網上搜來的答案，19.

27x0.74 = 19.98 = 19

手動填進去， 27x0.6 = 16.2 = 16

答案全文。
 
不考慮空間利用率，大球體積是小球體積的（R/r)^3=27倍，按照題主的意思，小球應該是不能壓縮的，這個數值是小球個數的上限。

然後就是空間利用率的問題了。空間利用率越高，球與球之前的空隙越少越小，那麽能放進去的小球就越多。幾何上有個術語叫最密堆積或者也叫球堆積（Sphere Packing）。

效率最高的堆積方式是麵心立方或者六方密堆積，了解一點簡單的晶體結構的話就知道這是自然界中很多物質的基本結構，可以說是大自然天然的選擇。用一點簡單的幾何知識就能計算出麵心立方的空間利用率，在一個正方體中可以等效塞進去小球總共4個，可以簡單的算出來利用率是pi/3sqr(2)，也就是常常看到74%這個數值的來源。六方的情況稍微複雜一些，但也很容易算出來結果是一樣的。

然而，74%雖然看起來已經是最優的堆積方式，但數學上能否嚴格證明呢，稍微有點麻煩。這件事最早是德國的天文學家開普勒（沒錯就是那個著名的提出開普勒三定律的開普勒）在十七世紀初做了個猜想，猜想的內容就是麵心立方和六方是最密的堆積。

這個猜想的突破性進展來源於高斯（是的，數學王子高斯），他在1831年證明了如果這些小球隻能以規則的方式排列的話，開普勒猜想是正確的。聽起來已經證明的很嚴格了，但是並沒有嚴格的說明如果是不規則的排列方式，有沒有可能突破這個上限。由於不規則的情況太難窮盡，大大增加了嚴格證明的難度。

高斯之後過了好幾十年這件事沒啥太大進展，到了1900年大數學家希爾伯特（就是量子力學裏麵希爾伯特空間那個希爾伯特）列了23個數學問題，這也是其中一題的一小問。

受限於非規則情況太多太多的難度，嚴格證明一直懸而未決，直到1953年，數學家托特證明了這件事情可以有限步驟的計算（當然計算量超級大）。這是一個非常重要的突破，因為這說明隻要我們的算力足夠強，可以通過暴力枚舉的方式證明所有非規則的情況。

最近的進展也就是最近吧，美國數學家黑爾斯開始用計算機向這個古老的幾何問題動手了，1996年開始宣布了自己已經差不多證明了，到了1998年宣布自己已經證明，後來兜兜轉轉幾經波折，最後2014年正式宣布基於計算機的形式化證明完成。開普勒這個四百多年前的猜想終於算是塵埃落定了。

當然，考慮實際操作的話，手動去排列這些個小球，真正做到最密堆積還是挺困難的。隨機的情況下利用效率大約是60%左右。