一道有趣的邏輯題 1

來源: 2021-08-10 06:00:43 [] [博客] [舊帖] [給我悄悄話] 本文已被閱讀: 次 (11670 bytes)

 

在浩瀚的太平洋上,有一座孤獨的小島,那裏有一個奇怪的部落,部落裏有100個居民。他們知道自己眼睛的顏色隻可能是紅綠藍中的一種。該部落信奉一種特殊的宗教,不允許知道自己眼睛的確切顏色,也不允許彼此探討與眼睛顏色有關的話題,更不允許通過照鏡子或觀察水麵等反射物了解自己眼睛的顏色。而且一旦某人知道了自己眼睛的顏色,他就要於當天的正午在部落中心當著所有居民的麵拔刀自刎。

 

島上居民智商很高,一個個都具有超強的邏輯推理能力。而且一旦通過某種蛛絲馬跡推斷出自己眼睛的顏色,必然會依從教規於當天正午在部落中心自刎。大家的視力都非常好,沒有色盲色弱的問題。

 

島上居民們安居樂業,歲月靜好,一派祥和。不料有一天風雨交加,吹來了一個到此避風躲雨的外鄉人。孤島鮮有外人到訪,島上居民熱情好客,竭盡所能招待了這位不速之客。

 

在告別酒宴上,客人由衷感謝大家給予的幫助,並且一時興起,竟忘掉了島上那條不許探討眼睛顏色的規矩,當著所有人的麵說:更讓我驚訝的是,你們當中居然有紅眼睛的人。這時眾人表情錯愕,外鄉人知道自己失言了,內心愧疚,悶悶不樂離開了他感恩的小島。

 

外鄉人回想起當時的情景,其實島上所有人的眼睛都是紅色的,隻是每個人都不知道自己眼睛的顏色,但都能看到另外99人的眼睛顏色,所以都知道島上至少有99個紅眼睛的人,而自己所說的話並未超出他們所知,絲毫沒有給他們提供任何新的信息,因此內疚感減輕了不少。

 

想不到的是,在客人離開後的第一百天,島上居民同時都在部落中心自殺了。

 

這實在出人意料,令人惋惜。外鄉人異常悲痛,卻始終想不明白其中的原委。

 

聰明的讀者知道為什麽嗎?外鄉人到底有沒有提供島人不知的信息?如果沒有,他們為什麽會在第一百天同時自殺?

 

 

 

這道邏輯題,由於出現在著名數學家陶哲軒的個人博客上而廣為人知。在油管上李永樂老師為它做了一個視頻,名為皇帝的新裝,給了一個很好的解釋。

 

我們先弄明白為什麽他們會在第一百天的中午一起自殺。為此我們證明下麵更一般的命題:

 

如果紅眼睛的人有n個人,其中n是一個不超過一百的正整數,則所有n個紅眼睛的人都會在第n天的中午在小島的部落中心自殺。

 

證明:n=1時,那唯一的一個紅眼人看到的都不是紅眼人,當外鄉人說有紅眼人的時候,知道那個紅眼人就是自己,因此第一天的中午就自殺了。

 

假設命題在n=k時是對的,我們證明命題在n=k+1時也是對的。隨便選定一個紅眼人,他能看到其他的k個紅眼人。假設自己不是紅眼人,那麽部落裏就隻有k個紅眼人,由歸納法假設,在第k天的中午這k個紅眼人就會自殺。但是第k天到來的時候,他期望的事情沒有發生,那說明了什麽呢?說明自己的假設是錯誤的。換句話說,自己就是紅眼人。於是隔天中午,也就是第k+1天中午他就要自殺了。證畢。

 

島上居民確確實實知道他們之間有很多紅眼睛的人,卻能一直歲月靜好,而當外鄉人說出似乎沒有任何新信息的一句話後,竟然會有如此慘烈的後果,這究竟是為什麽?




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若隻有ab兩人 -monseigneur- 給 monseigneur 發送悄悄話 monseigneur 的個人群組 (3227 bytes) () 08/10/2021 postreply 18:21:49

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