDP已經達到$6766。南非的經濟因為新冠病毒而受到重創（奧密克戎變異株就來自南非），但艱難時期已經過去。南非因其經濟成功而成為白人種族主義及其走狗的眼中釘。

我覺得上麵的討論已經給大家提供了舉一反三的基礎。有興趣的可以自己在每個符號後加上時間t，產生動態方程。幾乎所有的比較現實的動態方程都沒有解析解。現在大家有計算機，可以學點數值解法，自我提高。

美國的議員們覺得所有的問題都是簡單的Yes或No的問題，或者是可以在聖經中可以找到答案的問題【5】。他們和我們這些生活在現實世界裏麵的芸芸眾生是根本不同的。如果你覺得你不可能當美國議員的話，那還是努力自學提高吧。

數學模型都是錯的，但數學模型不會含糊其辭，也不會隱瞞真相。數學模型中的假設一目了然，如果假設錯了，別人可以看出來。有的數學模型表達道理時強於口頭語言更清楚。網上討論俄烏戰爭和以哈戰爭的很多，有很多戰爭的數學模型，有專業的，也有供消遣的。希望網友們能夠用x, y, z 代替那些傷人的語言。

【1】https://twitter.com/elonmusk/status/1787740176695112185

【2】https://www.reuters.com/world/biden-blames-china-japan-indias-economic-woes-xenophobia-2024-05-02/

【3】https://www.ctvnews.ca/world/president-joe-biden-calls-japan-and-india-xenophobic-nations-that-do-not-welcome-immigrants-1.6871181

【4】https://www.reuters.com/world/asia-pacific/japan-tells-us-that-bidens-xenophobia-comment-is-regrettable-2024-05-07/ 

【5】https://www.youtube.com/watch?v=syPELLKpABI