(淡彩花卉)

這幅畫是拿家裏桌子上的花草做一個三維到二維空間的“淡彩白描”投影。我這裏當然是比傳統的白描“花哨”的多，零八年了嘛，加些時代感。如果你能從這幅畫上看出花草的話，下麵的四維多麵體的投影是一個道理，但老實簡單的多，對你應該是小菜一碟。

根據前麵的敘述，到了十六世紀，人們已經把傳統意義下的正多麵體的存在性和它們的對偶都已經了解了。下麵我們把更廣泛意義下的正多麵體和它們的對偶交代完。

到了十九世紀的時候，三維空間已經不能禁錮人們的思想，人類開始更高層次的狂想。多維空間的鼻祖之一的施萊夫利（Schläfli）發現了四維空間裏的凸正多麵體，並且證明剛好有六個。其中的五個可以看成是四維的柏拉圖立體（見《閑談對偶（五）》），另一個則在三維空間裏沒有對應的柏拉圖立體。

下麵是把這六個四維的怪物用透視投影的方式放到我們肉眼能見的三維空間裏的“樣子”。

在上麵的六個四維正多麵體中，第一個和第四個自己是自己的對偶；第二個第三互為對偶；第五和第六也互為對偶。下麵是與三維空間裏的正多麵體沒有“對應”的“24-Cell”(上圖裏的第四個)在三維空間裏更直觀的“投影”：

也許，大家會覺得看到數學家走火入魔的跡象。四維空間聽起來麻煩，其實，我們都很習慣三維到二維的投影。 上麵這些圖形和國畫的白描很類似，都是高維空間的立體借用點線和幾何透視在低維的空間裏的投影。上麵的示意圖裏的點和線都對應四維空間裏的點和線。

在四維以上的空間裏，施萊夫利把剩下的麻煩全部解決了。他證明了每個四維以上的空間恰好隻有三個“凸正多麵體”。它們相當於三維空間裏的正四麵體、正六麵體、和正八麵體。其中與正四麵體對應的自己是自己的對偶；其餘對應於正六麵體和正八麵體的兩個相互對偶。

施萊夫利還證明了，四維空間以上沒有非凸的正多麵體裁。而在四維空間裏，一共有十個非凸的正多麵體。用前麵提到過的透視投影方法，下麵是這些非凸的四維正多麵體在三維空間裏的樣子。

所以，除了一維和二維空間以外，我們已經把三維以上的所有正多麵體和它們之間的對偶關係交代完了。下麵我們把一維和二維的補上。

一維空間裏隻有點線而沒有麵，一維空間的正多麵體是任何一條直線。那裏的麵就是兩端點。因為兩個端點在同一條線上，所以線的對偶就是它自己。而二維空間的正多麵體就多了。所有的等邊形都可以算是。而且它們的對偶也是自己。下麵的圖顯示的就是二維的正四邊形的對偶性質。你自己可以畫畫別的，例如正五邊形等。

到此為止，在正多麵體的存在性和對偶性上，我們規規矩矩地走馬觀花，到此為止。其實，如果深入到具體的證明和構造中，還有更多讓人讚歎其漂亮、優美、細膩、奇異的地方。這也是為什麽幾何總是趣味數學的熱鬧題目之一。

不厭其煩的把一維到高維空間的所有凸的和非凸的正多麵體都列出來，一是因為這裏提到的很多奇異的幾何體都是所謂“數學美術”的對象，很有些視覺趣味，可以在很多書和網頁裏看到它們。

二是在這個題目的發展過程裏中可以看到一些理論數學發展的痕跡。例如它關心的問題等：一種性質是否在一定的對象上存在、如果存在又在什麽樣的具體對象的上出現、同樣的概念和性質有怎樣推廣等等。

三是和正多麵體本身的對稱相比，這裏介紹的幾何體的對偶性概念比直觀的幾何體的對稱是更高一級的抽象關係。這也是讓我們真正感興趣的關係。