數學家的故事 （十七）

23 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor(1845—1918)

先說說什麽是代數數，什麽是超越數。

一個數如果是某個整係數多項式方程的根，它就是一個代數數。比如所有的整數，所有的有理數都是代數數。有些無理數也是代數數，比如2和3的平方根，等等。因為它們分別是x^2-2=0和x^2-3=0的根。我們通常能想起來的數大都是代數數。

知道了什麽是代數數，什麽是超越數也就明了了：凡不是代數數的數就是超越數。

早在十八世紀，大數學家Euler就明確定義了超越數。但一個問題一直困擾著大家，真的有超越數嗎？也就是說，會不會所有的實數都是代數數？我們現實中就有類似的問題，比如我們都聽說過美人魚的故事，可是美人魚真的存在嗎？有誰見過真的美人魚呢？

1844年，法國數學家Joseph Liouville通過巧妙的構造，證明了超越數的存在。換句話說，Liouville精心設計構造了一個數，並證明了這個數不是任何整係數多項式方程的根。

精心設計一個超越數並不簡單，證明一個大家都熟知的數是超越數就更難了。比如說，數學中頂頂有名的π和e是超越數嗎？

法國數學家Charles Hermite在1873年證明了自然對數的底e是超越數，德國數學家Carl Louis Ferdinand von Lindemann在1882年證明了π是超越數。由於π是超越數，這就間接證明困擾人類兩千多年的化圓為方問題為不可能的問題。

順便提一下，到目前為止，人們知道的超越數並不多。

我們平常能想出來的數大都是代數數，要是有人告訴你，超越數實際上比代數數多得多，幾乎所有的實數都是超越數，聽起來是不是不可思議？

德國數學家Cantor，就是這樣明確告訴我們的。Cantor的全名有點長，寫出來就是Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor，於1845年3月3日誕生在俄國的Saint Petersburg，1918年1月6日在德國的Halle過世。

早在古希臘時期，無窮的概念就一直困擾著人們。當時Elea學派的Zeno提出的幾個與無窮有關的悖論，讓人們對之畏之如虎，不敢輕易觸碰。數學王子Gauss就曾說過：“首先，我必須抗議以無窮大作為一個量，這在數學中是不允許的。”

大膽的Cantor首先打破了這個禁忌，公然研究起數學中的無窮大來。

Cantor是集合論的鼻祖，他是從集合論研究開始探討無窮的。他先定義如何比較兩個集合大小或者多少的問題。

人們通常是如何比較多少的呢？比方說你有一群牛，我有一群羊，是你的牛多還是我的羊多？通常都是分別數數你有多少頭牛，我有多少隻羊，然後再比較兩數的大小。Cantor說，還有一種不需數數的辦法也可以比較誰多誰少，這就是通過建立一一對應的關係。比如我們就可以用下麵的方法來比較是你的牛多還是我的羊多。你牽出一頭牛，我拉出一隻羊，把它們放在一邊，然後你再牽出一頭牛，我再拉出一隻羊，再把它們放在一邊，我們繼續這樣的操作，直到不能再操作為止，最後隻有三種可能：你再沒牛可牽，我也無羊可牽；你還有剩下的牛，我卻沒有剩下的羊了；或者我還有剩下的羊，而你卻沒牛了。第一種情況，我們在牛和羊之間建立了一一對應的關係，我們說兩者數目是一樣多的。第二種情況是牛的數目多，第三種情況則是羊的數目多。在第二種情況，是在牛群的真子集和羊群之間建立了一一對應關係，所以說牛比羊多。在最後一種情形，則是在羊群的真子集裏和牛群之間建立了一一對應關係，所以是羊的數目多。

Cantor把這種通過建立一一對應關係來比較大小或多少的辦法推廣到了有無窮多元素的集合上，並得到了很多顛覆人們認知的革命性的成果。對任一個無窮集合A，我們有個相應的基數o(A)。給定兩個無窮集合A和B，如何比較它們的基數呢？如果在A和B之間可以建立一一對應的關係，則說它們有相同的基數，就是 o(A)=o(B)。如果在A的一個子集和B之間可以建立一個一一對應關係，則有o(A)>=o(B)。如果在A的一個子集和B之間可以建立一個一一對應關係，但是在A和B之間沒有一一對應的關係，則A的基數更大，就是o(A)>o(B)。

我們先來想一下，所有的自然數和所有的偶自然數，哪個更多些呢？

有人會不假思索，斬釘截鐵地說，肯定是自然數多呀，因為自然數包含了所有偶自然數啊，所有偶自然數隻是所有自然數的一部分。整體大於或多於部分，這可是鐵的事實。Cantor說：不，整體大於部分，隻是對有限集合成立，對於無限集合，整體是可以等於部分的。或者可以換句話來說，無限集合恰恰是那些可以在整體和局部建立一一對應關係的集合，這也是Dedekind給出的無窮集合的定義。因為我們可以在自然數集合和偶自然數集合之間建立一一對應的關係，所以兩者有相同的基數。

說所有自然數和所有偶自然數一樣多，還不是太難理解，但要是進一步告訴你，所有的有理數和所有自然數也是一樣多，是不是更令人吃驚？

要知道，有理數有個性質，就是它的稠密性：任何兩個有理數之間都還有無窮多個有理數。這一性質自然數是沒有的，比如在1和2之間就沒有別的自然數了，但在1和2之間就有無窮多的有理數。有理數應該多很多才對呀，怎麽可能和自然數一樣多呢？

