回報率的不確定性對長期持有投資的影響

在《平均年回報率與年化總回報率的差別》一文中，我們看到年化總回報率比平均年回報率要低一些。為什麽呢？網友們回答了這個問題：幾何平均一般小於算術平均，隻有在所有的數字都相同時等號才成立。

假定每年的回報率是\(R_i\)，我們在做平均時用的是每年的總回報率\((1+R_i)\)，也就是前1年年底的$1,到這個年底變成了$\((1+R_i)\)。這個不等式說： \[ [(1+R_1)(1+R_2)...(1+R_{24})]^{1/24} \leq \frac{1}{24}[(1+R_1)+(1+R_2)+...+(1+R_{24})] \] 隻有所有\(R_i\)都一樣時等號才成立。

前麵那個帖子，網友們在跟帖中都正確指出算術平均沒什麽用，長期投資者都看年化回報率。\(n\)年的總回報率是 \[\text{TR}_n=(1+R_1)(1+R_2)...(1+R_n)\]（也就是平時大家說的漲到多少倍的意思），年化一下就是 \[\text{TR}_{\text{ann},n}=\text{TR}_n^{1/n} \] 再減去1就是年化回報率 \[R_{\text{ann},n}=\text{TR}_{\text{ann},n}-1\]

我們的猛牛大俠還說中位數意義比平均數大一些（當然他也強調了年化回報率）。我進一步提了個問題：假定每年投資回報率隻有兩種可能，漲50%或跌40%，可能性一半對一半。一次性投1萬，然後捂著不拿出來。10年後中位數該是多少呢？20年後？50年後？在我們對這個問題做更詳盡的分析前，先簡單回答一下\(n\)年後中位數是什麽。因為每年漲跌可能性是一半對一半，\(n\)年後最中間的情況是一半的年份漲另一半年份跌 \[ \text{median} = (1+0.5)^{n/2}(1-0.4)^{n/2}\] \[= [(1+0.5)(1-0.4)]^{n/2} = 0.9^{n/2} < 1\] 這個數字小於1，所以年化回報率\[\text{median}(R_{\text{ann},n})=\text{median}(\text{TR}_{\text{ann},n})-1\]\[=[(1+0.5)(1-0.4)]^{1/2}-1=-5.1317\%\] 我想 mobius 網友是做了隨機模擬，得到了類似的結論。這麽好平均每年5%回報率的投資，長期捂著不動居然年化回報率中位數是負的！其實學過一點點概率統計的還可以嚴格證明，這麽捂著不動長期捂下去錢就慢慢沒有了（概率術語是“幾乎必然”，普通話就是"非常確定"）。