數學中的悖論

“我正在說謊！”，這句話是對還是錯呢？這是一個挺燒腦的問題！

假如它是對的，那就表明我眼下正在說謊。既然眼下正在說謊，就表示那是謊話，所以它是錯的。假如它是錯的呢？那又表明我不是說謊，說的是真話，可它要是真話，又說明我在說謊了。這樣的車軲轆話說起來就沒完沒了，就產生了悖論！

這個悖論被稱為“說謊者悖論”，有很多變種，“卡片悖論”就是其中之一。卡片悖論是這樣描述的：

有一張卡片，正麵寫有一句話：“反麵所說為真！”。反麵寫的是：“正麵所說為假！” 。現在的問題是，哪一麵的陳述為真呢？這和說謊悖論一樣燒腦。

這種文字中出現的悖論，盡管燒腦，而且曆史也很悠久，我們可以置之不理。活著已經不易，誰有功夫為它操心？

但在數學中出現類似悖論，就不得不叫人擔憂了。

德國著名數學家Hilbert曾經說過：集合論是Cantor為我們建造的天堂。誰能想得到，天堂中同樣有悖論。

據說Cantor自己就發現了一個悖論，自然得稱為“Cantor 悖論”。有一天他突發奇想，由所有集合組成的集合，是個什麽樣的集合呢？這樣一個想法，就讓他陷入困境，進退維穀。

每個集合都有一個基數，而且每個集合都有一個相對應的冪集合。Cantor本人證明了一個集合的冪集合的基數比該集合本身的基數還要大。不妨將所有集合組成的集合稱為萬有集合，它是所有集合中的老大，王中之王。現在問題來了，它的基數是什麽？並且它也包含了它的冪集合，它和它的冪集合誰的基數更大？誰又是真正的王中之王？

集合論中還有一個有名的悖論，是由英國數學家和邏輯學家Bertrand Russell發現的，所以叫 Russell悖論。

有沒有可能，一個集合本身又是該集合的一個元素？有的。比如Cantor所定義的萬有集合就同時又是自身的元素。這樣我們可以把集合分為兩類，一類是該集合不是自身的元素，我們稱之為通常意義下的集合，或者常規集合，另一類是包含自身作為元素的集合，我們稱之為非常規集合。現在我們定義一個集合R，它是由所有常規集合組成的集合。這樣問題又來了，R是常規集合還是非常規集合？這就是著名的Russell悖論。  

Russell悖論也有一個生活化的版本，叫理發師悖論，說的是某個村莊有位理發師，考慮到村裏有些人自己能給自己理發，也有些人自己不能給自己理發，於是誇下海口：他一定要幫那些自己不能給自己理發的人理發，但是絕對不給那些自己能給自己理發的人理發。有人好奇，問：那你給自己理發嗎？

數學家們對真理的追求有時真是一根筋：數學中出現了悖論可不是小事一樁，得想方設法去補救。Hilbert倡導一種方法，被稱為形式主義。他主張通過找出有限條不證自明的公理，以此作為根基來構建和諧的完備的數學大廈。何為和諧？就是要具有不矛盾性：不允許導出自相矛盾的結果。完備性就是要求所有真實的數學命題也就是通常所說的定理一定能夠被證明。數學中不存在證明不了的定理，數學中不允許有不可知！

他的一句名言被刻在他的墓誌銘上：我們必須知道，我們必能知道！

Hilbert在1930年退休，退休時他在他的出生地Königsberg說出了這句名言。有誰能想到，就在Hilbert說出名言的前幾天，一位年紀輕輕的名叫Kurt Friedrich Gödel的奧地利數學家就成功地證明了一個震撼世界的結果：在任何一個包含基本算術在內的公理體係中，一定存在真實的數學命題它的真實性無法被證明。這就是Gödel著名的不完備定理。

1963年，斯坦福大學的數學家 Paul J. Cohen 證明了連續統猜想就是不可證明也不可證偽的一個問題。難怪Cantor老是在該猜想的真偽中徘徊，一會覺得已經能夠證明它是對的，一會又覺得可以肯定它是錯的，最後隻好住進了精神病醫院。

唉，事與願違，數學中還真就有不可知！