說不清的無窮
許秋雨，2023.6.25
點，直線和圓是古老的幾個幾何體，人們自古就開始認識它們。這也是為啥人們對sin和cos函數認識得很早，特別是對運動體。試想一下，如果一個運動體永不回來，那要做多少這樣的運動體？所以能人為產生的運動大多與圓／轉有關，人為的電磁感應不正是這個道理麽？這樣不就有了頻率的概念了麽。
對sin和cos函數的感興趣，使得人們對它們的組合也感興趣，這就產生了Fourier級數，它是最傳統和最重要的數學之一，即調和分析。人們可以這樣認為，研究多項式的根Galois產生了近代數學／代數群環域的概念。研究三角級數的收斂性產生了測度論，勒貝格積分等現代分析，同時也產生了點集論，點集拓撲，公理化集合論及數理邏輯。當然調和分析與最古老的數論關係也很密切，數數與數圓圈其實是一個道理。我以前曾說過數學歸根結底就是數數，數準了是代數，數不準是分析，數不清是幾何拓撲，怎麽數是邏輯。
大家都知道1900年德國大數學家希爾伯特提出的23個未解決的數學難題，它們的發展影響了後麵整個世界數學的發展，直至現在數學家們還在為它們耕耘，如最近為人們所熟知的鄧煜和希爾伯特第六個問題。它們中的第一問題就是連續統假設，如就理解這個問題而言，初等的點集論即可。它是這樣說的，在全體有理數集合與全體實數集合之間不存在另一個集合使得它與有理數集合和實數集合都沒有一一對應的關係。這個問題咋一看是一個初等點集問題，但是它卻涉及到了數學的根本，或者說認理的根本：對一個無窮個體來說，啥叫一一對應？一個一個能取盡麽？怎麽取？
在上世紀60年代，Paul Cohen發明了力迫法，對連續統假設得出了結果。Cohen說連續統假不假設都與ZF集合論選擇性公理體係不矛盾。不難證明有理數集合的所有子集組成的集合與實數集一一對應。如果定義一個集合裏的元素個數叫該集合的勢，現在隻知道如果一個無窮集合的勢是A，那麽它的所有子集的集合的勢一定比A大，記為A1，如有理數集的勢是A，實數集的勢就是A1。這樣，連續統假設就是說在A與A1之間不存在另一個勢。Cohen說任何這樣的A與A1之間有沒有新的勢是獨立於ZF集合論公理體係的，即有與沒有都不矛盾。其實我認為，這個結論就是說無窮大根本就說不清。
有意思的是Cohen最早是研究調和分析的，他的博士導師正是寫聖經式書《三角級數》的Zygmund。因為我在大學期間19歲左右時就對點集論特別感興趣，我差不多在40年前的83年20歲時一到南開大學就選修了《數理邏輯》，了解了它的四大論，即證明論，模型論，遞歸論，和公理化集合論。在其間學習了有限機（finite state machine），計算機語言的最高語言（當時這麽說）, Ada語言，當然還學了Cohen的力迫法及連續統假設的結果。
後來在南開大學又死啃Zygmund的《三角級數》。此書太龐大，我老是讀到後麵就忘記了前麵的內容，來回反複，也不知道來來回回讀了多少遍，記了多少筆記，最後還隻是讀了此書的一小部分。此書裏包羅萬象了太多的三角級數收斂性的結果。
我個人認為，至少對人類，有兩種東西說不清楚道不明白。一個是大，大到上麵說的無窮大，可以看出，它與邏輯及數學的根基有關。這也正是人工智能可以隨心所欲之地。另一個是小，小到測不準原理，如量子，這又是量子論可以隨心所欲之地。關於這兩種東西，過去說不清，現在說不清，將來也說不清。與其說在這兩個領域人們可以隨心所欲，不如說這兩種東西正分別是人工智能和量子論無法逾越的鴻溝！
說不清的無窮
