這些數學事實,不管你信不信,反正我信了!
來源 | 世界奧林匹克數學競賽(中國區)選拔賽組委會
1、三門問題(蒙提霍爾問題)
假如你正在參加一個節目。主持人給了你三扇門,其中一扇門裏麵是一款嶄新的汽車,另外兩扇門裏麵都是一隻羊。你選擇了其中一扇,然後,主持人打開你未選的另外兩扇門裏是羊的那一扇,然後——
主持人問你:你是否要換一扇門?還是就要你剛才選的那一扇?
你會怎麽做?
你第一反應一定是就要你剛才選的那一扇。
到目前為止,一切都沒有問題,對吧?
因為現在隻有兩扇門了,你可以推斷出,有一半的機會贏得那輛車。對嗎?
你錯了??
這個遊戲的最佳策略就是“換門”,每次都換。
如果你每次都換,隻有當你第一次選的那扇門裏就是車的時候你才會輸。
因為你第一次選中車的幾率是1/3,而每次都換你輸掉的幾率也是1/3。
這就意味著,如果你每次都換的話,贏得幾率就有2/3。
換門贏的幾率是不換門贏的幾率的兩倍。
還不信嗎?這麽說吧,假如你選的是一號門,請看下麵所有可能發生的情況:
如果你不換門,三種情況隻有一種情況能贏;如果換門,就有兩種情況能贏。
你還不信?
那我們換成50扇門再做一遍。你不選一號門。
我把其他是羊的48扇門都亮給你。對你的選擇還那麽有信心嗎?別忘了:你第一次選對的機會隻有1/50。道理完全是一樣的。
2、0.999...=1
無限循環小數0.999...等於1。
有許多的證法都可以證明這個等式,但仍然有很多的人糾結這個概念,下麵就是一個很好的正麵:
x=0.999...
10x=9.999...
10x-x=9.999...-0.999...
9x=9
x=1
很多人糾結這個理念的原因,是我們人類的思維很難去理解“無限”這個概念。在某種層麵上,大多數人隻是想象最終總會以一個“9”結束。
數字這東西總是換種方式表達就會看起來不大一樣,當然這個也不例外。
這其中的原因是和“無限”與“有限”的概念緊密關聯的,光這些就夠我們大傷腦筋的了。
下麵是另外一種證法:
1/3=0.333...
3×1/3=3×0.333...
1=0.999...
3、偶數和自然數一樣多
偶數和自然數一樣多。
表示事物個數的數叫做自然數,如1,2,3,4等等。
自然數的數量是無限的。偶數的數量也是無限的。
你或許會想象自然數要比偶數多,因為自然數由奇數和偶數組成。
那你就錯了。
我們可以在自然數和偶數之間建立一個一對一的對應關聯式,這個關聯式將告訴你,每個自然數都有一個與其對應的偶數。
我們可以這樣想:每個自然數都有一個等於它兩倍的偶數,而每個偶數也都有一個等於它一半的自然數:
1<---->2
2<---->4
3<---->6
4<---->8
5<---->10
6<---->12
7<---->14
8<---->16
這是什麽意思呢?
就是說,每一個自然數,都有一個與之對應的偶數。
這就是說,這兩個無限集的大小是相等的,我們稱之為“可數無限集”
這就將其與“不可數無限集”如“實數集”或“複數集
”區分開了。
例如,我們不能再自然數和實數之間建立一個一對一的對應關聯式。
其他的可數無限集還包括:有理數集合奇數集。
4、本福特定律
在實際的數字中,數字“1”作為首位數字出現的幾率是30%.
1938年,物理學家福蘭克·本福特(Frank Benford)首次在一組數字中發現,首位數字是“1”的情況總是占大多數。
其他數字出現在首位的情況則呈如下對數分布:
這是一種普遍觀察到的現象。
該分布圖被用於偵測數據異常,包括:
--伊朗選舉欺詐
--經濟數據造假
--會計賬務偽造
這種現象也可以在以下集合中觀察到:
--斐波那契數
--(1,1,2,3,5,8,13,21,34...)
--階乘
--2的冪
5、生日悖論
我們假設你工作在一個23人的辦公室。
那麽,你辦公室中兩個人生日相同的幾率是多少呢?(為使問題簡化,我們排除2月29日)
答案是:兩個人生日相同的幾率是50%.
