試解

引理： f(x)=x + 1/x 在區間[a, b] (a, b > 0) 上的最大值是 max(f(a), f(b)).
提示，函數在(0,infinity)上隻有一個極小值點x=1.

將原不等式恒等變形成：
[(x + y)/sqrt(x^2 + y^2) + sqrt(x^2 + y^2)/(x + y)] <= 3/sqrt(2).

顯然sqrt(x^2 + y^2) < (x + Y). 由平均不等式有 sqrt(x^2 + y^2) >= (x + Y)/sqrt(2).
這樣上式的左邊 <= f(1/sqrt(2)) = 3/sqrt(2).