歌德尓和羅素 自指的故事

羅素認識到＂自指＂對數學理論建構的傷害。

他的＂數學原理＂小心地避過任何自指。

從非常基本的邏輯定義和公理出發，僅用邏輯符號進行推理，

從中建立起可以描述自然數特性數學理論。

他和Whitehead 巨著共三卷， 在自然數理論上非常成功。

＂數學原理＂據說非常＂原始＂，到了第三百頁才把＂1 ＂定義出來：）

這套係統因為原始而純粹，它為數學邏輯描繪出了一幅美好的前景，

似乎從此以後邏輯推理就會變得純粹而自然（和無所不能？：）

 

但是沒高興幾年，小歌（25歲的Gödel) 出道了，

他在1931年證明了 羅子這套方法還是沒逃過＂自指＂：）

 

這是民科版的解釋，歡迎猛砸：）

 

小歌注意到當你用純邏輯符號推理時，如果把這些個符號都編上數碼，

那麽每一條邏輯定義，公理和推出的定理，都可以表達成一個特定的自然數(prim number)。

小歌找到了一種映射方法，使得這樣的數和定理（義）一定是一一對應，可以互相轉換。

 

這樣邏輯推理實際上就是在定義數列（G數列)。

這個數列和我們熟悉的數列 像Fibonacci (F n = F n-1  十 F n-2) F數列一樣，

根據＂公式＂推出下一位數字。

在數列中，一個重要的問題是怎麽知道 那些數是在數列中。

F數列是簡單遞增的，所以足夠的運算一定能回答在不在問題。

這個＂在不在＂問題對G數列更重要，＂在＂ 則表示相對應的定理可證 (prim number)，

＂不在＂ 則表示相應的表達不真(non-prim)。

非常遺憾的是 G數列不像F數列， 它的數可能變小。

所以不把路徑都試過，你不能知道答案：）

 

羅子的這套方法在完美解釋自然數的同時也被眏射回自然數。

一但發現這個多重眏射，構造＂自指＂就變得簡單了。

因為歸根到底，這就像是用自然數去解釋自然數：）

 

小歌說了句：”A certain integer g is not a prim number “，

這應該是人畜無害的大實話 （定理）。

但是注意，如果這個＂g ＂正好是 ＂A certain integer g is not a prim number ＂

這個定理的prim number, 就悲劇了：）

 

最後這個類似於 Quine paradox 表達是小歌證明的簡化版，抄下來供大家體會：

(From I am a strange loop p143)

＂when fed its own Gödel number yields a non-prim number”

when fed its own Gödel number yields a non-prim number.

 

去掉多餘的客氣，小歌實際上在說：

他用＂數學原理＂發現了一個定理，但＂數學原理＂不給力，

不能證明：）

 

G E B 和＂I am a strange loop” 是科普讀物：）

相關係列文章可以從這開始

https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems

https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del_numbering

MIT lecture 3 about GEB 

https://youtu.be/86AHsIduncM?si=WS5eXx2JkH-KKU5J