很好的思路。不用這個比較難理解的充要條件。替你重新表述如下。

三圓
設被覆蓋的最大圓的半徑 R > 1.
單位圓與其相交的弦的最大值是2. 要使三個單位圓能覆蓋這個圓，其必要條件是這條相交弦的弧度 >= 120. 否則三個單位圓與其相交的部分不能覆蓋整個圓周。
當弧度=120， R = 2/sqrt(3) 弧度 >= 120,即是 R <= 2/sqrt(3).

R = 2/sqrt(3)可以如下達到。
作邊長為2的正三角形。以三邊中點為圓心作單位圓。其圖形將覆蓋這個正三角形的外接圓。其半徑為 R = 2/sqrt(3)

四圓的情形同樣證明。

五圓以上， 可以同樣的得到R的上界。但是，這個作正多邊形的方法無法達到上界。這時所作的圓不能覆蓋正多邊形的中