隻要一個人群達到366人,那麽從統計學的角度就可以確定 有兩個人生日相同。因為隻有365種可能的生日(排除2月29日)。
然而有趣的是,所有生日都是等概率分布的,隻要一個人群有57人,那麽兩個人生日相同的機率就可以達到99%.
這是怎麽推算出來的呢?
讓我們再回到那個23人的辦公室,來看一看是怎麽回事。
我們要進行一下反概率運算,即計算一群人中沒人生日相同的機率,來推算出我們想要的有生日相同的機率。
如果我們正麵硬求解的話,要推算出辦公室中兩人生日相同的機率是很困難的。
而要計算出一群人中沒人生日相同的機率則是非常非常容易的。
兩個人生日不同的機率是這樣算的:
三個人中沒人生日相同的機率就是這樣算的:
四個人中沒人生日相同的機率是這樣算的:
我們以此推算會得到什麽結果呢?那就是,23個人中沒人生日相同的機率是:
這時候就意味著,既然沒人生日相同的機率是49.3%,那麽至少有兩人生日相同的機率就是50.7%.
下麵就是概率(機率)曲線的樣子:
6、會計/管道工問題
“上禮拜,我公寓跟冰窖似的,因為我的暖氣壞了。”
“我就去找了個人,讓他看一下暖氣,他用了一堆備件就把它修好了。我就付了他維修費。“那這個人很可能是:會計?還是...會計及管道工?
答案是:這個人很可能是會計。
因為從場景中,這個人可能是管道工,所以你就直覺第認為他是管道工。
但是,一個人是“會計及管道工”,那他也還是會計。
參照下麵的圖想一想:
嚴格地講,相對於管道工,他更可能是會計。因為:
而他是“會計”的概率裏麵還包含著他隻是“會計而不是管道工”的概率B.
嚴格地講,相對於管道工,他更可能是會計。因為:
A代表給我修暖氣的那個人是“會計及管道工”的概率。
A+B的和代表給我修暖氣的是“會計”的概率。
嚴格地講,相對於管道工,他更可能是會計。因為:
A≤A+B,從概率學的角度講,給我修暖氣的人更可能是會計。
7、貝特朗箱子悖論
我有三個箱子,每個箱子都有兩個隔檔。
第一個箱子裏麵是兩塊金條
第二個箱子裏麵是兩塊銀條
第三個箱子裏麵是一塊金條和一塊銀條
你隨機抽取一個箱子,然後隨機打開一個隔檔。
如果裏麵是金條,那另外一個隔檔裏是金條的概率是多少?
你的第一反應一定是:1/2
因為隻有兩個箱子裏麵有金條,你就想,我一定選中了其中一個。
又因為其中一個箱子裏麵是一塊金條和一塊銀條,所以,另外一個隔檔裏麵是金條的概率就是1/2.
對嗎?
你錯了!
實際上比那要複雜得多。要推算出為什麽不是1/2,讓我們給金條和銀條貼上瑞霞標簽:
然後,我們列舉了一下所有可能抽取到的情況:
接下來,讓我們隻看一下第一次抽到金條的情況:
所以,如果你第一次抽到的箱子裏有一個隔檔是金條的話,那麽另一個隔檔裏是金條的概率是2/3.
3次中有兩次另一個隔檔是金條,是因為在你抽到的3次金條中,有兩次你分別抽到了G1和G2.
3次中有一次另一個隔檔是銀條,是因為在你抽到的3次金條中,有一次你抽到了G3.
這個問題和三門問題有非常緊密的聯係。
8、如何用一塊鏢板推算出圓周率π
你可以用有塊鏢板推算出圓周率π的值
有一種很有趣的方法,通過反複隨機在正方形鏢板內選點,可以推算出圓周率π的值
首先,我們需要做一些運算:
正方形內切圓的半徑為1,正方形的邊長就是2.