Cantor嚴格證明了它們確實一樣多，因為他在兩者之間建立了一一對應關係。

那麽，是不是所有的無窮集合都有相同的基數呢？不是的。所有的實數組成的集合就有更大的基數。Cantor做了更深入的研究，並給出了無窮集合的進一步劃分。就是說，無窮集合是有無窮多個等級的，其中等級最低的就是自然數集合，它的基數取名為阿列夫零，並稱之為可數集。他證明了所有的實數集合是不可數的。如果用N表示所有的自然數，R表示所有的實數，則有o(N)。

通過無窮集合之間的比較，Cantor證明了一個違反直觀的結果：超越數比代數數多得多。和超越數的數目比起來，代數數少得可憐，幾乎可以忽略不計。

他是如何證明這樣一個詭異的結果的呢？通過非常巧妙非常嚴格的辦法，他證明了所有的代數數是可數的，而所有的超越數是不可數的，因此超越數比代數數多得多。

Cantor的革命性研究，給他帶來了意想不到的後果，他為自己樹立了不少敵人，他們對他的研究懷有很深的敵意。他曾經的老師Leopold Kronecker 就是最典型的代表。

Cantor從著名的柏林大學畢業。當時的柏林大學有三位標杆型人物：Leopold Kronecker，Karl Weierstrass和Ernst Kummer。Cantor的博士論文就是在Kummer和Weirrstrass的共同指導下完成的。雖然Weierstrass是Cantor堅定的支持者，Kummer對他的研究卻不以為然。

Kronecker的名言是：“God made the integers, all else is the work of man”。就是說：“上帝創造了整數，剩下的數都是人為的了。” 他對人為創造的數不以為然，他曾經公開質疑過Lindemann:“你關於π的研究有什麽用啊？為什麽研究這樣無聊的問題？因為無理數根本就不存在。” 可想而知，他對Cantor的研究是多麽的厭惡，認為那是離經叛道。為此他盡其所能，給Cantor設置種種障礙。比如阻止Cantor的文章在他控製的雜誌上發表，阻止Cantor在柏林找到合適的工作。所以盡管Cantor是一流的數學家，有一流的研究成果，卻隻能一輩子呆在Halle。他任教的學校是Halle大學，是一所二流大學，而他夢寐以求的大學是柏林大學。

Cantor自然也有朋友。Dedekind就是他的好友之一。他們是1872年在瑞士度假時認識的。兩人都是非常有創意的人，英雄所見略同，談起話來很投機。Dedekind在1872年提出了Dedekind分割，而在同一年，Cantor提出了用收斂的有理數序列來定義無理數，可以說是殊途同歸。

1877年，Cantor寫信告訴Dedekind，他證明了，一個單位線段上的點和一個單位正方形上的點是一樣多的，也和單位立方體裏的點一樣多。不僅如此，一個單位線段上的點還和任意n維空間中的單位n維體上的點一樣多。

這簡直叫人驚掉了下巴。連Cantor自己都不得不說：“I see it, but I don't believe it!”

“我看見了，但也無法相信！”

1881年10月，Cantor的同事Heine過世，為了填補他的空缺，Cantor擬了一個名單。當時德國招人的規矩是這樣的：一個空缺通常有三個候選人，按一，二，三的優先順序。先給排名第一位的發邀請，如果他結受了，招聘就結束了。否則就繼續給排名第二的發邀請，依次類推。Cantor擬定的名單是：Dedekind，Weber和Mertens。結果三人都沒有接受邀請，Cantor隻好重擬名單。

Dedekind的拒絕讓Cantor很難過。他是多麽希望Dedekind能成為同事啊。Halle在數學研究上能夠一起探討的人不多，對Cantor來說，基本上是單打獨鬥，太孤獨了。他想去柏林，可隻要Kronecker在，那基本上等於做夢。

他太傷心了，因此斷絕了與Dedekind的往來，直到1897年在第一屆國際數學家大會上見麵後才得以恢複。

在與Dedekind斷絕往來後，他與瑞典數學家Mittag-Leffler開始了重要的來往。他後來的很多重要文章，都是發表在Mittag-Leffler的雜誌上。關於Mittag-Leffler，有些八卦傳聞。比如，諾貝爾獎與數學無緣就是拜他所賜。

前麵我們提到過無窮集合的基數。基數最小的就是可數集合，相當於自然數中的0，Cantor稱之為阿列夫零。緊跟可數集合後麵的集合是哪個集合呢？也就是說，哪個集合能被稱之為阿列夫壹呢？是實數集合嗎？

Cantor認為應該就是實數集合，這就是著名的連續統猜想。可是他證明不了。他在與Mittag-Leffler的通信中，一會說他證明了連續統猜想，接著下封信又否定了前封信的內容，說是證明了完全相反的結論。他一直這樣反反複複，終於在1884年的五月底精神崩潰了，住進了精神病醫院。

幾周後雖然康複，卻再也沒有以前的自信。他哪裏知道，他所從事的工作，將來會被證明是不可能成功的。換句話說，就是在我們目前的數學體係內，連續統猜想是無法證偽的。既不能證明它是對的，也不能證明它是錯的。這也就難怪他老是翻來覆去轉圈圈了。

以後的日子，Cantor的毛病老是時斷時續，他也就反反複複進出大學裏的精神病醫院。

1917年6月，他最後一次住進了精神病醫院，期間反複請求回家治療未獲批準。

1918年1月6日，偉大的數學家Cantor在孤獨中度過了最後的時刻。