areYOUsure (2026-07-06 11:30:30) 評論 (3)
說不清的無窮
許秋雨，2023.6.25
點，直線和圓是古老的幾個幾何體，人們自古就開始認識它們。這也是為啥人們對sin和cos函數認識得很早，特別是對運動體。試想一下，如果一個運動體永不回來，那要做多少這樣的運動體？所以能人為產生的運動大多與圓／轉有關，人為的電磁感應不正是這個道理麽？這樣不就有了頻率的概念了麽。
對sin和cos函數的感興趣，使得人們對它們的組合也感興趣，這就產生了Fourier級數，它是最傳統和最重要的數學之一，即調和分析。人們可以這樣認為，研究多項式的根Galois產生了近代數學／代數群環域的概念。研究三角級數的收斂性產生了測度論，勒貝格積分等現代分析，同時也產生了點集論，點集拓撲，公理化集合論及數理邏輯。當然調和分析與最古老的數論關係也很密切，數數與數圓圈其實是一個道理。我以前曾說過數學歸根結底就是數數，數準了是代數，數不準是分析，數不清是幾何拓撲，怎麽數是邏輯。
大家都知道1900年德國大數學家希爾伯特提出的23個未解決的數學難題，它們的發展影響了後麵整個世界數學的發展，直至現在數學家們還在為它們耕耘，如最近為人們所熟知的鄧煜和希爾伯特第六個問題。它們中的第一問題就是連續統假設，如就理解這個問題而言，初等的點集論即可。它是這樣說的，在全體有理數集合與全體實數集合之間不存在另一個集合使得它與有理數集合和實數集合都沒有一一對應的關係。這個問題咋一看是一個初等點集問題，但是它卻涉及到了數學的根本，或者說認理的根本：對一個無窮個體來說，啥叫一一對應？一個一個能取盡麽？怎麽取？
在上世紀60年代，Paul Cohen發明了力迫法，對連續統假設得出了結果。Cohen說連續統假不假設都與ZF集合論選擇性公理體係不矛盾。不難證明有理數集合的所有子集組成的集合與實數集一一對應。如果定義一個集合裏的元素個數叫該集合的勢，現在隻知道如果一個無窮集合的勢是A，那麽它的所有子集的集合的勢一定比A大，記為A1，如有理數集的勢是A，實數集的勢就是A1。這樣，連續統假設就是說在A與A1之間不存在另一個勢。Cohen說任何這樣的A與A1之間有沒有新的勢是獨立於ZF集合論公理體係的，即有與沒有都不矛盾。其實我認為，這個結論就是說無窮大根本就說不清。
有意思的是Cohen最早是研究調和分析的，他的博士導師正是寫聖經式書《三角級數》的Zygmund。因為我在大學期間19歲左右時就對點集論特別感興趣，我差不多在40年前的83年20歲時一到南開大學就選修了《數理邏輯》，了解了它的四大論，即證明論，模型論，遞歸論，和公理化集合論。在其間學習了有限機（finite state machine），計算機語言的最高語言（當時這麽說）, Ada語言，當然還學了Cohen的力迫法及連續統假設的結果。
後來在南開大學又死啃Zygmund的《三角級數》。此書太龐大，我老是讀到後麵就忘記了前麵的內容，來回反複，也不知道來來回回讀了多少遍，記了多少筆記，最後還隻是讀了此書的一小部分。此書裏包羅萬象了太多的三角級數收斂性的結果。
我個人認為，至少對人類，有兩種東西說不清楚道不明白。一個是大，大到上麵說的無窮大，可以看出，它與邏輯及數學的根基有關。這也正是人工智能可以隨心所欲之地。另一個是小，小到測不準原理，如量子，這又是量子論可以隨心所欲之地。關於這兩種東西，過去說不清，現在說不清，將來也說不清。與其說在這兩個領域人們可以隨心所欲，不如說這兩種東西正分別是人工智能和量子論無法逾越的鴻溝！