那麽,圓的麵積就是:
πr²=π(1²)=π
正方形的麵積就是:
2²=4
接下來,我們在正方形內隨機選取幾千個點。
有一種很有趣的方法,通過反複隨機在這個正方形內選點,可以推算出圓周率π的值。
選的點越多,得出來的結果就越接近。
選點結束後,將結果帶入下麵的公式,就可以推算出π的值:
這是運用幾何學和概率推算圓周率π的方法。
9、調和級數發散至無窮大
下麵就是調和級數:
分母持續增長趨向無窮大。
許多其他的無窮級數都聚合至單個數字:
然而,調和級數卻不是這樣:
對於大多數人來說,這是非常非常難以理解的——
請看下麵:
它看起來增長的越來越慢!看那分數的值多小啊!而且隻會越來越小!
但實際上,調和級數不會聚合到單個數字。它在趨向無窮大,隻是很慢很慢。
我們來證明一下。
證明調和級數是發散的——
讓我們把調和級數和另外一個小一些級數對比一下:
注意,從第二項開始,第二個無窮級數中的每一個數都比調和級數同一位置的數要小。所以:
但是我們看一下第二個無窮級數:
可以簡化為:
很明顯可以發散至無窮大:
所以,如果
並且
那麽
10、你的朋友很可能比你人緣好
從數學上講,大多數人的朋友平均所擁有的朋友數量要比他們自己的朋友多。
這種很有應用題色彩的現象,很大程度上是由於社交網絡的數學性質所決定的。
它基於這樣一種理念,那就是平均來講,大多數人的朋友都擁有比他們自己更多的朋友。
社會學家斯科特·L·費爾德在1991年的一遍論文中,發現71%的人平均所擁有的朋友都比
他們的朋友所擁有的朋友要少。
關鍵點在於人緣好的人。
我們來看一個例子。
我們再來回顧一下你的辦公室來證明這一點(現在經過裁員,隻剩下20個人了)。下麵是你辦公室的朋友關係圖。連接線表示他們之間為朋友關係:
在這個辦公室裏,平均每個人擁有2.85個朋友。
但是,每個人的朋友卻平均擁有3.39個朋友。
圖中標注出了擁有朋友數量高出平均數的人。他們都是人緣極好的人。更重要的是,辦公室的20人中有17人至少跟她們中的一位是朋友:
這隻是一個例子,但在現實世界中卻稀鬆平常。
在推特上,在微博上,臉譜、人人......你所關注的人很可能擁有比你更多的粉絲。
基本上講,相對於朋友較少的人,你更願意與朋友多的人成為朋友。
這條規則不僅僅適用於朋友關係。
11、任意四邊形邊線中點連線構成平行四邊形
畫一個四邊形,可以是任意古怪的形狀,不規則四邊形、凹四邊形、凸四邊形......隻需要四個點和四條直線。
標出每條邊線的中點
將邊線相連。你總是會得到一個完美的平行四邊形。
12、三個犯人
三個犯人都住在隔離間,並且都被判處了死刑。獄官隨機赦免了其中一個犯人。看守知道誰會被赦免,但不會說。
犯人A臉皮厚,讓看守告訴他,B和C誰會被執行死刑。
如果赦免的是B,那就說C;如果赦免的是C,那就說B;如果B和C都沒被赦免,那就投硬幣決定說誰。
看守告訴A,犯人B將會被執行死刑。
犯人A興奮不已,覺得自己生存的機率從1/3提升到了1/2,因為原來是A、B、C三個人有一人被赦免,現在是A、C兩個人有一個被赦免。
A將此告訴了C,C同樣興奮不已。他的理由是:A生存的機率仍然是1/3,而C卻有了2/3的機率被赦免。
誰錯了呢?
答案是:犯人C是對的。
最初,三人都有1/3的機率被赦免。看守說B會被處決,這意味著一下兩者可能:
--C會被赦免(1/3的機率)
--A會被赦免,投硬幣投到B(1/6的機率)
這就意味著A被赦免的機率是C被赦免的一半,二B已不可能被赦免。
所以,A被赦免的機率沒有變化,仍然是1/3.而C被赦免的機率已翻倍至2/3.
如果你仍然懷疑,那我們就對這其中的機率進行一下盤點:
接下來,我們隻看B被處決的情況。我們看到,C被赦免的機率是A的兩倍。
既然我們知道,現在B被赦免的機會為0%,並且,C被赦免的機率是A的兩倍:
可見,犯人A問了多麽愚蠢的一個問題。