綜合上麵的討論,給一個完整的解。S=2.

來源: 2021-08-06 22:15:07 [] [舊帖] [給我悄悄話] 本文已被閱讀: 次 (776 bytes)
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先證收斂。隻要證明數列遞增有界。

證明有界。
a_1 = sqrt(2) < 2.
如果 a_n < 2, 則 a_(n+1) = sqrt(2)^(a_n) < sqrt(2)^2 = 2.

證明遞增。
數列的遞推公式是 a_(n+1) = sqrt(2)^(a_n).
隻須證明 f(x) = sqrt(2)^x - x > 0 當 x 在區間[sqrt(2), 2).
f'(x) = (sqrt(2)^x)(ln(sqrt(2)) - 1 = 0. 
得解 x = 2 - ((2lnln2)/ln2) > 2。
f(x)在區間[sqrt(2), 2)的極值在端點取得。而兩端點的值都為正。

對遞推公式 a_(n+1) = sqrt(2)^(a_n)兩邊取極限,

S = sqrt(2)^S, 

解得

S=2.

多年不做這種題了。請大家指正。

所有跟帖: 

很完美,證明遞增好像沒有更簡單的辦法 -monseigneur- 給 monseigneur 發送悄悄話 monseigneur 的個人群組 (0 bytes) () 08/07/2021 postreply 11:12:13

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