許秋雨，2023.6.25
點，直線和圓是古老的幾個幾何體，人們自古就開始認識它們。這也是為啥人們對sin和cos函數認識得很早，特別是對運動體。試想一下，如果一個運動體永不回來，那要做多少這樣的運動體？所以能人為產生的運動大多與圓／轉有關，人為的電磁感應不正是這個道理麽？這樣不就有了頻率的概念了麽。
對sin和cos函數的感興趣，使得人們對它們的組合也感興趣，這就產生了Fourier級數，它是最傳統和最重要的數學之一，即調和分析。人們可以這樣認為，研究多項式的根Galois產生了近代數學／代數群環域的概念。研究三角級數的收斂性產生了測度論，勒貝格積分等現代分析，同時也產生了點集論，點集拓撲，公理化集合論及數理邏輯。當然調和分析與最古老的數論關係也很密切，數數與數圓圈其實是一個道理。我以前曾說過數學歸根結底就是數數，數準了是代數，數不準是分析，數不清是幾何拓撲，怎麽數是邏輯。
大家都知道1900年德國大數學家希爾伯特提出的23個未解決的數學難題，它們的發展影響了後麵整個世界數學的發展，直至現在數學家們還在為它們耕耘，如最近為人們所熟知的鄧煜和希爾伯特第六個問題。它們中的第一問題就是連續統假設，如就理解這個問題而言，初等的點集論即可。它是這樣說的，在全體有理數集合與全體實數集合之間不存在另一個集合使得它與有理數集合和實數集合都沒有一一對應的關係。這個問題咋一看是一個初等點集問題，但是它卻涉及到了數學的根本，或者說認理的根本：對一個無窮個體來說，啥叫一一對應？一個一個能取盡麽？怎麽取？
在上世紀60年代，Paul Cohen發明了力迫法，對連續統假設得出了結果。Cohen說連續統假不假設都與ZF集合論選擇性公理體係不矛盾。不難證明有理數集合的所有子集組成的集合與實數集一一對應。如果定義一個集合裏的元素個數叫該集合的勢，現在隻知道如果一個無窮集合的勢是A，那麽它的所有子集的集合的勢一定比A大，記為A1，如有理數集的勢是A，實數集的勢就是A1。這樣，連續統假設就是說在A與A1之間不存在另一個勢。Cohen說任何這樣的A與A1之間有沒有新的勢是獨立於ZF集合論公理體係的，即有與沒有都不矛盾。其實我認為，這個結論就是說無窮大根本就說不清。
有意思的是Cohen最早是研究調和分析的，他的博士導師正是寫聖經式書《三角級數》的Zygmund。因為我在大學期間19歲左右時就對點集論特別感興趣，我差不多在40年前的83年20歲時一到南開大學就選修了《數理邏輯》，了解了它的四大論，即證明論，模型論，遞歸論，和公理化集合論。在其間學習了有限機（finite state machine），計算機語言的最高語言（當時這麽說）, Ada語言，當然還學了Cohen的力迫法及連續統假設的結果。
後來在南開大學又死啃Zygmund的《三角級數》。此書太龐大，我老是讀到後麵就忘記了前麵的內容，來回反複，也不知道來來回回讀了多少遍，記了多少筆記，最後還隻是讀了此書的一小部分。此書裏包羅萬象了太多的三角級數收斂性的結果。
我個人認為，至少對人類，有兩種東西說不清楚道不明白。一個是大，大到上麵說的無窮大，可以看出，它與邏輯及數學的根基有關。這也正是人工智能可以隨心所欲之地。另一個是小，小到測不準原理，如量子，這又是量子論可以隨心所欲之地。關於這兩種東西，過去說不清，現在說不清，將來也說不清。與其說在這兩個領域人們可以隨心所欲，不如說這兩種東西正分別是人工智能和量子論無法逾越的鴻溝！